อัลกอริทึมสำหรับการลดขนาดออโตเมติกของ Moore

อัลกอริธึมของ Brzozowski สามารถขยายไปยังออโตเมตของมัวร์ได้ แต่ความซับซ้อนของเวลานั้นมีความซับซ้อนโดยทั่วไป มีอัลกอริธึมอื่น ๆ สำหรับการลดขนาดออโตเมติกให้เล็กที่สุดหรือไม่? อะไรคือเวลาทำงานของอัลกอริทึมเหล่านี้ถ้ามี?

อัลกอริธึมการลดขนาด DFA ดั้งเดิมนั้นได้รับการออกแบบมาสำหรับ Moore Machinesโดยมีพฤติกรรมที่สังเกตได้ชัดเจนกว่า แต่อัลกอริทึมที่นำเสนอในที่นี้คือการสร้างใหม่จากการย่อขนาด DFA เนื่องจากฉันค้นพบหลักฐานทางประวัติศาสตร์หลังจากข้อเท็จจริง

หลังจาก Wikipedia (มีการเปลี่ยนแปลงที่น่าสังเกต):

เครื่องมัวร์สามารถกำหนดเป็น 6 tuple ประกอบด้วยต่อไปนี้:$(Q, q_0, \Sigma, \Pi, \delta, \gamma)$

• ชุด จำกัด ของรัฐ$Q$
• สถานะเริ่มต้น (เรียกอีกอย่างว่าสถานะเริ่มต้น) ซึ่งเป็นองค์ประกอบของ$q_0$$Q$
• เซต จำกัด ที่เรียกว่าตัวอักษรอินพุต$\Sigma$
• ชุด จำกัด เรียกว่าเอาต์พุตตัวอักษร$\Lambda$
• ฟังก์ชั่นการเปลี่ยนแปลงการแมปสถานะและตัวอักษรอินพุตไปยังสถานะถัดไป $\delta : Q \times \Sigma \rightarrow Q$
• ฟังก์ชั่นการส่งออกการแมปแต่ละรัฐกับตัวอักษรที่ส่งออก $\gamma : Q \rightarrow \Pi$

จากคำจำกัดความนี้เครื่อง Moore เป็นตัวแปลงสัญญาณสถานะ จำกัด แน่นอน

ฉันไม่มีการอ้างอิงสำหรับการลดขนาดออโตเมติกให้เหลือน้อยที่สุด อย่างไรก็ตามมันไม่ยากเกินกว่าจะจินตนาการถึงอัลกอริธึมที่ได้มาจากอัลกอริธึมที่ใช้สำหรับสถานะออโตมาตะ จำกัด

ความคิดในการลด DFA จะขึ้นอยู่ในลักษณะ Myhill-Nerode ภาษาปกติ

$L$$x$$y$$z$$xz$$yz$$L$$R_L$$x R_L y$$x$$y$$R_L$

$L$$R_L$$L$$R_L$

$q$$W_q$$R_L$

$L$$W_q$$R_L$

ดังนั้นการย่อเล็กสุดของ DFA จริง ๆ แล้วประกอบด้วยการรวมสถานะ (ถือว่าเป็นชุดของสตริงที่เทียบเท่า) เมื่อใดก็ตามที่มันแสดงให้เห็นว่าสองสถานะที่แตกต่างมีสตริงที่เทียบเท่ากัน

$O(n^2)$$O(n\log n)$

$R_T$$T$$R_L$$R_T$

$T$$x$$y$$z$$T(xz)=T(x)u$$T(yz)=T(y)v$$u\neq v$$z$$x$$y$

$R_T$$\Sigma^*$

อัลกอริทึมต่อไปนี้เลียนแบบอัลกอริทึม Moore สำหรับการย่อขนาด DFA

$\mathcal P$$Q$$S_e$

$\forall e\in\Pi:\; S_e=\{q\in Q\mid \gamma(q)=e\}$

$\mathcal P$

$S$
$\ \ $ $\forall a\in\Sigma,\;$
$\ \ \ \ $ $\exists S'\in \mathcal P,\; \forall q\in S,\; \delta(q,a)\in S'$
$\ \ \ \ $ $S$$S_i$
$\ \ \ \ \ \ $$S_i$$S'\in \mathcal P$$\forall q\in S_i,\; \delta(q,a)\in S'$
$\ \ \ \ \ \ $$S_i$$S$$\mathcal P$

เมื่อไม่มีคลาสเหลือที่จำเป็นต้องแยกคลาสที่เหลือของรัฐจะสร้างสถานะของเครื่อง Moore ขั้นต่ำสุด

โดยการก่อสร้างทุกรัฐในชั้นเรียนมีผลลัพธ์เดียวกันซึ่งเป็นผลลัพธ์สำหรับชั้นเรียน

$a\in\Sigma$

$n=|Q|$$s=|\Sigma|$
$n$$O(sn^2)$

ฉันไม่มีข้อมูลอ้างอิงสำหรับการลดขนาดของเครื่อง Moore นี้ อาจรวมอยู่ในกระดาษของเขา:

มัวร์เอ็ดเวิร์ดเอฟ (1956) "Gedanken- การทดลองเกี่ยวกับเครื่องตามลำดับ" การศึกษาแบบออโตมาตะ , พงศาวดารของคณิตศาสตร์ศึกษา (พรินซ์ตัน, นิวเจอร์ซีย์: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน) (34): 129-153

กระดาษนี้คือการอ้างอิงหลักแนะนำมัวร์เครื่อง นอกจากนี้ยังมีการอ้างอิงสำหรับขั้นตอนวิธีการลดปริมาณของมัวร์ DFA ดังนั้นจึงน่าแปลกใจถ้าการปรับอัลกอริธึมเพื่อการลดขนาดของ Moore Machines ไม่ได้มีการเสนอแนะอย่างน้อยในกระดาษนั้น ฉันตรวจสอบกระดาษและเวอร์ชันของอัลกอริธึมการย่อขนาดเล็กสุดที่แสดงนั้นเป็นจริงสำหรับเครื่อง Moore ไม่ใช่สำหรับ DFA กระดาษเขียนได้ดี แต่รูปแบบของเวลาทำให้อ่านยากขึ้นเล็กน้อย เป็นที่น่าสนใจที่จะเห็นว่าความคิดมากมายเกี่ยวกับทฤษฎี Myhill-Nerode ของเครื่องจักรไฟไนต์สเตทได้ถูกร่างไว้ในบทความนี้แล้ว

$O(sn\log n)$

เวอร์ชั่นของอัลกอริธึมของ Brzozowski ที่ใช้อนุพันธ์ของนิพจน์ทั่วไปนั้นให้ไว้ใน [2], ตอนที่ 12, ตอนที่ 4, ซึ่งให้เครดิตกับ [4] ดู [1] และ [3] สำหรับกรณีทั่วไปของตัวแปลงสัญญาณแบบอนุกรม (คำศัพท์นั้นล้าสมัยไปเล็กน้อยและคำว่าตัวเรียงลำดับแบบลำดับอาจเป็นสิ่งที่เหมาะสมกว่าในปัจจุบัน)

[1] C. Choffrut, การลดทรานสดิวเซอร์ทรานสิดิเนชันตามลำดับ: การสำรวจ, ทฤษฎีบท คอมพ์ วิทย์ 292 (2003), 131–143

[2] S. Eilenberg, Automata, ภาษาและเครื่อง, ฉบับที่ A, Academic Press, 1974

[3] J.-E. Pin, กวดวิชาในการทำงานตามลำดับ (สไลด์)

[4] GN Raney, ฟังก์ชันลำดับ, JACM 5 (1958), 177–180

อัลกอริธึมของ Brzozowskiเป็นจุดเริ่มต้นที่ไม่ดี แม้แต่ Wikipedia ก็บอกคุณมาก:

ดังที่ Brzozowski (1963) ตั้งข้อสังเกตการพลิกกลับขอบของ DFA ทำให้เกิดเครื่องจักร จำกัด (NFA) สำหรับการกลับรายการของภาษาดั้งเดิมและเปลี่ยน NFA นี้เป็น DFA โดยใช้การสร้างมหาอำนาจมาตรฐาน (สร้างเฉพาะสถานะที่เข้าถึงได้ของ DFA ที่แปลงแล้ว) นำไปสู่ ​​DFA ขั้นต่ำสำหรับภาษาที่ตรงกันข้าม ทำซ้ำการดำเนินการกลับรายการนี้เป็นครั้งที่สองที่สร้าง DFA น้อยที่สุดสำหรับภาษาต้นฉบับ ความซับซ้อนของกรณีที่เลวร้ายที่สุดของอัลกอริธึมของ Brzozowski คือเลขชี้กำลังเนื่องจากมีภาษาปกติที่ DFA ที่น้อยที่สุดของการกลับรายการมีขนาดใหญ่กว่า DFA ขั้นต่ำของภาษาอย่างมาก [6] แต่บ่อยครั้งมันจะทำงานได้ดีกว่ากรณีที่เลวร้ายที่สุด

อัลกอริธึมมีรันไทม์กรณีเลวร้ายที่สุดแบบเอกซ์โปเนนเชียลแม้ใน DFAเพราะมันคำนวณออโตเมตันสำหรับการย้อนกลับซึ่งอาจต้องมีขนาดใหญ่แทน ดังนั้นปัญหาของคุณไม่ได้มาจากการขยายไปยังก้อน

พยายามปรับอัลกอริธึมการลด DFA อื่น