เซตย่อยปัญหาผลรวมที่มีเงื่อนไขการหารมากมาย

ให้$S$เป็นเซตของตัวเลขธรรมชาติ เราพิจารณา$S$ภายใต้คำสั่งหารหารบางส่วนเช่น$s_1 \leq s_2 \iff s_1 \mid s_2$ 2 ปล่อย

antichain\}$\qquad \displaystyle \alpha(S) = \max \{|V| \mid V\subseteq S, V$$\}$

หากเราพิจารณาปัญหาผลรวมย่อยของเซตของชุดตัวเลขใน$S$เราจะพูดถึงอะไรเกี่ยวกับความซับซ้อนของปัญหาที่เกี่ยวข้องกับ$\alpha(S)$ ? มันง่ายที่จะดูว่า$\alpha(S)=1$แล้วปัญหาเป็นเรื่องง่าย หมายเหตุ: มันเป็นเรื่องง่ายแม้สำหรับปัญหาเป้หนักเมื่อ\ alpha (S) = 1 \$\alpha(S)=1$^$\dagger$

---

$\dagger$ แก้ปัญหาเป้หลังโดย M. Hartmann และ T. Olmstead (1993)

ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนามโดยใช้โปรแกรมเชิงเส้นและสิ่งนี้เป็นจริงสำหรับการสั่งซื้อบางส่วนใด ๆ$(S,\le)$le) โดยวิธีการที่เราสามารถพิสูจน์ได้โดยอุปนัยว่าสำหรับชุดคำสั่ง จำกัด บางส่วน $(S,\le)$มีชุด จำกัด$S'\subseteq\mathbb{N}$และ bijection $f:S\rightarrow S'$เช่นนั้น สำหรับทั้งหมด$s_1,s_2\in S, s_1\le s_2 \Leftrightarrow f(s_1) | f(s_2)$(s_2)

Letเป็นชุดที่เกิดขึ้นจากโซ่ในSเตือนว่าคือห่วงโซ่ iff สำหรับทุกใน ,หรือ$\mathcal{C}$$S$$C$$v,v'$$C$$v\le v'$$v'\le v$

ตอนนี้สร้างตัวแปรบูลสำหรับแต่ละและตัวแปรบูลสำหรับแต่ละห่วงโซ่Cเราสามารถเขียนโปรแกรมเชิงเส้นต่อไปนี้สำหรับปัญหาของเรา: $x_v$$v\in S$$y_C$$C$$(P)$

$$\begin{split} \text{Max} \displaystyle\sum\limits_{v\in S} x_v \\ \text{subject to} \displaystyle\sum\limits_{v\in C} &x_v \le 1, \forall C\in\mathcal{C}\\ &x_v \in \{0,1\}, v\in S \end{split}$$

และ dual :$(D)$

$$\begin{split} \text{Min} \displaystyle\sum\limits_{C\in \mathcal{C}} y_C\\ \text{subject to} \displaystyle\sum\limits_{C:v\in C} &y_C \ge 1, \forall v\in S\\ &y_C \in \{0,1\}, C\in \mathcal{C} \end{split}$$

จากนั้นปัญหาในการค้นหาความครอบคลุมขั้นต่ำของชุดที่สั่งซื้อโดยโซ่เป็นปัญหาที่สองของเรา ทฤษฎีบทของ Dilworthกล่าวว่า

มี antichain A และพาร์ติชันของลำดับลงในตระกูล P ของเชนส์ดังนั้นจำนวนของ chain ในพาร์ติชันเท่ากับ cardinality ของ A

ซึ่งหมายความว่าทางออกที่ดีที่สุดของปัญหาทั้งสองนี้ตรงกัน:$Opt(P)=Opt(D)$

ปล่อยให้ ( resp. ) เป็นการผ่อนคลายของ ( resp. ) คือโปรแกรมเชิงเส้นเดียวกันซึ่งข้อ จำกัด ทั้งหมด ( resp. ) ถูกแทนที่ด้วย (ตอบกลับ ) ให้และเป็นโซลูชันที่เหมาะสมที่สุด ตั้งแต่เรามี: และคู่ที่อ่อนแอ ทฤษฎีบทกำหนดว่า$(P^*)$ $(D^*)$$(P)$ $(D)$$x_v\in\{0,1\}$ $y_C\in\{0,1\}$$x_v\in [0,1]$ $y_C\in [0,1]$$Opt(P^*)$$Opt(D^*)$$\{0,1\}\subseteq [0,1]$

$$Opt(P)\le Opt(P^*) \text{ and } Opt(D^*)\le Opt(D)$$ $Opt(P^*)\le Opt(D^*)$จากนั้นเมื่อรวมทุกอย่างเข้าด้วยกันเราจึงมี: $$Opt(P)= Opt(P^*)=Opt(D^*)=Opt(D)$$

จากนั้นใช้วิธี Ellipsoidเราสามารถคำนวณ ( ) ในเวลาพหุนาม มีข้อ จำกัด จำนวนมาก แต่มีการแยกเวลาแบบพหุนาม เมื่อพิจารณาวิธีการแก้ปัญหาเราสามารถแจกแจงคู่รักทั้งหมดและตรวจสอบว่าหรือดังนั้นและตัดสินใจในเวลาพหุนามว่าเป็นไปได้หรือข้อ จำกัด ที่เกี่ยวข้องกับโซ่ถูกละเมิด$Opt(P^*)$$=Opt(P)$$X$$s_1,s_2\in X$$s_1\le s_2$$s_2\le s_1$$X$$\{v_1,v_2\}$