บทพิสูจน์ทฤษฎีบท Karp-Lipton

ฉันกำลังพยายามที่จะเข้าใจหลักฐานของทฤษฎีบท Karp-Lipton ตามที่ระบุไว้ในหนังสือ "Computational Complexity: A modern approach" (2009)

โดยเฉพาะอย่างยิ่งหนังสือเล่มนี้ระบุต่อไปนี้:

ทฤษฎีบท Karp-Lipton

หากNP P ∖ P o L Yแล้วPH = Σ พี 2$\subseteq$ $P_{\backslash poly}$ $= \Sigma^p_2$

พิสูจน์: โดยทฤษฎีบท 5.4 เพื่อแสดงPH ก็พอเพียงที่จะแสดงให้เห็นว่าΠ พี2 ⊆ Σ พี2และโดยเฉพาะอย่างยิ่งในนั้นพอเพียงที่จะแสดงให้เห็นว่าΣ พี2มีΠ พี2ภาษาที่สมบูรณ์Π 2 SAT$= \Sigma^p_2$$\Pi^p_2\subseteq \Sigma^p_2$$\Sigma^p_2$$\Pi^p_2$$\Pi_2$

ทฤษฎีบท 5.4 กล่าวว่า

สำหรับทุกถ้าΣ หน้าฉัน = Π หน้าฉันแล้วPH = Σ หน้าฉัน นั่นคือลำดับชั้นยุบลงไปถึงระดับ ith$i \geq 1$$\Sigma_i^p = \Pi_i^p$$\Sigma_i^p$

ฉันกำลังล้มเหลวที่จะเข้าใจวิธีการหมายถึงΣ P 2 =Πพี 2$\Pi^p_2\subseteq \Sigma^p_2$$\Sigma_2^p = \Pi_2^p$

ในฐานะที่เป็นคำถามทั่วไปมากขึ้น: ไม่ระงับนี้ทุกคือไม่Π หน้าฉัน ⊆ Σ หน้าผมบอกเป็นนัยว่า$i$$\Pi^p_i\subseteq \Sigma^p_i$สำหรับทุกฉัน≥ 1 ?$\Sigma_i^p = \Pi_i^p$$i \geq 1$

จำได้ว่า IFF ˉ L ∈ เธPฉัน สมมติว่าตอนนี้ที่Σ หน้าฉัน ⊆ เธP ฉันและให้L ∈ เธPฉัน จากนั้นˉ L ∈ Σ หน้าผมและอื่นˉ L ∈ เธP ฉันโดยสมมติฐานหมายความว่าL ∈ Σ หน้าฉัน ในคำอื่น ๆΠ หน้าฉัน ⊆ Σ $L \in \Sigma_i^p$$\bar{L} \in \Pi_i^p$$\Sigma_i^p \subseteq \Pi_i^p$$L \in \Pi_i^p$$\bar{L} \in \Sigma_i^p$$\bar{L} \in \Pi_i^p$$L \in \Sigma_i^p$และเพื่อΣหน้าฉัน =Πหน้าฉัน$\Pi_i^p \subseteq \Sigma_i^p$$\Sigma_i^p = \Pi_i^p$

นี่คือเหตุผลที่ IFF ˉ L ∈ เธPฉัน สำหรับรูปธรรมเราจะฉัน= 3 ตามคำนิยามL ∈ Σ พี3ถ้าบาง P-เวลากริยาT , x ∈ L ⇔ ∃ | y | < | x | O ( 1 $L \in \Sigma_i^p$$\bar{L} \in \Pi_i^p$$i = 3$$L \in \Sigma_3^p$$T$ ในทำนองเดียวกัน ˉ L ∈ เธพี3ถ้าบาง P-เวลากริยา S , x ∈ ˉ L ⇔ ∀ | y | < | x | O ( 1 ) ∃ | z | < | x |

$$x \in L \Leftrightarrow \exists |y| < |x|^{O(1)} \forall |z| < |x|^{O(1)} \exists |w| < |x|^{O(1)} T(x,y,z,w).$$ $\bar{L} \in \Pi_3^p$$S$ อย่างไรก็ตามทั้งสองข้อความนี้มีความเท่าเทียมกันเนื่องจากการร้องขอกฏหมายของเดอมอร์แกนที่เรียบง่ายแสดงให้เห็นพร้อมกับความจริงที่ว่า P ถูกปิดภายใต้การทำให้สมบูรณ์ (รับS=¬T) $$x \in \bar{L} \Leftrightarrow \forall |y| < |x|^{O(1)} \exists |z| < |x|^{O(1)} \forall |w| < |x|^{O(1)} S(x,y,z,w).$$ $S = \lnot T$