ต้นไม้ AVL ไม่ได้มีความสมดุลของน้ำหนัก?

ในคำถามก่อนหน้านี้มีคำจำกัดความของต้นไม้สมดุลน้ำหนักและคำถามเกี่ยวกับต้นไม้สีแดงดำ

คำถามนี้เป็นคำถามที่จะถามคำถามเดียวกัน แต่สำหรับต้นไม้ AVL

คำถามคือให้ความหมายของ -balanced ต้นไม้ในขณะที่คำถามอื่น ๆ$\mu$

มีบ้างไหมที่ต้นไม้ AVL ที่มีขนาดใหญ่ทั้งหมดนั้นมีความสมดุล ?$\mu \gt 0$$\mu$

ฉันคิดว่ามีเพียงคำจำกัดความเดียวของต้นไม้ AVL และไม่มีความกำกวม

เรียกร้อง : ไม่มีไม่มีเช่น\$\mu$

การพิสูจน์ : เราให้ลำดับต้น AVL แบบไม่ จำกัด ที่มีขนาดเพิ่มขึ้นซึ่งค่าความสมดุลของน้ำหนักมีค่าเป็น$0$ซึ่งขัดแย้งกับการอ้างสิทธิ์

ให้$C_h$ต้นไม้ที่สมบูรณ์แบบของความสูงของ$h$ ; มันมี$2^{h+1}-1$โหนด

Let ต้นไม้ Fibonacciของความสูงของเอช ; มันมีF h + 2 - 1โหนด [ 1 , 2 , TAoCP 3 ]$S_h$$h$$F_{h+2} - 1$

ตอนนี้ให้กับT h = N ( S h , C h )ลำดับของต้นไม้ที่เราอ้างว่าเป็นตัวอย่างที่เคาน์เตอร์$(T_h)_{i\geq 1}$$T_h = N(S_h,C_h)$

พิจารณาค่าถ่วงน้ำหนักของรูตของสำหรับค่าh ∈ N + :$T_h$$h \in \mathbb{N}_+$

$\qquad \displaystyle \begin{align*} \frac{F_{h+2}}{2^{h+1} + F_{h+2} - 1} &= \frac{1}{1 + \frac{2^{h+1}}{F_{h+2}} - \frac{1}{F_{h+2}{}}} \\ &\sim \frac{F_{h+2}}{2^{h+1}} \\ &= \frac{\frac{1}{\sqrt{5}}(\phi^{h+2} - \hat{\phi}^{h+2})}{2^{h+1}} \\ &\sim \frac{\phi^{h+2}}{\sqrt{5}\cdot 2^{h+1}} \underset{h \to \infty}{\to} 0 \end{align*}$

นี่เป็นการสรุปหลักฐาน

สัญกรณ์ :

• เป็น n THจำนวนฟีโบนักชี$F_n$$n$
• เป็นอัตราส่วนทองคำ,ไว ≈ - 0.62ผันของมัน$\phi \approx 1.6$$\hat{\phi} \approx -0.62$
• หมายความว่า Fและ Gมีค่าเท่ากัน asymptotically คือลิมn →การ∞ ฉ( n $f \sim g$$f$$g$1$\lim_{n \to \infty} \frac{f(n)}{g(n)} = 1$

หมายเหตุ : ต้นไม้ Fibonacci เป็นต้นไม้ AVL ที่มีโหนดน้อยที่สุดสำหรับความสูงที่กำหนด (หรือเท่ากับความสูงสูงสุดสำหรับจำนวนโหนดที่ระบุ)

ภาคผนวก : เราจะเกิดต้นไม้ฟีโบนักชีได้อย่างไรถ้าเราไม่ได้ยินอาจารย์พูดถึงมัน ทรีสูงของ AVL มีโหนดน้อยที่สุดเท่าที่เป็นไปได้จะเป็นอย่างไร แน่นอนคุณต้องรูท หนึ่งในทรีย่อยต้องมีความสูงh - 1และเราต้องเลือกมันให้มากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ อีกอันหนึ่งสามารถมีความสูงh - 2โดยไม่ละเมิดเงื่อนไขการปรับสมดุลความสูงและเราเลือกมันด้วยโหนดน้อยที่สุดเท่าที่จะทำได้ ในสาระสำคัญเราสร้างต้นไม้ที่เราต้องการซ้ำ! นี่คือสี่คนแรก:$h$$h-1$$h-2$

^{[ แหล่งที่มา ]}

เราตั้งค่าการเกิดซ้ำสำหรับจำนวนโหนดในต้นไม้ที่สร้างขึ้นดังนั้นด้วยความสูงh :$f(h)$$h$

$\qquad \displaystyle \begin{align*} f(1) &= 1 \\ f(2) &= 2 \\ f(h) &= f(h-1) + f(h-2) + 1 \qquad n \geq 3 \end{align*}$

การแก้มันนำไปสู่ซึ่งเราใช้ด้านบน$f(h) = F_{h+2} - 1$

มีการพิสูจน์แบบเดียวกัน (โดยมีรายละเอียดน้อยกว่า) ในต้นไม้ค้นหาแบบไบนารีของยอดคงเหลือที่มีขอบเขตโดย Nievergelt และ Reingold (1972)