ความซับซ้อนของการคำนวณ

ความซับซ้อนของการคำนวณคืออะไร ? $n^{n^2},\;n \in \mathbb{N}$

complexity-theory integers number-theory

ได้สิ่งที่คุณพยายาม? คุณคิดว่าเครื่องจักรและรุ่นต้นทุนใด

— กราฟิลส์

ด้วยการใช้การแปลงฟูริเยร์ที่รวดเร็วการคูณกับตัวเลข -bit สามารถทำได้ในเวลา (ที่ตัวหนอนแสดงว่าเราไม่สนใจปัจจัยโพลี โดยการทำซ้ำ squaring เราสามารถคำนวณกับคูณและแต่ละคูณเกี่ยวข้องกับจำนวนขนาดไม่เกินซึ่งมีประมาณบิต ดังนั้นเวลาทั้งหมดที่ต้องใช้คือ $k$ $\tilde{O}(k)$ $n^{n^2}$ $O(\log n)$ $n^{n^2}$ $n^2 \log_2 n$ ) $\tilde{O}(n^2(\log n)^2)=\tilde{O}(n^2)$

— มีคาห์
แหล่งที่มา

แก้ไขในการตอบสนองต่อความคิดเห็นของ เวลาในการคำนวณสามารถย่อยสลายเป็นเวลาที่ต้องใช้ในการคำนวณและที่จำเป็นต้องใช้ในการดำเนินการ )ฉันจะคิดว่าคูณจำนวนบิตโดยจำนวนบิตจะใช้เวลาตรงเวลาด้วยวิธีหนังสือโรงเรียน; เพิ่มเติม ฯลฯ เป็นเวลาคงที่ เป็นผลให้การคำนวณใช้เวลา $f(n) = n^{n^2}$ $f_1(n) = n^2$ $n ^ {f_1(n)}$ $m$ $n$ $mn$ $n^2$ เวลา $\log_2^2 (n)$

สมมติว่าเราใช้การยกกำลังไบนารีสำหรับการคำนวณ )การยกกำลังไบนารีเป็นการดำเนินการสองชนิดในการคำนวณ : กำลังสองผลิตภัณฑ์ปัจจุบันและคูณผลิตภัณฑ์ปัจจุบันด้วยตามว่าบิตปัจจุบันในการขยายฐานสองของคือ 0 หรือ 1 ในกรณีที่แย่ที่สุดคือพลังของสองดังนั้นการยกกำลังเลขฐานสองจะซ้ำกำลังสองของผลิตภัณฑ์ปัจจุบันจนกว่าจะได้คำตอบทราบว่ามี $f(n)$ $f(n)$ $n$ $n^2$ $n^2$ $n^2$ บิตเพื่อให้จำนวนของ squarings ดังกล่าวเป็น 1นี่เป็นกรณีที่เราวิเคราะห์เพิ่มเติมด้านล่าง $m'=\lceil 2 \log_2(n) \rceil$ $m= m'-1$

การ squaring แรกใช้เวลาเวลาส่งผลให้ -bit product การยกกำลังสองครั้งจะใช้ตัวเลขสองบิตบิตและทำงานในครั้งทำให้เกิดผลิตภัณฑ์บิต ดำเนินการต่อขั้นตอน -th ใช้เวลา $t_1=\log_2^2(n)$ $o_1=2 \log_2(n)$ $o_1$ $t_2=o_1^2$ $o_2=2o_1$ $i$ เวลาและเอาท์พุต a-bit product กระบวนการนี้หยุดที่ขั้นตอน-th เป็นผลให้ต้องใช้เวลา $t_i = 4^{i-1}\log^2_2 n$ $o_i=2^{i} \log_2 (n)$ $m$

n $T _{exp} =\sum _{[1..m]} t_i = \log_2 ^2 (n) \sum_{[1..m]} 4^i = \frac{4^m -1} {3} \log_2 ^2 n$

เมื่อรวมค่า squaring เริ่มต้นแล้วเราพบว่าเราต้องการเวลามากที่สุด

${T_{exp} + \log_2^2{n}}$

บันทึก

ฉันมองข้ามบางชั้นและเพดานในการคำนวณหวังว่าพวกเขาจะไม่ส่งผลกระทบต่อคำตอบอย่างมาก
ฉันจงใจละเว้นการวิเคราะห์โดยใช้สนับสนุนขอบเขตบนที่แน่นอนเพื่อความเข้มงวด $O$
การใช้เหตุผลด้านบนทำให้เห็นชัดเจนว่าทำไมการวิเคราะห์ก่อนหน้านี้ของฉันจึงมีข้อบกพร่อง สัญกรณ์ถูกนำมาใช้ในวิธีที่รวดเร็วและหลวมและมันก็ละเว้นสิ่งอำนวยความสะดวกเพื่อให้คงที่เช่นอย่างน่าอัศจรรย์กลายเป็น ) $O$ $\sum t_i$ $O(\log n)$
การคูณสามารถเร่งความเร็วได้โดย FFT และวิธีอื่น ๆ

— PKG
แหล่งที่มา

คุณมีความซับซ้อน

ในการคำนวณ

อย่างไร

O (1)

$\mathcal{O}(1)$

n^{2}

$n^{2}$

ฉันกำลังจะบอกว่าการคูณตัวเลข

bit สองตัวใช้เวลา

แทน

เวลาคุณต้องคิดว่ามันเท่ากับต้นทุนของการยกกำลังเลขฐานสองด้วย

n

$n$

O (\log n)

$O(\log n)$

O (1)

$O(1)$

— Mark Dominus

โปรดทราบว่าผลลัพธ์สุดท้ายมี

bits มันเป็นเรื่องยากมากที่จะคำนวณ

บิตใน

เวลา

n^{2} \log_{2} n

$n^2\log_2 n$

n^{2} \log_{2} n

$n^2\log_2 n$

O (\log n)

$O(\log n)$

จุดยุติธรรมฉันจะรับทราบ

— PKG

@ThomasAndrews: ขึ้นอยู่กับรุ่นของเครื่องและราคา ไม่ใช่เรื่องผิดปกติที่จะสมมติว่ารุ่นของแรมมีราคาเพิ่มขึ้น

— ราฟาเอล