ปัญหา 3SUM (k-SUM) ทั่วไปใช่ไหม

3sumปัญหาพยายามที่จะระบุจำนวนเต็ม 3จากชุดขนาดเช่นที่0$a,b,c$$S$$n$$a + b + c = 0$

มันเป็นที่คาดคะเนได้ว่าจะไม่มีทางออกที่ดีกว่ากำลังสองคือ2) หรือจะนำมันแตกต่างกัน:2)$\mathcal{o}(n^2)$$\mathcal{o}(n \log(n) + n^2)$

ดังนั้นฉันสงสัยว่าสิ่งนี้จะนำไปใช้กับปัญหาทั่วไป: ค้นหาจำนวนเต็มสำหรับในเซตขนาดเช่นนั้น .$a_i$$i \in [1..k]$$S$$n$$\sum_{i \in [1..k]} a_i = 0$

ฉันคิดว่าคุณสามารถทำสิ่งนี้ได้ในสำหรับ (มันไม่สำคัญที่จะพูดคุยกับอัลกอริธึมธรรมดา) แต่มีอัลกอริธึมที่ดีกว่าสำหรับค่าอื่น ๆหรือไม่?$\mathcal{o}(n \log(n) + n^{k-1})$$k \geq 2$$k=3$
$k$

$k$ -UM สามารถแก้ไขได้เร็วขึ้นดังนี้

• สำหรับคู่ :$k$คำนวณรายการที่เรียงลำดับของผลรวมทั้งหมดขององค์ประกอบอินพุตตรวจสอบว่ามีทั้งบางจำนวนและลบล้าง-xอัลกอริทึมทำงานในเวลาเวลา$S$$k/2$$S$$x$$-x$$O(n^{k/2}\log n)$

• สำหรับแปลก :$k$ Compute รายการที่เรียงลำดับของผลรวมทั้งหมดขององค์ประกอบของการป้อนข้อมูล สำหรับแต่ละองค์ประกอบเข้าตรวจสอบว่ามีทั้งและสำหรับบางหมายเลขx(ขั้นตอนที่สองคืออัลกอริทึม - เวลาสำหรับ 3SUM) อัลกอริทึมทำงานในเวลาเวลา$S$$(k-1)/2$$a$$S$$x$$-a-x$$x$$O(n^2)$$O(n^{(k+1)/2})$

อัลกอริธึมทั้งสองนั้นดีที่สุด (ยกเว้นอาจเป็นเพราะปัจจัยบันทึกเมื่อยิ่งใหญ่กว่า ) สำหรับค่าคงที่ในข้อ จำกัด ที่อ่อนแอ แต่เป็นธรรมชาติของโมเดลการตัดสินใจเชิงเส้นของการคำนวณเชิงเส้น สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติมดู:$k$$2$$k$

• Nir Ailon และ Bernard Chazelle ต่ำกว่าขอบเขตสำหรับการทดสอบความเสื่อมเชิงเส้น JACM 2005

• Jeff Erickson ต่ำกว่าขอบเขตสำหรับปัญหา satisfiability เชิงเส้น CJTCS 1999

$d$ -SUM ต้องใช้เวลาเว้นแต่ k-SAT สามารถแก้ไขได้ในเวลาสำหรับค่าคงที่ k นี่แสดงในกระดาษโดย Mihai Patrascu และ Ryan Williams (1)$n^{\Omega(d)}$$2^{o(n)}$

กล่าวอีกนัยหนึ่งสมมติว่าสมมติฐานเวลาเอ็กซ์โพเนนเชียลอัลกอริธึมของคุณดีที่สุดจนถึงปัจจัยคงที่ในเลขชี้กำลัง (พหุนามปัจจัยใน )$n$

(1) Mihai Patrascu และ Ryan Williams เกี่ยวกับความเป็นไปได้ของอัลกอริทึม SAT ที่เร็วขึ้น พร การประชุมวิชาการ ACM / SIAM ครั้งที่ 21 ในอัลกอริธึมแบบไม่ต่อเนื่อง (SODA2010)

นี่คือข้อสังเกตง่ายๆ

สำหรับคุณสามารถทำได้ในเวลาโดยการสแกนอาร์เรย์เพื่อหาศูนย์ สำหรับ , คุณสามารถทำมันได้โดยไม่ต้องคร่ำเครียดในเวลา จัดเรียงอาร์เรย์แล้วสแกน สำหรับแต่ละองค์ประกอบจะค้นหาไบนารี-iผลนี้ในความซับซ้อนรวมของn) สำหรับกรณีคุณสามารถทำได้ในเวลาโดยการสะสมอาร์เรย์และตรวจสอบผลลัพธ์$k=1$$\Theta(n)$$k=2$$\Theta(n \log n)$$i$$-i$$\Theta(n \log n)$$k=n$$\Theta(n)$

สำหรับการอ้างอิงบางเพิ่มเติมโปรดดูที่หน้าปัญหาเปิดโครงการ 3sum

ดูhttp://arxiv.org/abs/1407.4640

อัลกอริทึมใหม่สำหรับการแก้ปัญหา rSUM Valerii Sopin

นามธรรม:

อัลกอริทึมที่กำหนดถูกนำเสนอสำหรับการแก้ปัญหา rSUM สำหรับ r ธรรมชาติใด ๆ ที่มีการประเมินผลย่อยกำลังสองของความซับซ้อนของเวลาในบางกรณี ในแง่ของจำนวนหน่วยความจำที่ใช้อัลกอริทึมที่ได้รับยังมีคำสั่งย่อยกำลังสอง ความคิดของอัลกอริทึมที่ได้รับนั้นไม่ได้พิจารณาจากจำนวนเต็ม แต่ให้ k bitsN บิตต่อเนื่องของตัวเลขเหล่านี้ในระบบการนับเลขฐานสอง มันแสดงให้เห็นว่าหากผลรวมของตัวเลขจำนวนเต็มเท่ากับศูนย์แล้วผลรวมของตัวเลขที่นำเสนอโดยบิตต่อเนื่องใด ๆ ของตัวเลขเหล่านี้จะต้อง "พอ" เป็นศูนย์อย่างเพียงพอ สิ่งนี้ทำให้เป็นไปได้ที่จะละทิ้งตัวเลขซึ่ง fortiori ไม่ได้สร้างโซลูชัน

เป็นสิ่งใหม่ในฉบับนี้