การกำหนดปัญหาการหยุดทำงานสำหรับออโตมาต้าที่ไม่สามารถกำหนดค่าได้

18

คำจำกัดความหลักของ Turing machine (TM) อย่างน้อยในหนังสืออ้างอิงของฉันเอง (Hopcroft + Ullman 1979) นั้นถูกกำหนดไว้แล้ว

ดังนั้นความเข้าใจของฉันเองเกี่ยวกับปัญหาการหยุดชะงักเป็นหลักสำหรับการกำหนด TM แต่ฉันตระหนักว่ามันอาจได้รับการพิจารณาสำหรับออโตมาตาชนิดอื่น

ฉันยังสังเกตเห็นว่าการกำหนดระดับนั้นมักจะมากหรือน้อยโดยนัยในวิธีที่ผู้คนมักอ้างถึง TM หรือปัญหาการหยุดชะงัก หน้าวิกิพีเดียเกี่ยวกับปัญหาการหยุดชะงักเป็นตัวอย่างที่ดีของสิ่งนั้น

แต่ดูเหมือนไม่มีเหตุผลสำหรับข้อ จำกัด ดังกล่าว ให้ครอบครัว ของออโตมาตะที่ไม่สามารถกำหนดได้ - ปัญหาการหยุดชะงักของอาจถูกกำหนดเป็น: $\mathcal F$ $\mathcal F$

มีขั้นตอนการตัดสินใจที่เหมือนกันหรือไม่เนื่องจากมีหุ่นยนต์และอินพุตจะสามารถตัดสินใจได้ว่ามีการคำนวณการหยุดชะงักของบนอินพุตหรือไม่ $A\in\mathcal F$ $x$ $A$ $x$

(นี่ไม่เหมือนกับการบอกว่าการคำนวณของกับอินพุตจะสิ้นสุดลง) $A$ $x$

ที่จริงแล้วดูเหมือนเป็นวิธีเดียวที่จะให้ความรู้สึกถึงการอภิปรายเกี่ยวกับปัญหาการหยุดชะงักสำหรับLinear Bounded Automata (LBA) ซึ่งส่วนใหญ่ไม่ใช่ออโตมาตา

ดังนั้นคำถามของฉันคือว่าฉันถูกต้องหรือไม่และมีเหตุผล (และเหตุผลใด) สำหรับการรักษาระดับที่สองนี้ที่เห็นได้ชัดของปัญหาการหยุดชะงักสำหรับออโตมาตาแบบไม่ขึ้นรูป

— Babou
แหล่งที่มา

หากคุณคิดว่ามีอะไรผิดปกติในคำถามนี้คุณจะกรุณาบอกเราว่ามันคืออะไรเพื่อเราจะได้รับประโยชน์จากความรู้ของคุณและปรับปรุงการโพสต์สำหรับผู้ใช้ทั้งหมด ขอขอบคุณ.

— babou

12

มีเหตุผลสองสามข้อที่ฉันคิดว่าเราใช้ความพยายามน้อยลงในปัญหา Halting สำหรับโมเดลที่ไม่ได้กำหนดค่าไว้

อย่างแรกคือในความเป็นจริงแล้วมีปัญหาเรื่องการหยุดสองปัญหาที่เกี่ยวข้องสำหรับรุ่น ND รับอินพุตและเครื่องที่ไม่ได้กำหนดค่า : $x$ $M$

มีการรันถูกต้องบนที่หยุดหรือไม่ $M$ $x$
มีการรันถูกต้องบนซึ่งไม่หยุดหรือไม่ นั่นคือการรันที่ถูกต้องทั้งหมดจะหยุดชะงักหรือไม่ $M$ $x$

สำหรับเครื่องที่กำหนดขึ้นเหล่านี้เป็นเหมือนกันเนื่องจากมีเป็นสิ่งหนึ่งวิ่งที่ถูกต้องของในการป้อนข้อมูลxแต่สำหรับเครื่องที่ไม่ได้กำหนดค่าอาจมีการรันหลายครั้ง สิ่งที่คุณสนใจขึ้นอยู่กับใบสมัครของคุณ $M$ $x$

ประการที่สองรูปแบบที่ไม่ได้กำหนดไว้แล้วไม่สมจริง: พวกเขาคิดว่าคุณมีกล่องวิเศษที่บอกเส้นทางที่จะพาคุณหรือว่าคุณมีรูปแบบของการขนานแบบไม่มีที่สิ้นสุด เนื่องจากเครื่องทัวริงที่ไม่ได้กำหนดค่าและกำหนดได้นั้นเทียบเท่ากับกำลังไฟในกรณีส่วนใหญ่คุณเพียงแค่แปลงเครื่องให้เป็นเครื่องกำหนดก่อนที่คุณจะกังวลเกี่ยวกับการหยุด

ในฐานะที่เป็นส่วนขยายของสิ่งนี้เราไม่สนใจเพราะการพิสูจน์บางสิ่งเกี่ยวกับเครื่องจักรที่ไม่ได้กำหนดค่าอย่างน้อยที่สุดก็ยากพอ ๆ กับการพิสูจน์บางสิ่งเกี่ยวกับเครื่องจักรที่กำหนดค่าที่เทียบเท่า เรารู้อยู่แล้วว่าไม่มีวิธีแก้ปัญหาการหยุดชะงักที่กำหนดขึ้นดังนั้นสิ่งที่มีประโยชน์จริงๆคือการพิสูจน์ปัญหาอื่น ๆ ที่ไม่สามารถตัดสินใจได้ด้วยการลดลง และมันจะเป็นงานที่น้อยลงในการลดปัญหาการหยุดชะงักเนื่องจากมันง่ายกว่าของที่ไม่ได้กำหนดไว้ล่วงหน้า

— jmite
แหล่งที่มา

คุณระบุว่า: " แต่สำหรับเครื่องที่ไม่ได้กำหนดค่าอาจมีหลายการเรียกใช้ซึ่งเป็นสิ่งที่คุณสนใจขึ้นอยู่กับแอปพลิเคชันของคุณ " คุณสามารถแสดงคำสั่งนั้นด้วยตัวอย่างได้หรือไม่? จากนั้นคุณระบุว่า " คุณเพียงแปลงเครื่องเป็นเครื่องกำหนดค่าก่อนที่คุณจะกังวลเกี่ยวกับการหยุด " มันทำอย่างไรกับ LBA

— babou

LBA เป็นชุดย่อยของเครื่องจักรทัวริงที่ไม่ได้กำหนดค่าดังนั้นพวกเขาสามารถเปลี่ยนเป็นทัวริงเครื่องจักรที่กำหนดขึ้นได้โดยใช้วิธีการปกติ ฉันสงสัยว่ามีการก่อสร้างพิเศษที่สามารถใช้ในการแปลงเป็นเครื่องจักรที่มีคุณสมบัติเฉพาะดังนั้นเราสามารถรักษาความสามารถในการให้เหตุผลที่พิเศษที่เราได้รับจาก LBA ฉันคิดว่ามันจะมีลักษณะคล้ายกับอัลกอรึทึมย้อนรอยที่มีการใช้พื้นที่เชิงเส้นยกเว้นสแต็คการโทรอาจมีขนาดใหญ่เป็นทวีคูณ (ฉันไม่แน่ใจฉันต้องค้นหามัน)

— jmite

สำหรับเส้นทางที่หลายพิจารณาสองเครื่อง

หนึ่งซึ่งมักจะหยุดการป้อนข้อมูล

, และหนึ่งซึ่งไม่ได้ทำสำหรับx

เราสามารถสร้าง LBA

ใหม่ซึ่งเริ่มต้นด้วยการเลือกค่าบูลีน หากเลือกเป็นจริงจะเรียกใช้

ในอินพุต x ถ้ามันเลือกเท็จมันวิ่ง

บนx

ตัวเลือกแต่ละตัวเลือกของจริงและเท็จต่างกัน "รัน" เครื่องนี้หยุดเพื่อ

หรือไม่? มีเส้นทางที่มันหยุดอยู่กับที่มีอยู่

แต่มันไม่ได้หยุดสำหรับทุกเส้นทางการอ่านx

M_{1}, M_{2}

$M_1, M_2$

x

$x$

x

$x$

M

$M$

M_{1}

$M_1$

M_{2}

$M_2$

x

$x$

x

$x$

x

$x$

x

$x$

— jmite

1

@HendrikJan ดูเหมือนลังเลของ NLBA ที่ค่อนข้างอยู่กับทฤษฎีบท Savitch ของ แต่มันจะเปลี่ยนเส้นตรงที่ผูกเข้ากับกำลังสอง

— babou

1

@ ราฟาเอลสิ่งที่ฉันหมายถึงโดยนี้คือการแสดงปัญหา

undecidable คุณแสดงให้เห็นว่าคุณสามารถใช้

เพื่อจำลองปัญหาอื่นที่ไม่สามารถตัดสินใจได้ เนื่องจากมีการทำแผนที่หัวฉีดเล็กน้อยจาก DTMs ไปยัง NTMs การลดใด ๆ จากการหยุดชะงักของ NTM ก็ยังเป็นการลดลงจากการหยุด DTM โดยปกติแล้วมันจะทำงานได้น้อยลงในการลดจากการหยุด DTM เนื่องจากเป็นปัญหาที่ยากน้อยกว่าที่คุณพยายามจำลอง

P

$P$

P

$P$

— jmite

4

ปัญหาการหยุดชะงักเป็นปัญหาที่ไม่สำคัญ - สมบูรณ์เนื่องจากสามารถระบุได้ว่า: $\Sigma_1$

x $H(P,x) \leftrightarrow \exists c \, \text{ s. t. $c$ is a halting computing of $P$ on $x$}$

นี่แสดงว่าคำนิยามของคุณถูกต้อง โดยทั่วไปคำจำกัดความที่สมบูรณ์ทุกคำว่า "ถูกต้อง" $\Sigma_1$

— Yuval Filmus
แหล่งที่มา

น่าเสียดายที่ฉันไม่รู้อะไรเกี่ยวกับลำดับชั้นทางคณิตศาสตร์ ฉันถูกต้องในการทำความเข้าใจว่า

แสดงถึงปัญหาแบบกึ่งตัดสินใจได้หรือไม่? สิ่งที่เกี่ยวกับ:

Σ_{1}

$\Sigma_1$

. ฉันถามเพราะปริมาณที่มีอยู่และเป็นสากลดูเหมือนจะจบลงในชั้นเรียนที่แตกต่างกัน แต่มันก็เป็นสิ่งที่คลุมเครือสำหรับฉัน

เป็นกึ่ง decidable

K (P, x) \leftrightarrow \forall c, c is a computing of P on x ⟹ c is halting.

$K(P,x)\leftrightarrow\forall c, c\text{ is a computing of $P$ on $x\implies c$ is halting.}$

K

$K$

— Babou

นั่นคือสิ่งที่ฉันกลัวว่าคุณจะตอบ ฉันถามเพราะฉันคิดว่าฉันมีขั้นตอนการตัดสินใจแบบกึ่งมัน ดังนั้นการพิสูจน์ของฉันผิดหรือทำให้ปัญหาของฉันเป็นทางการไม่ถูกต้อง โดยพื้นฐานแล้วมันเป็นข้อเสนอแนะของ jmite ว่าการไม่หยุดชะงักของอินพุต

สามารถกำหนดได้โดยกำหนดให้การคำนวณทั้งหมดบน

หยุดชะงัก และฉันเชื่อมาจนถึงตอนนี้ฉันมีการตัดสินใจแบบกึ่ง ๆ

x

$x$

x

$x$

— Babou

ที่จริงแล้วคำจำกัดความของคุณไม่ดีสำหรับอีกเหตุผล: คุณหมายถึงอะไรโดย "

กำลังหยุด" ไม่ว่าคุณจะหมายความว่า

ซึ่งเป็นการเริ่มต้นเพียงการคำนวณที่ไม่สมบูรณ์ก็เสร็จสมบูรณ์จริง ๆ ในกรณีนั้น

ไม่เป็นความจริงเนื่องจากคุณสามารถใช้

เพื่อเป็นการคำนวณที่ว่างเปล่า ในอีกกรณีหนึ่งไม่ชัดเจนว่าคำอธิบายของ

มี จำกัด และยังไม่ชัดเจนว่าคำกริยา "

กำลังหยุด" นั้นคำนวณได้

c

$c$

c

$c$

K (P, x)

$K(P,x)$

c

$c$

c

$c$

c

$c$

— Yuval Filmus

ดังนั้นในความเป็นจริงที่เป็นปัญหาใน

แต่อาจไม่

ที่สมบูรณ์

Π_{1}

$\Pi_1$

Π_{1}

$\Pi_1$

— Yuval Filmus

ขอบคุณและขอโทษสำหรับการอ่านที่ไร้เดียงสาของฉัน ฉันคิดว่า

คุณใช้นั้นใช้สำหรับการคำนวณแบบ "สมบูรณ์" ซึ่งดูเหมือนจะเป็นข้อผิดพลาดของโดเมน ฉันเดาว่าสามารถใช้โดเมนที่นับได้เท่านั้นและชุดของการคำนวณที่ไม่หยุดนิ่งของ nondeterministic TM นั้นไม่มีคุณสมบัติ นอกจากนี้ฉันเดาว่าเครื่องบอกปริมาณบอกเราว่าความสามารถในการคำนวณนั้นแย่แค่ไหน แต่ก็ไม่รับประกันว่ามันจะแย่ ดังนั้นดูเหมือนว่าข้อเสนอของ jmite จะไม่แสดงออกอย่างง่ายดายในรูปแบบที่ตรงตาม "รูปแบบ" ที่ต้องการ แต่ขั้นตอนการตัดสินใจของฉันอาจถูกต้อง

c

$c$

— Babou

2

คุณบอกว่ามี "การรักษาชั้นสองอย่างเห็นได้ชัด" ของปัญหาการหยุดชะงักสำหรับเครื่อง nondeterministic ปรากฏว่า nondeterminism ไม่ได้รับการพิจารณาในอดีตจนกระทั่งหลังจากการสร้าง Turings ของ TM ที่กำหนดขึ้นและสิ่งนี้อาจเกี่ยวข้องกับการมุ่งเน้นการวิจัยในพื้นที่ อย่างไรก็ตามประเด็นหลักที่นี่คือปัญหา nondeterministic สามารถลดลงได้อย่างง่ายดายเพื่อกำหนดปัญหาดังนั้นหนึ่งเพียงต้องการศึกษาปัญหาที่กำหนด "โดยไม่สูญเสียทั่วไป"

นอกจากนี้เพื่อตอบโต้ความคิดของ "ชั้น 2" นี่คืออย่างน้อยหนึ่งอ้างอิง / กระดาษที่ศึกษาปัญหาการหยุดชะงักสำหรับเครื่อง nondeterministic และพบว่าการเชื่อมต่อที่เป็นประโยชน์ / ลึก มีหลักฐานตามสถานการณ์ที่แสดงให้เห็นว่างานวิจัยของ CS นั้นกว้างใหญ่ / เชี่ยวชาญบางครั้งงานวิจัยเริ่มต้นบางอย่างได้ทำในพื้นที่ส่วนใหญ่แม้จะดูแคบลงและมันสามารถเข้าใกล้ความหมายที่ไร้ความหมาย และในทางกลับกันการมองโลกในแง่ร้ายดูเหมือนจะเป็นแนวคิดที่ลึกล้ำ / แพร่หลาย / การตัดขวางใน CS (มีคำถามเปิดที่สำคัญเช่น P vs NP อยู่) และมุมมองนั้นน่าจะยังคงดำเนินต่อไปในอนาคต

Parameterized Halting Problem / Chen, Flum

บทคัดย่อ. ปัญหาที่แปรตามพารามิเตอร์ p-Halt รับเป็นอินพุตของเครื่องทัวริง nondeterministic M และจำนวนธรรมชาติ n, ขนาดของ M เป็นพารามิเตอร์ มันถามว่าการยอมรับการรัน M ทุกครั้งบนเทปเปล่านั้นมีมากกว่า n ก้าวหรือไม่ ปัญหานี้อยู่ในคลาส XPuni ซึ่งเป็นคลาส“ ยูนิฟอร์ม XP” หากมีอัลกอริทึมตัดสินใจอยู่ซึ่งสำหรับเครื่อง M ที่ตายตัวแล้วจะทำงานในเวลาพหุนามใน n ปรากฎว่าปัญหาต่าง ๆ ที่เปิดกว้างของสาขาวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎีมีความสัมพันธ์หรือเทียบเท่ากับ p-Halt ∈ XPuni ดังนั้นคำแถลงนี้เป็นสะพานที่อนุญาตให้มีการเทียบเคียงกันระหว่างคำแถลงของพื้นที่ต่างๆ (ทฤษฎีพิสูจน์, ทฤษฎีความซับซ้อน, ความซับซ้อนเชิงพรรณนา,...) ซึ่งในแวบแรกนั้นดูเหมือนจะไม่เกี่ยวข้องกัน ดังที่การนำเสนอของเราแสดง

— vzn
แหล่งที่มา

2

โดยสังเขป

ดูเหมือนจะไม่มีเหตุผลที่ดีที่จะละเลยปัญหาการหยุดทำงานในการตั้งค่าที่ไม่ใช่แบบดั้งเดิมของทัวริงเครื่องจักรนอกเหนือจากข้อเท็จจริงที่ว่าปัญหาการหยุดคลาสสิกตอบคำถามทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญบางอย่าง (เช่น Entscheidungsproblem ) ในขณะที่ตัวแปรต่างๆ ปัญหาทางเทคนิคที่น่าสนใจ (?) แต่มีผลกระทบน้อยกว่ากับรากฐาน

หลังจากตรวจสอบข้อโต้แย้งที่ให้ไว้ในคำตอบก่อนหน้านี้ฉันวิเคราะห์และเปรียบเทียบข้อเสนอทั้งสองโดย jmiteเพื่อหาคำจำกัดความที่เป็นไปได้ของ " nondeterministic " ที่หยุดทำงานในกรณีของออโตเมติก nondeterministic ปัญหาไม่ได้เป็นการกำหนดว่าการหยุดความหมายสำหรับการคำนวณเดี่ยวเพียงใด แต่สิ่งที่ควรหมายถึงสำหรับชุดการคำนวณที่เป็นไปได้ของหุ่นยนต์ nondeterministic ที่กำหนดบนอินพุตกำหนด สิ่งนี้สามารถทำหน้าที่เป็นพื้นฐานสำหรับการกำหนดปัญหาการหยุดชะงักใน nondeterministic ออโตมาตา $A$ $x$

ตามที่คำตอบของ jmite นี้ลังเล nondeterministic สามารถกำหนดเป็นที่สอดคล้องกับการดำรงอยู่ของการคำนวณลังเลอย่างน้อยหนึ่ง (คนที่ลังเลอัตถิภาวนิยม ) หรืออีกทางเลือกหนึ่งที่จะกำหนดว่าทุกการคำนวณเป็นไปได้ที่จะลังเล ( ลังเลสากล ) คำจำกัดความทั้งสองนี้สอดคล้องกับคำจำกัดความสองประการที่แตกต่างกันของปัญหาการหยุด nondeterministic

ฉันแสดงให้เห็นว่าสำหรับทัวริงเครื่องจักรคำจำกัดความทั้งสองนั้นสอดคล้องกับสองวิธีที่แตกต่างกันในการกำหนดเครื่องโดยการประกบกัน จากนี้ผมสรุปว่าทั้งสองสายพันธุ์ของลังเลปัญหา nondeterministic มีทั้งทัวริงเทียบเท่ากับคลาสสิกที่กำหนด ลังเลปัญหา

อย่างไรก็ตามฉันยังแสดงให้เห็นว่าคำจำกัดความของการหยุดแต่ละคำเหล่านี้เกี่ยวข้องโดยตรงกับคำจำกัดความที่เกี่ยวข้องของภาษาที่ได้รับการยอมรับโดยเครื่องทัวริงและความสัมพันธ์นี้สามารถแสดงได้อย่างง่ายดายบนเงื่อนไขของการเลือกคำจำกัดความที่สอดคล้องกัน

ดังนั้นเมื่อนิยามตามปกติของภาษาที่ได้รับการยอมรับโดยหุ่นยนต์ nondeterministic คำจำกัดความตามธรรมชาติของการหยุด nondeterministic ก็คือการหยุดชะงักของการดำรงอยู่ตามที่เสนอในคำถามดั้งเดิม

การวิเคราะห์ส่วนใหญ่นี้ขยายไปถึงออโตมาตาชนิดอื่น ๆ โดยธรรมชาติแม้ว่าการก่อสร้างแบบประกบกันมักไม่สามารถใช้ได้ในตระกูลที่ทรงพลังน้อยกว่าทัวริงจักร

บทนำ

ฉันกำลังเขียนคำตอบนี้เป็นคำตอบเนื่องจากบางส่วนตอบคำถามของฉันหลังจากคิดเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้โดยคำนึงถึงคำตอบที่มีอยู่ นอกจากนี้การแก้ไขคำถามของฉันหลังจากสามคำตอบในกรณีนี้อาจทำให้เกิดปัญหาสับสนและฉันอยากปล่อยให้คำถามเป็นลายลักษณ์อักษรเพื่อหลีกเลี่ยงปัญหานั้น

ก่อนอื่นฉันอภิปรายความขัดแย้งบางอย่างกับคำตอบที่ให้ ประเด็นก็คือการไม่ดูหมิ่นความพยายามอย่างเป็นธรรมในการตอบคำถามของฉัน (ขอบคุณสำหรับคำตอบทั้งหมด) แต่เพื่อไปสู่จุดต่ำสุดของปัญหาโดยการพูดคุยหรือโต้แย้งประเด็นทางเทคนิค

ฉันคิดว่าคำถามเดิมแทบจะไม่ต้องการบริบทหรือแรงจูงใจ ปัญหาการหยุดชะงักเป็นหนึ่งในคำถามสำคัญที่เราถามเกี่ยวกับออโตมาต้าในมือข้างหนึ่งและการที่ nondeterminism เป็นหนึ่งในคุณสมบัติที่พบได้ทั่วไปและมีประโยชน์ของออโตมาตาในทางกลับกัน นอกจากนี้ nondeterminism ไม่ได้เป็นเพียงอุปกรณ์ทางทฤษฎีทั่วไปในการพิสูจน์ให้ง่ายขึ้น แต่เป็นคุณสมบัติที่สำคัญของบางตระกูลของออโตมาตะเช่นออโตเมติกขอบเขตเชิงเส้น (LBA) อย่างน้อยที่สุดในช่วงเวลาของการเขียนนี้

ดังนั้นจึงค่อนข้างเป็นธรรมชาติที่จะสงสัยว่าปัญหาการหยุดชะงักมีความหมายหรือความหมายที่ต้องการซึ่งและทำไมในกรณีของออโตเมตา nondeterministic

ปัญหาการหยุดทำงานชั่วคราวของ nondertericic ได้รับการแก้ไขอย่างดีหรือไม่?

คำถามของฉันสงสัยว่าทำไมปัญหาการหยุดทำงานของหุ่นยนต์ nondeterministic ดูเหมือนจะได้รับการรักษาระดับที่สองซึ่งทำให้เกิด downvote และคำตอบโดย vzn คำตอบโดย vznซึ่งเป็นจริงมากขึ้นความคิดเห็นยาวยืนยันว่า " ไม่นิยมดูเหมือนว่าลึกมาก / แพร่หลาย crosscutting แนวคิด / ใน CS"ซึ่งฉันไม่เคยสงสัยเลยนอกจากนี้ยังมีการอ้างอิงถึงการค้นหาซ้ำบางครั้งเกี่ยวกับการหยุดชะงักสำหรับเครื่อง nondeterministic ที่ไม่น่าแปลกใจ แต่ไม่ได้อยู่ที่จุดของฉันจริง ๆ จุดของฉันคือว่าฉันจำไม่ได้จริง ๆ ที่เครื่อง nondeterministic ถึงแม้ว่าฉันได้อ่านเศษเล็กเศษน้อยในสนามมันไม่ได้พูดถึง AFAIK ในตำราอ้างอิงของฉัน (Hopcroft + Ullman 1979) ดูเหมือนว่าโดยนัยมักจะอยู่ในใจของคนที่พวกเขากำลังพิจารณาออโตเมติกที่กำหนด เครื่องจักรที่มีคำจำกัดความการอ้างอิงกำหนดขึ้น

ตัวอย่างเช่นในคำถามเหตุใดปัญหาการหยุดให้บริการจึงตัดสินใจได้สำหรับ LBA , Yuval Filmus ลืมในคำตอบของเขาว่าเป็นอุปกรณ์ LBA ของ nondeterministic - แต่เก่งบันทึกคำตอบของเขามีความคิดเห็นที่ 4 คำ

ในฐานะพยานคนสุดท้ายต่อความจริงที่ว่าปัญหานี้ไม่ได้รับการกล่าวถึงอย่างดีโดยทั่วไป (แม้จะมีการวิจัยเฉพาะทาง) ฉันจะเรียกความจริงว่าปัญหานี้จะต้องมีการหารือ

คำตอบจาก jmiteเป็นเพียงคนเดียวที่จริงพยายามที่จะอธิบายว่าทำไมมันอาจจะไม่ดีจ่าหน้า อาร์กิวเมนต์แรกของเขาคือว่ามีสองคำจำกัดความที่เป็นไปได้ แต่ฉันเชื่อว่าสถานการณ์นี้ควรส่งเสริมการวิเคราะห์เพิ่มเติมเพื่อกำหนดความหมายที่เหมาะสมที่สุด ฉันพยายามทำด้านล่าง

นอกจากนี้เขายังชี้ให้เห็นว่าเนื่องจาก nondeterministic TM สามารถแปลงเป็นสารยับยั้งได้เสมอจึงไม่มีประเด็นที่น่าเป็นห่วงเกี่ยวกับปัญหาการหยุดทำงานในกรณี nondeterministic ฉันไม่มั่นใจอย่างเต็มที่ แต่อาจถูกมองว่าเป็นเหตุผลที่ดีสำหรับหลาย ๆ คน อย่างไรก็ตามการโต้แย้งไม่ได้ใช้กับ Linear Bounded Automata (LBA) เนื่องจากยังคงเป็นปัญหาเปิดอยู่ว่า LBA ที่กำหนดขึ้นเทียบเท่ากับ LBA แบบไม่ระบุชื่อ และมีตระกูลอื่น ๆ ของออโตมาตะซึ่งครอบครัวย่อยที่กำหนดได้อ่อนแอกว่าเช่นตระกูล nondeterministic ทั้งหมด (ตัวอย่างเช่น PDA)

ฉันยังไม่เห็นด้วยกับจุดสุดท้ายยืนยันว่าเราไม่ควรกังวลกับการหยุด nondeterministic เพราะบทพิสูจน์นั้นง่ายกว่าสำหรับเครื่องที่กำหนดขึ้น ราฟาเอลคัดค้านว่าในความคิดเห็น : " ฉันมักจะพบว่าการลดลงของปัญหาที่ยากขึ้นง่ายขึ้น " อันที่จริงสำหรับออโตมาตาหลายประเภทเวอร์ชัน nondeterministic นั้นทำหน้าที่เป็นหลักในการพิสูจน์ให้ง่ายขึ้นเช่นการลดออโตเมติกประเภทนั้น นอกจากนี้ยังมีสองรูปแบบของการหยุดชะงักที่อาจนำมาใช้ตามที่แนะนำโดย jmite ตัวเองอาจได้รับการพิจารณาเป็นข้อได้เปรียบเพราะมันให้ความยืดหยุ่นมากขึ้นในการแก้ไขปัญหา

เกี่ยวกับคำจำกัดความของปัญหาการหยุด nondeterministic

_{หมายเหตุ: การใช้คำว่า "universal" ในข้อความต่อไปนี้หมายถึงปริมาณสากลไม่ใช่เครื่องทัวริงสากล}

คำตอบจาก jmiteเป็นรายละเอียดมากที่สุด

คำตอบนี้คาดเดาว่า nondeterministic automata ช่วยลดความพยายามในการหยุดปัญหาเนื่องจากสามารถกำหนดได้สองวิธีที่แตกต่างกัน (คำศัพท์คือของฉัน):

$M$ $x$
$M$ $x$

คำจำกัดความเดียวที่ฉันแนะนำเพียงพอคือการหยุดพัก

$x$

พิสูจน์ : สิ่งนี้พิสูจน์ได้อย่างง่ายดายด้วยบทแทรกของKönigเนื่องจากจำนวนตัวเลือก nondeterministic ที่เป็นไปได้ในแต่ละขั้นตอนนั้นถูก จำกัด ไว้สำหรับหุ่นยนต์ที่กำหนด หากมีการคำนวณหยุดชะงักจำนวนมากเราสามารถทำเครื่องหมายการกำหนดค่าแต่ละรายการกับแต่ละเส้นทางการคำนวณที่นำไปสู่ซึ่งจะสร้างกราฟการคำนวณที่มีหลายโหนดอย่างไม่มีขอบเขต โดยบทสรุปของKönigสิ่งนี้แสดงถึงการดำรงอยู่ของเส้นทางการคำนวณที่ไม่มีที่สิ้นสุดซึ่งสอดคล้องกับการคำนวณที่ไม่หยุดนิ่ง

กรณีของเครื่องทัวริง (nondeterministic)

ตอนนี้เรามาตรวจสอบการหยุดในกรณีของเครื่องจักรทัวริง (NMT)

ในการวิเคราะห์คำจำกัดความทั้งสองวิธีที่ง่ายที่สุดคือการพิจารณารุ่นที่กำหนดไว้ล่วงหน้าของเครื่องจักรที่ไม่สามารถกำหนดค่าได้ซึ่งสามารถทำได้โดยเฮนดริคแจนจำได้ด้วยวิธีการคำนวณที่เป็นไปได้ทั้งหมด

แต่มีสองวิธีในการคำนวณแบบประกบเพื่อการพิจารณาแม้ว่าจะมีเพียงวิธีเดียวเท่านั้นที่จะได้รับการพิจารณา:

การหาค่าแบบประกบคู่ที่มีอยู่ซึ่งจำลองการคำนวณทั้งหมดในแบบคู่ขนานและสิ้นสุดลงเมื่อการคำนวณแบบจำลองรายการใดรายการหนึ่งสิ้นสุดลง
การกำหนดค่าการประกบกันของสากลซึ่งจำลองการคำนวณทั้งหมดในแบบคู่ขนานและยุติเฉพาะเมื่อการคำนวณแบบจำลองทั้งหมดสิ้นสุดลง แต่มันอาจเป็นไปได้ที่จะระบุการคำนวณที่สิ้นสุดหรือนับพวกเขา

ข้อเสนอที่ 2 :

$M$ $x$ $M_\exists$ $x$
$M$ $x$ $M_\forall$ $x$

$M$ $x$ $M_\forall$ $x$

ทฤษฎีบทที่ 3 : ปัญหาการหยุดชะงักสำหรับ TM ที่กำหนดขึ้นและปัญหาการหยุดนิ่งของการอยู่รอดและถกเถียงสากลสำหรับ nondeterministic TM นั้นมีทัวริงเทียบเท่า

การพิสูจน์ : ผลลัพธ์จากข้อเสนอที่ 2 และจากข้อเท็จจริงที่ว่า deterministic TMs เป็นเซตย่อยของ nondeterministic TM ซึ่งทั้งการดำรงอยู่และการหยุดชะงักสากลลดลงเป็นการหยุดชะงักที่กำหนดได้ง่าย

ดังนั้นจากมุมมองที่คำนวณได้และฉันถูกล่อลวงให้พูดจากสัญลักษณ์ที่ผลักดันมุมมองดูเหมือนว่ามันไม่สำคัญว่าคำจำกัดความใดถูกเลือกมีอยู่หรือเป็นสากลสำหรับปัญหาการหยุดชะงักแบบ nondeterministic

ทำไมต้องเลือกหนึ่งคำจำกัดความของการหยุดชะงัก NTM และสิ่งที่

อย่างไรก็ตามมีความรู้สึกต่อกระบวนการกำหนดที่ไม่รักษาภาษาที่ได้รับการยอมรับจากหุ่นยนต์ดั้งเดิมหรือไม่?

สาระสำคัญของการใช้ไม่นิยมในการรับรู้ภาษาก็คือว่ามันจะถือว่า oracle ที่ควรจะคาดเดาเส้นทางการคำนวณที่ถูกต้องเมื่อมีหนึ่งที่จะนำไปสู่การได้รับการยอมรับเป็น มุมมองอัตถิภาวนิยมพื้นฐาน

$\epsilon$

ดังนั้นการยอมรับโดยการหยุดชะงักอาจถูกมองว่าเป็นรูปแบบที่ยอมรับได้สำหรับออโตมาตาแบบ nondeterministic

เมื่อพิจารณาจากมุมมองมาตรฐานนี้ปัญหาการหยุดพักอาจจะแสดงเท่ากันกับปัญหาการรู้จำ :

$L$ $M$ $x$ $x\in L$

$M$ $x$ $x$ $M$

อย่างไรก็ตามในกรณีที่หยุดสากลความสัมพันธ์ใกล้ชิดนี้จะหายไป สามารถสร้างข้อความที่คล้ายกันได้ แต่สำหรับภาษาที่แตกต่างจากภาษา NTM ที่รู้จัก (หรืออีกทางหนึ่งสำหรับคำจำกัดความสากลที่แตกต่างกันของภาษาที่ NTM รู้จัก)

เมื่อพัฒนาทฤษฎีจำเป็นต้องใช้คำจำกัดความที่สอดคล้องกันเพื่อเน้นโครงสร้างและความสัมพันธ์ในรูปแบบที่ง่ายและชัดเจนที่สุด เป็นที่ชัดเจนว่าในกรณีปัจจุบันความสอดคล้องกับคำจำกัดความอื่น ๆ บ่งบอกว่าการ หยุดชะงักของอัตถิภาวนิยมเป็นคำจำกัดความตามธรรมชาติของการหยุดนิ่งสำหรับเครื่องจักรทัวริง

$x$ $x$

กรณีของตระกูลออโตมาตะอื่น ๆ

บางส่วนของการวิเคราะห์ข้างต้นไม่สามารถขยายไปยังตระกูลส่วนใหญ่ของออโตเมติก nondeterministic ตัวอย่างเช่น atomdown แบบกดลง (PDA) อาจกำหนดภาษาที่ไม่สามารถจดจำได้โดย PDA ที่กำหนดค่าได้ เช่นเดียวกันอาจเป็นจริงของ LBAs ส่วนอื่น ๆ สามารถขยายไปยังทุกครอบครัว nondeterministic

เกี่ยวกับคำจำกัดความของการหยุดชะงักของ nondeterministic แม้ว่าการใช้เหตุผลในกรณีของเครื่องจักรทัวริงอาจไม่สามารถใช้งานได้ดูเหมือนว่าทางเลือกที่สมเหตุสมผลเพียงอย่างเดียวคือการใช้คำจำกัดความที่สอดคล้องกับที่ใช้สำหรับเครื่องจักรทัวริง .

คำจำกัดความของปัญหาการหยุดชะงักสำหรับตระกูล nondeterministic automata มีดังนี้และสอดคล้องกับคำจำกัดความที่เสนอในคำถาม

— Babou
แหล่งที่มา