ทำไมเราถึงเชื่อว่า PSPACE ≠ EXPTIME

ฉันมีปัญหาในการเข้าใจอย่างชัดเจนว่าทำไม PSPACE โดยทั่วไปเชื่อว่าแตกต่างจาก EXPTIME ถ้า PSPACE เป็นชุดของปัญหาที่แก้ไขได้ในพหุนามอวกาศในขนาดอินพุตดังนั้นจะมีคลาสของปัญหาที่ประสบกับการระเบิดเวลาแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลมากกว่าและไม่ได้ใช้ประโยชน์จากพื้นที่ชี้แจง$f(n)$

คำตอบของ Yuval Filmus มีประโยชน์อย่างมากแล้ว อย่างไรก็ตามทุกคนสามารถร่างข้อโต้แย้งที่หลวม ๆ ของฉันได้หรือไม่ว่าทำไมมันอาจเป็นกรณีที่ PSPACE ≠ EXPTIME (เช่น PSPACE นั้นไม่ใช่เซตย่อยที่เหมาะสมของ EXPTIME) เราไม่ต้องการพื้นที่แบบเอ็กซ์โพเนนเชียลเพื่อเอาชนะขอบเขตบนสำหรับจำนวนการกำหนดค่าระบบทั้งหมดที่ทำได้ด้วยพื้นที่ที่ขยายขนาดแบบพหุนามด้วยขนาดอินพุต เพียงแค่พูดว่าฉันสามารถเข้าใจว่าทำไม EXPTIME ≠ EXPSPACE เป็นเรื่องเปิด แต่ฉันไม่เข้าใจเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่าง PSPACE และ EXPTIME

มารีเฟรชคำจำกัดความ

• PSPACEเป็นคลาสของปัญหาที่สามารถแก้ไขได้ในเครื่องทัวริงแบบกำหนดค่าโดยกำหนดขอบเขตพื้นที่แบบพหุนาม: นั่นคือสำหรับแต่ละปัญหาดังกล่าวมีเครื่องที่ตัดสินใจเลือกปัญหาโดยใช้เซลล์เทปส่วนใหญ่เมื่ออินพุตมีความยาว สำหรับบางพหุนาม  P$p(n)$$n$$p$

• EXPคือคลาสของปัญหาที่สามารถแก้ไขได้ในเครื่องทัวริงที่กำหนดค่าแบบ จำกัด ขอบเขต: สำหรับแต่ละปัญหาดังกล่าวจะมีเครื่องจักรที่ตัดสินปัญหาโดยใช้ขั้นตอนมากที่สุดเมื่ออินพุตมีความยาว สำหรับบางพหุนาม  P$2^{p(n)}$$n$$p$

อันดับแรกเราควรพูดว่าคลาสสองคลาสนี้อาจเท่ากัน พวกเขาดูเหมือนจะมีความแตกต่างกันมากขึ้น แต่บางครั้งคลาสก็กลับเป็นเหมือนเดิมตัวอย่างเช่นในปี 2004 Reingold ได้พิสูจน์แล้วว่า symmetric logspace นั้นเหมือนกับ logspace ธรรมดา ใน 2530, Immerman และSzelepcsényiอิสระพิสูจน์ว่าNLco-NL$\;=\;$ (และอันที่จริงแล้วนั่นNSPACE [ ]ร่วม NSPACE [ ]$f(n)$$\;=\;$$f(n)$สำหรับ )$f(n)\geq \log n$

แต่ในขณะนี้คนส่วนใหญ่เชื่อว่าPSPACEและEXPนั้นแตกต่างกัน ทำไม? ลองดูสิ่งที่เราสามารถทำได้ในสองคลาสที่ซับซ้อน พิจารณาปัญหาในPSPACE เราได้รับอนุญาตให้ใช้ เซลล์เทปเพื่อแก้ปัญหาอินพุทของความยาว แต่มันยากที่จะเปรียบเทียบกับEXPซึ่งถูกระบุด้วยการ จำกัด เวลา$p(n)$$n$

เวลาเท่าไหร่ที่เราสามารถใช้สำหรับปัญหาPSPACE ถ้าเราเขียนไปยัง เซลล์เทปเท่านั้นจะมีสตริงที่แตกต่างกันซึ่งอาจปรากฏบนเทปโดยสมมติว่าเป็นตัวอักษรไบนารี หัวเทปอาจอยู่ใน ตำแหน่งที่แตกต่างกันของและเครื่องทัวริงอาจอยู่ใน สถานะแตกต่างกัน ดังนั้นจำนวนการกำหนดค่าทั้งหมดคือ. ตามหลักการของนกพิราบหากเราเรียกใช้ขั้นตอนเราจะต้องไปที่การกำหนดค่าสองครั้ง แต่เนื่องจากเครื่องกำหนดขึ้นนั่นหมายความว่ามันจะวนรอบและไปที่การตั้งค่าเดียวกันบ่อยครั้งอย่างไม่สิ้นสุดนั่นคือชนะ ' หยุด เนื่องจากเป็นส่วนหนึ่งของคำนิยามของการอยู่ใน$p(n)$$2^{p(n)}$$p(n)$$k$$T(n) = k\,p(n)\,2^{p(n)}\!$$T(n)+1$PSPACEคือคุณต้องตัดสินใจปัญหาเครื่องใด ๆ ที่ไม่ยุติไม่สามารถแก้ปัญหาPSPACEได้ กล่าวอีกนัยหนึ่งPSPACEคือคลาสของปัญหาที่สามารถตัดสินใจได้โดยใช้พื้นที่มากที่สุด  และอย่างมากเวลาซึ่งมากที่สุดสำหรับบางพหุนาม  Qดังนั้นเราจึงแสดงให้เห็นว่าPSPACEEXP$p(n)$$k\,p(n)\,2^{p(n)}$$2^{q(n)}$$q$$\;\subseteq\;$

และเราสามารถใช้พื้นที่เท่าใดสำหรับปัญหาEXP เราได้รับอนุญาตขั้นตอนและหัวของเครื่องจักรทัวริงสามารถย้ายตำแหน่งเดียวในแต่ละขั้นตอนเท่านั้น เนื่องจากหัวไม่สามารถเคลื่อนที่ได้มากกว่าตำแหน่งเราจึงสามารถใช้เซลล์เทปจำนวนมากนั้นได้$2^{p(n)}$$2^{p(n)}$

นั่นคือความแตกต่าง: แม้ว่าPSPACEและEXPจะเป็นปัญหาที่สามารถแก้ไขได้ในเวลาเอ็กซ์โปเนนเชียล แต่PSPACEนั้น จำกัด การใช้พื้นที่พหุนามในขณะที่EXPสามารถใช้พื้นที่เอ็กซ์โปเนนเชียลได้ นั่นแสดงให้เห็นว่าEXPควรมีพลังมากกว่านี้ ตัวอย่างเช่นสมมติว่าคุณกำลังพยายามแก้ไขปัญหาเกี่ยวกับกราฟ ในPSPACEคุณสามารถดูทุกเซตย่อยของจุดยอด (ใช้เวลาเพียง  บิตในการเขียนชุดย่อย) คุณสามารถใช้พื้นที่ทำงานบางอย่างเพื่อคำนวณในแต่ละชุดย่อย แต่เมื่อคุณทำงานในชุดย่อยเสร็จแล้วคุณต้องลบพื้นที่ทำงานนั้นและนำกลับมาใช้ใหม่สำหรับชุดย่อยถัดไป ในEXP$n$ในทางกลับกันคุณไม่เพียง แต่สามารถดูทุก ๆ เซ็ตย่อย แต่คุณไม่จำเป็นต้องใช้พื้นที่ทำงานของคุณเพื่อให้คุณสามารถจดจำสิ่งที่คุณเรียนรู้เกี่ยวกับแต่ละชุดได้ ดูเหมือนว่าควรจะมีประสิทธิภาพมากขึ้น

สัญชาตญาณอีกเหตุผลที่พวกเขาควรแตกต่างกันคือทฤษฎีลำดับชั้นของเวลาและพื้นที่บอกเราว่าการอนุญาตให้มีพื้นที่หรือเวลาเพิ่มขึ้นอีกเล็กน้อยอย่างน้อยก็เพิ่มสิ่งที่คุณสามารถคำนวณได้ ทฤษฎีลำดับชั้นให้คุณเปรียบเทียบ like กับ like (เช่นพวกเขาแสดงให้เห็นว่าPSPACE EXPSPACE$\;\subsetneq\;$และP EXP$\;\subsetneq\;$ ) ดังนั้นพวกเขาจึงไม่ได้นำไปใช้โดยตรงกับPSPACEกับEXPแต่พวกเขาให้เรา สัญชาตญาณที่แข็งแกร่งว่าทรัพยากรมากขึ้นหมายความว่าปัญหามากขึ้นแก้ไขได้

เครื่องที่ทำงานในเวลาเอ็กซ์โพเนนเชียลสามารถใช้พื้นที่เอ็กซ์โปเนนเชียล ดังนั้นเบื้องต้นอาจเป็นไปได้ว่าเครื่องจักรที่ จำกัด พื้นที่พหุนามจะอ่อนแอ สถานการณ์ที่คล้ายกันเกิดขึ้นสำหรับ P และ L เครื่องที่ทำงานในเวลาพหุนามสามารถใช้พื้นที่พหุนามดังนั้นในเบื้องต้นอาจเป็นได้ว่าเครื่องจักรที่ จำกัด พื้นที่ลอการิทึมจะอ่อนแอ แม้จะคาดเดาว่า P นั้นแตกต่างจาก NL ซึ่งเป็นแอนะล็อกที่ไม่ได้กำหนดค่าของแอล (สำหรับ PSPACE การคาดเดาที่สอดคล้องกันนั้นมีค่าเท่ากันเนื่องจาก PSPACE = NPSPACE เนื่องจากทฤษฎีบทของ Savitch) แต่น่าเสียดายที่เราไม่รู้วิธีการ ปัจจุบัน การคาดคะเน EXPTIME PSPACE นั้นแข็งแกร่งเนื่องจากมันหมายถึง P NL ผ่านอาร์กิวเมนต์การเติมเต็ม$\neq$$\neq$