อัลกอริทึมการจับคู่สตริง k ไม่ตรงกันอย่างรวดเร็ว

ฉันกำลังมองหาอัลกอริทึมการจับคู่สตริง k-mismatch ที่รวดเร็ว กำหนดสตริงรูปแบบ P ของความยาว m และสตริงข้อความ T ของความยาว n, ฉันต้องการอัลกอริทึม (เชิงเส้นเวลา) ที่รวดเร็วเพื่อค้นหาตำแหน่งทั้งหมดที่ P ตรงกับสตริงย่อยของ T กับ k ไม่ตรงกันมากที่สุด สิ่งนี้แตกต่างจากปัญหาความแตกต่างของ k (ระยะทางแก้ไข) ไม่ตรงกันหมายถึงสตริงย่อยและรูปแบบมีตัวอักษรที่แตกต่างกันในตำแหน่ง k มากที่สุด ฉันต้องการเพียง k = 1 (มากที่สุด 1 ไม่ตรงกัน) ดังนั้นอัลกอริทึมที่รวดเร็วสำหรับกรณีเฉพาะของ k = 1 ก็จะเพียงพอเช่นกัน ขนาดตัวอักษรคือ 26 (ตัวพิมพ์เล็กและตัวพิมพ์เล็ก) ดังนั้นความต้องการพื้นที่ไม่ควรเติบโตเร็วเกินไปเมื่อเทียบกับขนาดของตัวอักษร (เช่นอัลกอริทึม FAAST ฉันเชื่อว่าใช้พื้นที่ชี้แจงแทนขนาดตัวอักษรและอื่น ๆ เหมาะสำหรับลำดับโปรตีนและยีนเท่านั้น)

วิธีการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกที่ใช้มีแนวโน้มที่จะเป็น O (mn) ในกรณีที่เลวร้ายที่สุดซึ่งจะช้าเกินไป ฉันเชื่อว่ามีการแก้ไขอัลกอริทึม Boyer-Moore สำหรับเรื่องนี้ แต่ฉันไม่สามารถรับมือกับเอกสารเหล่านี้ได้ ฉันไม่มีการสมัครสมาชิกเพื่อเข้าถึงวารสารหรือสิ่งพิมพ์ทางวิชาการดังนั้นการอ้างอิงใด ๆ จะต้องเป็นสาธารณสมบัติ

ฉันขอขอบคุณพอยน์เตอร์หรือการอ้างอิงถึงเอกสารที่พร้อมใช้งานฟรีหรืออัลกอริทึมสำหรับปัญหานี้

ส่วนต่อท้ายอาร์เรย์สามารถใช้สำหรับปัญหานี้ พวกมันมีตำแหน่งเริ่มต้นของแต่ละคำต่อท้ายของสตริงที่เรียงลำดับตามคำศัพท์ แม้ว่าพวกเขาสามารถสร้างอย่างไร้เดียงสาในความซับซ้อนมีวิธีการสร้างพวกเขาในความซับซ้อนΘ ( n ) ดูตัวอย่างนี้และนี้ ให้เราเรียก SA ต่อท้ายอาร์เรย์นี้$O(n\log n)$$\Theta(n)$

เมื่อสร้างส่วนต่อท้ายแล้วเราจำเป็นต้องสร้างอาร์เรย์ Longfix Common Prefix (LCP) สำหรับอาร์เรย์ต่อท้าย อาร์เรย์ LCP เก็บความยาวของคำนำหน้าทั่วไปที่ยาวที่สุดระหว่างคำนำหน้าสองคำติดต่อกันในอาร์เรย์คำต่อท้าย ดังนั้น LCP [i] มีความยาวของคำนำหน้าทั่วไปที่ยาวที่สุดระหว่าง SA [i] และ SA [i + 1] อาร์เรย์นี้ยังสามารถสร้างขึ้นในเส้นเวลา: ดูที่นี่ , ที่นี่และที่นี่สำหรับการอ้างอิงที่ดีบางอย่าง

ตอนนี้ในการคำนวณความยาวของคำนำหน้าที่ยาวที่สุดที่ใช้ร่วมกันกับสองคำต่อท้ายใด ๆในแผนภูมิต่อท้าย (แทนคำต่อท้ายที่ต่อเนื่องกัน) เราจำเป็นต้องใช้โครงสร้างข้อมูลRMQบางส่วน มันได้รับการแสดงในการอ้างอิงข้างต้น (และสามารถมองเห็นได้ง่ายถ้าอาร์เรย์ถูกมองเห็นเป็นต้นไม้ต่อท้าย) ว่าความยาวของคำนำหน้าทั่วไปที่ยาวที่สุดระหว่างสองคำต่อท้ายมีตำแหน่งและv ( u < v ) ในอาร์เรย์ต่อท้าย สามารถรับได้เป็นm i n u < = k < = v - 1 L C P [ k $u$$v$$u < v$$min_{u<=k<=v-1}{LCP[k]}$. RMQ ดีสามารถ pre-กระบวนการอาร์เรย์O ( n )หรือO ( n log n )เวลาและตอบสนองต่อคำสั่งของรูปแบบL C P [ U , V ]ในO ( 1 )เวลา ดูที่นี่สำหรับอัลกอริทึม RMQ ที่ประสบความสำเร็จและที่นี่สำหรับการสอนที่ดีเกี่ยวกับ RMQ และความสัมพันธ์ (และการลดลง) ระหว่าง LCA และ RMQ นี่เป็นอีกวิธีทางเลือกที่ดี$LCP$$O(n)$$O(n\log n)$$LCP[u, v]$$O(1)$

ด้วยข้อมูลนี้เราได้สร้างอาร์เรย์คำต่อท้ายและอาร์เรย์ที่เกี่ยวข้อง (ตามที่อธิบายไว้ข้างต้น) สำหรับการต่อข้อมูลของสองสตริงด้วยตัวคั่นระหว่าง (เช่น T # P โดยที่ '#' ไม่ได้เกิดขึ้นในทั้งสองสตริง) จากนั้นเราสามารถทำการจับคู่สตริง k ที่ไม่ตรงกันโดยใช้วิธี "จิงโจ้" สิ่งนี้และสิ่งนี้อธิบายวิธีการจิงโจ้ในบริบทของต้นไม้ต่อท้าย แต่สามารถนำไปใช้โดยตรงกับอาร์เรย์ต่อท้ายด้วย สำหรับดัชนีทุกของข้อความTหาL C Pของคำต่อท้ายของTเริ่มต้นที่ฉันและคำต่อท้ายของ$i$$T$$LCP$$T$$i$$P$เริ่มต้นที่ 0 นี้จะช่วยให้สถานที่ตั้งหลังจากที่ไม่ตรงกันครั้งแรกเกิดขึ้นเมื่อจับคู่กับT [ ผม ] ให้ระยะเวลานี้เป็นลิตร 0 ข้ามอักขระที่ไม่ตรงกันในTและPแล้วลองจับคู่สตริงที่เหลือ นั่นคือหาL C PของT [ i + l 0 + 1 ]และP [ l 0 + 1 ]อีกครั้ง ทำซ้ำจนกว่าคุณจะได้รับkไม่ตรงกันหรือสตริงเสร็จสิ้น แต่ละ$P$$T[i]$$l_0$$T$$P$$LCP$$T[i + l_0 + 1]$$P[l_0 + 1]$$k$คือ O ( 1 ) มี O ( k ) L ซีพี 's สำหรับดัชนีแต่ละฉันของ T , ให้นี้ซับซ้อนรวมของ O ( n k )$LCP$$O(1)$$O(k)$ $LCP$$i$$T$$O(nk)$

ฉันใช้วิธีที่ง่ายกว่าในการใช้ RMQ ที่ให้ความซับซ้อนโดยรวมของหรือO ( n k + n บันทึกn )ถ้าm = O ( n )แต่มัน สามารถทำได้ในO ( n k )เช่นกันตามที่อธิบายไว้ข้างต้น อาจมีวิธีการอื่น ๆ โดยตรงสำหรับปัญหานี้ แต่นี่เป็นวิธีที่มีประสิทธิภาพและทั่วไปที่สามารถนำไปใช้กับปัญหาที่คล้ายกันมากมาย$O(nk + (n+m)\log(n+m))$$O(nk + n\log n)$$m = O(n)$$O(nk)$

ด้านล่างนี้เป็นอัลกอริทึมคาดหวัง(ซึ่งสามารถขยายไปยังkอื่นได้ทำให้เป็นO ( n k + m ) ) (ฉันยังไม่ได้ทำการคำนวณเพื่อพิสูจน์ว่าเป็นเช่นนั้น)$\mathcal{O}(n + m )$$k$$\mathcal{O}(nk +m )$

แนวคิดนี้คล้ายกับอัลกอริธึมการแฮชของRabin-Karpสำหรับการจับคู่สตริงย่อยที่แน่นอน

แนวคิดคือการแยกแต่ละสตริงของความยาวออกเป็น2 kบล็อกของm / 2 kแต่ละขนาดและคำนวณแฮชการกลิ้งสำหรับแต่ละบล็อก (ให้ค่าแฮ2 k ) และเปรียบเทียบค่าแฮช2 kเหล่านั้นกับรูปแบบหนึ่ง$m$$2k$$m/2k$$2k$$2k$

เราอนุญาตค่าไม่ตรงกันในค่าเหล่านั้นมากที่สุด$k$

หากเกิดข้อผิดพลาดมากกว่าเราจะปฏิเสธและดำเนินการต่อ มิฉะนั้นเราจะพยายามยืนยันการจับคู่โดยประมาณ$k$

ฉันคาดหวัง (ข้อแม้: ยังไม่ได้ลองด้วยตัวเอง) สิ่งนี้อาจจะเร็วกว่าในทางปฏิบัติและอาจจะง่ายกว่าในการเขียนโค้ด / บำรุงรักษามากกว่าการใช้วิธีแบบต่อท้ายทรี