ค้นหาจุดศูนย์กลางในชุดจุดชี้วัดในพื้นที่น้อยกว่า

ฉันมีชุดของ $n$ จุดที่กำหนดไว้ในช่องว่างเมตริก - ดังนั้นฉันสามารถวัด 'ระยะทาง' ระหว่างจุด แต่ไม่มีอะไรอื่น ฉันต้องการค้นหาจุดศูนย์กลางที่มากที่สุดภายในชุดนี้ซึ่งฉันกำหนดเป็นจุดที่มีผลรวมระยะทางขั้นต่ำไปยังจุดอื่นทั้งหมด การคำนวณเมทริกช้าดังนั้นจำเป็นต้องหลีกเลี่ยงหากเป็นไปได้

วิธีที่ชัดเจนในการค้นหาจุดนี้ใช้ $n^2$ การคำนวณระยะทางตัวชี้วัดเนื่องจากเป็นเพียง (a) คำนวณสำหรับแต่ละจุดผลรวมของระยะทางไปยังจุดอื่นทั้งหมดจากนั้น (b) ใช้จุดต่ำสุด

มีวิธีการทำเช่นนี้ในเวลาน้อยกว่า $O(n^2)$ เปรียบเทียบระยะทาง? (อาจใช้ประโยชน์จากความไม่เท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมในบางวิธีซึ่งควรถือด้วยเมทริกของฉัน)

การประมาณที่ดีอาจพอเพียงถ้าไม่มีวิธีที่แน่นอน

— โลจิสติกส์เปิดประตู
แหล่งที่มา

ไม่มีความไม่เท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม (หรือวิธีอื่นในการรับข้อมูลเกี่ยวกับขอบที่ไม่ได้วัด)

O (n^{2})

$O(n^2)$ เป็นทางออกเดียว สิ่งนี้สามารถเห็นได้โดยการโต้แย้งคู่ปรับ

— Kittsil

สมมติว่าความไม่เท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมมีอยู่ - ควรเป็นเมตริกของฉัน

— Open Door Logistics

นี่คือการคำนวณคลื่นวิทยุของกราฟที่มีความเสมอภาคเป็นรูปสามเหลี่ยม

— Kaveh

@Kaveh ฉันเดาว่าคุณหมายถึงรัศมี ... เว้นแต่ว่ากราฟจะมีขอบแตก ฉันแน่ใจว่ามีคำศัพท์มากเกินไปที่ฉันไม่รู้ --- แต่มันก็เป็นกราฟที่สมบูรณ์และขนาดอินพุตเป็นเพียงจำนวนจุดยอด

— Babou

@OpenDoorLogistics หากไม่มีความไม่เท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมก็ไม่ได้เป็นตัวชี้วัดพื้นที่โดย deifinition โปรดอธิบายคำถาม: ถ้าคุณรู้ว่ามันเป็นพื้นที่เมตริกคุณก็รู้ว่ามันมีความไม่เท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม หากคุณไม่ทราบว่ามีความไม่เท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมคุณไม่สามารถอ้างได้ว่าเป็นพื้นที่เมตริก

— David Richerby

คำตอบ:

ไม่คุณทำได้ดีกว่าไม่ได้ $\Theta(n^2)$ ในกรณีที่เลวร้ายที่สุด

พิจารณาการจัดเรียงของจุดต่าง ๆ ที่อยู่ในระยะไกล $1$ จากกันและกัน. (นี่คือการกำหนดค่าที่เป็นไปได้) จากนั้นคุณไม่สามารถทำได้ดีไปกว่าการตรวจสอบทุก ๆ ขอบ โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากมีขอบใด ๆ ที่คุณไม่ได้ตรวจสอบฝ่ายตรงข้ามก็สามารถเลือกความยาวของขอบนั้นได้ $0.9$ , $1.0$ , หรือ $1.1$ ; ตัวเลือกทั้งหมดเหล่านี้สอดคล้องกับข้อสังเกตอื่น ๆ ทั้งหมดที่คุณทำและข้อกำหนดของการวัด (เช่นความไม่เท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม) ดังนั้นทั้งสามจึงเป็นไปได้ แต่พวกเขาต้องการผลลัพธ์ที่แตกต่างกัน ดังนั้นหากอัลกอริทึมของคุณไม่ตรวจสอบขอบนั้นแล้วส่งออกบางสิ่งฝ่ายตรงข้ามสามารถเลือกความยาวสำหรับขอบที่ไม่ได้ตรวจสอบซึ่งจะทำให้เอาต์พุตของอัลกอริทึมของคุณผิด

อย่างไรก็ตามหากคุณรู้ว่าคะแนนทั้งหมดอยู่ใน $\mathbb{R}^d$ (แม้ว่าคุณจะไม่ได้รับพิกัด) แต่ปัญหาก็สามารถแก้ไขได้โดยการวัด $O((d+1)n)$ ระยะทางสมมติว่าไม่มีความเสื่อม (ไม่มีส่วนย่อยของ $d+1$ คะแนนร่วมกันคือภาพถ่าย)

โดยเฉพาะการเลือก $d+1$ คะแนนแบบสุ่ม สิ่งเหล่านี้จะเป็นจุดยึด กำหนดระยะทางตามเข็มคู่ของพวกเขาคุณสามารถคำนวณพิกัดสำหรับพวกเขาที่สอดคล้องกับระยะทางของพวกเขา ตอนนี้สำหรับทุก ๆ จุด $P$ คำนวณระยะทางจาก $P$ ถึงจุดยึดแต่ละจุด ใช้สมการและระยะทางเหล่านี้คุณสามารถคำนวณตำแหน่งของ $P$ สัมพันธ์กับจุดยึดและทำให้พิกัดสำหรับ $P$ . ทำเช่นนี้กับทุกจุดที่ไม่ใช่จุดยึด $P$ . ตอนนี้คุณมีพิกัดสำหรับทุกจุดและคุณสามารถใช้พิกัดเหล่านั้นเพื่อค้นหาจุดศูนย์กลางโดยไม่ต้องถาม oracle เพื่อให้ระยะทางใด ๆ กับคุณมากขึ้น ฉันไม่รู้ว่าขั้นตอนสุดท้ายนี้สามารถทำได้เร็วกว่านี้หรือไม่ $O(n^2)$ เวลาแต่สามารถทำได้โดยไม่ต้องวัดระยะทางเพิ่มเติมอีก

— DW
แหล่งที่มา

คุณมี

n

$n$ คะแนนในมิติ

n - 1

$n-1$ . แม้แต่การดูพิกัดทั้งหมดของอินพุตก็ต้องใช้

Θ (n^{2})

$\Theta(n^2)$ เวลา.

— Louis

@Louis คำถามไม่ได้บอกอะไรเกี่ยวกับส่วนข้อมูลและไม่แน่ใจว่าเป็นตัวชี้วัด สิ่งที่เรามีคือความไม่เท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม ดังนั้นมุมมองที่เหมาะสมคือความเห็นของ Kaveh: เป็นกราฟที่สมบูรณ์ ที่สอดคล้องกับคำตอบนี้ แต่ฉันไม่รู้ว่ามันจะสอดคล้องกับตัวชี้วัดคงที่เมื่อใด

n

$n$ เติบโตอย่างไม่มีขอบเขต

— babou

@ DW ขอบคุณ - เราจะทำอะไรได้ดีขึ้นในกรณีเฉลี่ยหรือไม่ สิ่งนี้ได้รับแรงบันดาลใจจากปัญหาในโลกแห่งความเป็นจริงดังนั้นข้อมูลน่าจะเป็น 'ค่าเฉลี่ย' (สิ่งที่อาจหมายถึง)

— Open Door Logistics

@ ทั้งหมด - ขอโทษสำหรับความสับสนอีกครั้ง: ตัวชี้วัด (ฉันเป็นฆราวาสในทฤษฎี CS) ฟังก์ชั่นระยะทางของฉันแน่นอนเชื่อฟัง 4 เกณฑ์สำหรับพื้นที่ตัวชี้วัดตามคำนิยามของวิกิพีเดียของพื้นที่ตัวชี้วัดการเชื่อมโยง

— Open Door Logistics

@OpenDoorLogistics ฉันได้เพิ่มเคสพิเศษหนึ่งตัวซึ่งเป็นไปได้ที่จะทำได้ดีขึ้น

— DW

ตรวจสอบงานของ Piotr Indyk เกี่ยวกับอัลกอริทึมที่รวดเร็วสำหรับการเว้นวรรคเมตริก ( อัลกอริทึม Sublinear สำหรับปัญหาอวกาศเมตริกในการดำเนินการของ STOC '99 , pp.428–434 ACM, 1999; PS ) ส่วนที่ 3 ให้อัลกอริธึมเชิงเส้นตรงเวลาประมาณ 1 ค่ามัธยฐาน

— user71641
แหล่งที่มา

คุณสามารถสรุปอัลกอริทึมได้หรือไม่? เรากำลังมองหาคำตอบที่สมบูรณ์แทนที่จะเชื่อมโยงไปยังเนื้อหาภายนอก

— David Richerby

ขออภัยในการตอบกลับช้ามาก เห็นได้ชัดว่าฉันไม่ตรวจสอบ StackExchange บ่อยมาก ฉันคิดว่ามันต้องใช้เวลามากกว่าหนึ่งชั่วโมงในการเขียนบทสรุปที่ดีในครึ่งทางขณะที่กระดาษของ Piotr เขียนอย่างสวยงามอธิบายอัลกอริทึมอย่างชัดแจ้งและมีคำจำกัดความที่แม่นยำทั้งหมดข้างๆ ดังนั้นฉันขอแนะนำเป็นการส่วนตัวให้ใช้ประโยชน์จากเนื้อหาภายนอกที่มีคุณภาพสูงนี้แทนเนื้อหาภายในคุณภาพปานกลางที่ฉันสามารถสร้างได้ คำตอบสั้น ๆ คือ: ถ้าคุณเต็มใจที่จะหาค่ามัธยฐานโดยประมาณคุณสามารถทำได้ในเวลาเชิงเส้น O (n)

— user71641