มีอัลกอริทึมใดในการแก้ระบบเชิงเส้นจำนวนธรรมชาติ?

ฉันกำลังดูปัญหาต่อไปนี้:

ได้รับมิติเวกเตอร์ของจำนวนธรรมชาติและบางเวกเตอร์อินพุตเป็นรวมกันเชิงเส้นของ 's มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนธรรมชาติ?$n$$v_1, \ldots, v_m$$u$$u$$v_i$

นั่นคือมีบางโดยที่ ?$t_1, \ldots, t_m \in \mathbb{N}$$u = t_1 v_1 + \dots + t_m v_m$

แน่นอนว่าปัญหานี้สามารถแก้ไขได้โดยใช้การกำจัดแบบเกาส์ ฉันสงสัยว่ามีการศึกษาปัญหาจำนวนเต็มนี้หรือไม่ มีอัลกอริทึมใดบ้างที่สามารถแก้ไขได้?

โปรดทราบว่านี่คือการใช้ตัวเลขธรรมชาติ แต่ไม่ใช่เลขคณิตแบบแยกส่วนดังนั้นจึงค่อนข้างแยกจากทฤษฎีบท Remainder ของจีนและระบบเช่นนี้ นอกจากนี้ดูเหมือนว่าจะเกี่ยวข้องกับสมการไดโอแฟนไทน์ แต่ฉันสงสัยว่าเกิดอะไรขึ้นในกรณีที่พิจารณาเฉพาะจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ นี่เป็นการเตือนความจำของปัญหาผลรวมย่อยหลายมิติโดยทั่วไปเพื่อให้เราสามารถคัดลอกจำนวนของแต่ละเวกเตอร์โดยพลการ นอกจากนี้ยังดูเหมือนว่าเกี่ยวข้องกับการทดสอบว่าเป็นองค์ประกอบของขัดแตะที่สร้างขึ้นโดย ,ยกเว้นว่าที่นี่เราอนุญาตให้ใช้การผสมแบบเชิงเส้นกับค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่เป็นลบเท่านั้น$u$$v_1,\dots,v_m$

สำหรับทุกคนที่สนใจนี้เป็นแรงบันดาลใจโดยดูที่ไม่ว่าจะเป็นเวกเตอร์ Parikh อยู่ในชุดเชิงเส้นในขณะที่Parikh ทฤษฎีบท

โดยเฉพาะอย่างยิ่งฉันสนใจอัลกอริทึมที่สามารถแก้ปัญหาโดยใช้การดำเนินการกับจำนวนธรรมชาติเท่านั้น

ปัญหาของคุณคือ NP-complete โดยลดลงจาก Sum Sum (อยู่ใน NP เนื่องจากความจริงที่ว่าทุกอย่างไม่เป็นลบขอบเขตค่าสัมประสิทธิ์ของการแก้ปัญหาอย่างดีพอ) รับอินสแตนซ์ของการจัดกลุ่มผลรวม (มีส่วนย่อยของกับหรือไม่) เราสร้างอินสแตนซ์ของคุณ ปัญหาดังต่อไปนี้ สำหรับแต่ละเราให้เป็นเวกเตอร์ที่มีสองรายการที่ไม่เป็นศูนย์:และและให้เป็นเวกเตอร์ที่มีไม่ใช่ศูนย์รายการที่ไม่ซ้ำกัน1 เวกเตอร์เป้าหมายคือ$S = \{s_1,\ldots,s_n\}, T$$S$$T$$v_1,\ldots,v_{2n},u$$1 \leq i \leq n$$v_i$$v_{i,i} = 1$$v_{i,n+1} = s_i$$v_{n+i}$$v_{n+i,i} = 1$$u=1,\ldots,1,T$. การรวมกันตามธรรมชาติของเท่ากับต้องเลือกอย่างใดอย่างหนึ่งของแต่ละและเข้ารหัสชุดย่อยของซึ่งผลรวมคือ ค่าขององค์ประกอบสุดท้าย$v_1,\ldots,v_{2n}$$1,\ldots,1,\ast$$v_i,v_{n+i}$$S$