การตัดขั้นต่ำสามารถทำได้ง่ายกว่าการไหลของเครือข่ายหรือไม่

ต้องขอบคุณทฤษฎีบทการตัดขั้นต่ำสูงสุดเรารู้ว่าเราสามารถใช้อัลกอริทึมใด ๆ ในการคำนวณการไหลสูงสุดในกราฟเครือข่ายเพื่อคำนวณ a -min-cut ดังนั้นความซับซ้อนของการคำนวณขั้นต่ำ -cut จึงไม่เกินความซับซ้อนของการคำนวณสูงสุด -flow( s , t ) ( s , t $(s,t)$$(s,t)$$(s,t)$

มันจะน้อยลงหรือไม่ มีอัลกอริทึมสำหรับการคำนวณขั้นต่ำ -cut ที่เร็วกว่าอัลกอริธึม max-flow หรือไม่?$(s,t)$

ฉันพยายามหาลดลงเพื่อลด$(s,t$ ) ปัญหา -max ไหลไป$(s,t)$ปัญหา -min ตัด แต่ผมก็ไม่สามารถที่จะหาคน ความคิดแรกของฉันคือใช้อัลกอริธึมการหารและการพิชิต: ก่อนอื่นให้หา min-cut ซึ่งแยกกราฟออกเป็นสองส่วน ตอนนี้หา max-flow แบบวนซ้ำสำหรับส่วนด้านซ้ายและ max-flow สำหรับส่วนที่ถูกต้องและรวมเข้าด้วยกันกับขอบทั้งหมดที่ตัดผ่าน สิ่งนี้จะทำงานเพื่อสร้างโฟลว์สูงสุด แต่เวลาทำงานที่เลวร้ายที่สุดของมันอาจมากเท่ากับ$O(|V|)$เท่าใหญ่เท่ากับเวลาทำงานของอัลกอริธึมตัดขั้นต่ำ มีการลดที่ดีขึ้นหรือไม่

ฉันตระหนักถึงทฤษฎีการตัดขั้นต่ำแบบ max-flow แสดงให้เห็นว่าความซับซ้อนของการคำนวณคุณค่าของ max-flow นั้นเหมือนกับความซับซ้อนของการคำนวณความสามารถของการตัดขั้นต่ำ แต่นั่นไม่ใช่สิ่งที่ฉันถาม ฉันถามเกี่ยวกับปัญหาของการหา max-flow และการหา min-cut (อย่างชัดเจน)

สิ่งนี้มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับการคำนวณ max-flow จาก min-cutยกเว้น: (1) ฉันยอมให้ Cook Reduction (Turing reduction) ไม่ใช่แค่การลด Karp (การลดหลายครั้ง) และ (2) บางทีอาจให้$G$เราสามารถหากราฟ$G'$เช่นนั้นการตัดขั้นต่ำของ$G'$ทำให้ง่ายต่อการคำนวณ max-flow ของ$G$ซึ่งเป็นสิ่งที่เกินขอบเขตสำหรับคำถามอื่นนั้น

นี่เป็นวิธีที่เป็นไปได้:

สมมติว่าคุณรู้ว่าตัด S แล้วหาไหลจากไปทีเป็นปัญหาการไหลของเครือข่ายค่าใช้จ่ายนาทีกับศูนย์ค่าใช้จ่ายเนื่องจากคุณรู้ว่าการไหลออกในแต่ละจุดสุดยอดในV ∖ Sและในการไหลเข้าที่เสื้อ สมมติฉหมายถึงS - เสื้อไหลและการโหนดโค้งเมทริกซ์ (เช่นแถวฉัน , พญมี 1 ถ้าผมเป็นหางของเจ -1 ถ้าหัวของมันอย่างอื่นเป็นศูนย์) และให้ขเป็นเช่นนั้นf = bถ้า$S$$t$$V\setminus S$$t$$f$$S-t$$A$$i$$j$$i$$j$$b$$Af = b$$f$satistfies อุปสงค์ / อุปทานและการอนุรักษ์การไหล จากนั้นด้วยการกำจัด Gaussian เราสามารถหาทางออกที่เป็นไปได้ในการดำเนินงาน$|V|^3$

เพื่อหาการตัดจากการไหลเราต้องสร้างกราฟที่เหลือซึ่งใช้เวลามากที่สุดเวลาและจากนั้นอาจข้ามไป| V | จุด $|E|$$|V|$

ดังนั้นสำหรับกราฟที่สมบูรณ์และการตัดขั้นต่ำเป็นแค่แหล่งที่มาหรือเพียงแค่อ่างล้างจานการลดใช้เวลาเท่ากันทั้งสองกรณีที่เลวร้ายที่สุด อย่างไรก็ตามฉันคิดว่าการหาทางออกที่เป็นไปได้สำหรับสามารถทำได้เร็วกว่า| V | 3ได้รับโครงสร้างพิเศษ ฉันไม่แน่ใจว่าจะพิสูจน์ได้อย่างไร$Af =b$$|V|^3$