กลุ่มมอร์ฟิซึ่มกับกราฟมอร์ฟิซึ่ม

ในการอ่านบล็อกบางอย่างเกี่ยวกับความซับซ้อนในการคำนวณ (ตัวอย่างที่นี่ ) ฉันหลอมรวมความคิดที่ตัดสินใจว่าสองกลุ่มที่มี isomorphic นั้นง่ายกว่าการทดสอบกราฟสองกราฟสำหรับ isomorphism ตัวอย่างเช่นในหน้าระบุว่ามันบอกว่ากราฟ isomorphism เป็นปัญหาทั่วไปมากกว่ากลุ่ม isomorphism

ดังนั้นฉันกำลังวางตัวต่อไปนี้

ให้กลุ่มสามารถสร้างกราฟ ของพหุนามขนาดในเช่นนั้นสำหรับกลุ่มและ$G$$\Gamma(G)$$|G|$

$$\Gamma(G) \cong \Gamma(H) \iff G \cong H$$ $G$$H?$

การลดลงอธิบายไว้ในกระดาษคลาสสิกของมิลเลอร์

ไม่เร็วนัก มีความคลุมเครือที่ซุ่มซ่อนขนาดใหญ่อยู่ที่นี่:

คุณป้อนกลุ่มของคุณสำหรับการคำนวณอย่างไร

แตกต่างจากกราฟกลุ่มสามารถป้อนเป็นวิธีที่แตกต่างกันมากในแง่ของขนาดอินพุตและความซับซ้อนที่เกิดขึ้น รุ่นที่อ้างถึงในมิลเลอร์เป็นหนึ่งในธรรมชาติที่น้อยที่สุดและตัวอย่างเช่นคุณจะไม่พบว่าในระบบพีชคณิตของคอมพิวเตอร์เช่น GAP, Magma หรือ Sage ดังนั้นในขณะที่มันมีหลักฐานทางทฤษฎีมันจะไปไกลเกินกว่าที่จะเรียกได้ว่าปัญหา

1. เครื่องกำเนิดและความสัมพันธ์: กลุ่มมอร์ฟิซึ่มเป็นสิ่งที่ไม่สามารถตัดสินใจได้

หากประวัติศาสตร์เป็นผู้ชนะการกล่าวถึงปัญหา Isomorphism ของกลุ่มแรกคือ Max Dehn ในปีพ. ศ. 2448 เขาสันนิษฐานว่ากลุ่มจะถูกป้อนโดยเครื่องกำเนิดและความสัมพันธ์ Adyan และ Rabin ในปี 1950 พิสูจน์แล้วว่าปัญหาไม่สามารถตัดสินใจได้ สถานการณ์นี้เกิดขึ้นแม้ว่ากลุ่มจะไม่สำคัญ ดังนั้นมันจึงไม่ใช่แค่เรื่องเกี่ยวกับหัวใจเท่านั้น ปัญหาสำคัญคือคุณสามารถสร้างกลุ่มที่จะตัดสินใจว่าจะแก้ปัญหาการเขียนซ้ำที่ไม่ใช่แบบเรียกซ้ำ คล้ายกับปัญหาประเภท Halting มันไม่สามารถทำได้$G$$G=1$

สำหรับกลุ่มที่ป้อนโดยเครื่องกำเนิดและความสัมพันธ์: กลุ่มมอร์ฟิซึ่มส์นั้นยากกว่ากราฟมอร์ฟ

2. อินพุตที่ใช้โดยระบบซอฟต์แวร์: กลุ่ม isomorphism ของการเปลี่ยนแปลงและกลุ่มเมทริกซ์อย่างน้อยเท่ากับ hard isomorphism กราฟ (ไม่ใช่วิธีอื่น ๆ )

รูปแบบการป้อนข้อมูลสมมติว่ากลุ่มนี้ถูกเข้ารหัสด้วยวิธีธรรมชาติบางอย่างเช่นวิธีเรียงสับเปลี่ยนบนเซต จำกัด หรือเมทริกซ์บนวงแหวนหรือสนาม นี่เป็นวิธีการที่แนะนำโดย Cannon และ Neubuser ในระบบพีชคณิตคอมพิวเตอร์เครื่องแรกในปี 1960 ซึ่งเป็น GAP และ Magma ในโมเดลนี้คุณสามารถฝังปัญหากราฟมอร์ฟิซึมลงในปัญหามอร์ฟิซึ่มส์ของกลุ่มได้ ดูตัวอย่างงานของ Heinekin-Liebeck มันได้ถูกนำไปใช้ในรูปแบบอื่นโดยผู้อื่นเช่น Sergeichuk แนวคิดสำคัญคือการฝังเมทริกซ์ adjacency ของกราฟลงในความสัมพันธ์ของ -group$p$

สำหรับการป้อนข้อมูลแบบกลุ่มสำหรับระบบซอฟต์แวร์: กลุ่ม isomorphism อย่างน้อยก็ยากเท่ากับกราฟ isomorphism

3. Theoretical Complexity inputs: สำหรับอินพุตกลุ่มกล่องดำกลุ่ม isomorphism ไม่ทราบว่าอยู่ใน NP หรือ co-NP (กราฟ isomorphism มีทั้งคู่)

นี่เป็นแบบจำลองสำหรับกลุ่มที่ Babai-Szemeredi แนะนำซึ่งไม่มีอะไรเกี่ยวกับอินพุตยกเว้นว่าจะมีฟังก์ชั่น (ราคาต่อหน่วย) สำหรับการดำเนินการกลุ่มทวีคูณสลับกลับทดสอบความเสมอภาคและชุดเครื่องกำเนิดไฟฟ้า ในกระดาษของพวกเขา "ในความซับซ้อนของปัญหากลุ่มเมทริกซ์" พวกเขาพูดคุยปัญหานี้และสรุปใน 2 ปัญหาสำคัญคือคุณไม่สามารถกำหนดใบรับรองของ isomorphism (ดังนั้นจึงไม่ได้อยู่ใน NP) เนื่องจากคุณมีกำเนิดของกลุ่มเท่านั้น ดังนั้นเพื่อให้ isomorphism ที่แท้จริงเป็นไปไม่ได้และนั้นมีขนาดใหญ่ขึ้นอย่างมากและจากเครื่องกำเนิดไฟฟ้าเพียงอย่างเดียวคุณไม่สามารถรู้ได้ว่า$\Sigma^2$$f:G\to H$$G$$H$$f$เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมที่ถูกต้อง อย่างน้อยที่สุดคุณก็ดูเหมือนจะต้องการการนำเสนอของกลุ่มและนั่นก็ไม่ใช่เรื่องง่าย

สำหรับกลุ่มกล่องดำ: กลุ่มมอร์ฟิซึ่มเป็นอย่างน้อยเท่ากับกราฟมอร์ฟ

4. อินพุตตาราง Cayley

บางครั้งใน Tarjan ของปี 1970, Pultr-Hederlon, Miller และคนอื่น ๆ สังเกตว่ากลุ่มที่ป้อนข้อมูลจากตารางการคูณทั้งหมดของพวกเขายังสามารถใช้เป็นกราฟได้ ด้วยวิธีนี้กลุ่มมอร์ฟิซึ่มจะลดกราฟมอร์ฟในเวลาพหุนาม มิลเลอร์เดินไปไกลกว่านี้ด้วยการสังเกตว่าโครงสร้าง combinatorial จำนวนมากทำแบบเดียวกัน นอกจากนี้เขายังแสดงให้เห็นว่ามอร์ฟิซึมแบบกึ่งมีค่าเทียบเท่ากับกราฟมอร์ฟ

เมื่อเร็ว ๆ นี้ Babai ได้พิสูจน์ว่ากราฟ Isomorphism อยู่ในเวลาพหุนามเสมือนและการลดลงในตอนนี้ประมาณความซับซ้อนประมาณซึ่งเป็นที่รู้จักกันดีที่สุดสำหรับกลุ่มมอร์ฟในหมู่ของตาราง Cayley ในขณะที่ไม่มีใครแสดงปัญหาทั้งสองนี้ให้เทียบเท่ากับเวลาพหุนามการกำหนดเวลาที่นำเสนอจะแนะนำความสัมพันธ์ที่ใกล้ชิดกว่าที่คาดไว้$n^{O(\log n)}$

สำหรับตาราง Cayley: isomorphism กลุ่มลดลงเป็นกราฟ isomorphism

อินพุตใดคืออินพุตกลุ่ม "ขวา" ความซับซ้อนของ Kolmogorov ของกลุ่มคำสั่ง จำกัดคือซึ่งเป็นขนาดอินพุตของวิธี 1-3 อย่างคร่าวๆ วิธีการป้อนข้อมูลเหล่านั้นเป็นวิธีธรรมชาติและสร้างได้ง่ายพูดโดยการคำนวณการเรียงสับเปลี่ยนของลูกบาศก์รูบิคหรือดูที่การสร้างลูปของกลุ่มพื้นฐาน ดังนั้นจึงสมเหตุสมผลที่ทฤษฎีและการปฏิบัติของกลุ่มมอร์ฟิซึ่มส์ส่วนใหญ่ใช้โมเดลเหล่านั้น$n$$O((\log n)^3)$

แต่ในขณะที่ไม่มีระบบพีชคณิตการคำนวณใช้ตาราง Cayley และวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎีส่วนใหญ่ใช้โครงสร้างเช่นกลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนกลุ่มเมทริกซ์และกลุ่มกล่องดำ แต่ก็ยังมีการป้องกันที่ดีสำหรับมุมมองตาราง Cayley โดยทั่วไปความซับซ้อนของโครงสร้าง Kolmogorov เช่น semigroups เป็นคำสั่งคือ - ทฤษฎีบทของ Marshall Hall และดังนั้นคุณไม่สามารถป้อนกลุ่มย่อยได้อย่างกระชับกว่าด้วยตารางสูตรคูณ ดังนั้นเมื่อคุณต้องการเปรียบเทียบความซับซ้อนของกลุ่มมอร์ฟิซึ่มกับโครงสร้างตามธรรมชาติอื่น ๆ (กลุ่มเสมือน, ลูป, เซกเมนต์, ฯลฯ ) มันสมเหตุสมผลที่จะเห็นด้วยกับรูปแบบการป้อนข้อมูลทั่วไป$n$$O(n^2 \log n)$