จัดเรียงเป็นโปรแกรมเชิงเส้น

ปัญหาที่น่าประหลาดใจมีจำนวนลดลงอย่างเป็นธรรมชาติถึงการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น (LP) ดูบทที่ 7จาก [1] สำหรับตัวอย่างเช่นการไหลของเครือข่ายการจับคู่แบบสองทางเกมแบบรวมศูนย์เส้นทางที่สั้นที่สุดรูปแบบของการถดถอยเชิงเส้นและการประเมินวงจร!

เนื่องจากการประเมินวงจรลดการโปรแกรมเชิงเส้นปัญหาใด ๆ ในจะต้องมีสูตรการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น ดังนั้นเราจึงมีอัลกอริทึมการเรียงลำดับ "ใหม่" ผ่านการลดขนาดให้เป็นโปรแกรมเชิงเส้น ดังนั้นคำถามของฉันคือ$P$

1. โปรแกรมเชิงเส้นคืออะไรที่จะเรียงลำดับของจำนวนจริง ?$n$
2. เวลาในการทำงานของอัลกอริธึมการเรียงลำดับการลดและการแก้ปัญหาคืออะไร

1. อัลกอริทึมโดย S. Dasgupta, C. Papadimitriou และ U. Vazirani (2006)

คำตอบต่อไปนี้นั้นเทียบเท่ากับคำตอบที่คุณเคยรู้จัก แต่อาจดูเหมือน "ขลัง" น้อยกว่าเล็กน้อย ในทางตรงกันข้ามมันเป็นเรื่องทางเทคนิคมากกว่า แต่ฉันเชื่อว่าเทคนิคทั่วไป "เขียนปัญหาของคุณเป็นการเพิ่มประสิทธิภาพของเมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยนและเรียกใช้ Birkhoff-von Neumann" เป็นวิธีที่ดีที่จะรู้

$\sigma$$\{1, \ldots, n\}$$P_\sigma$$P_{ij} = 1$$j = \sigma(i)$$P_{ij}=0$$x$$\sigma$$y = P_\sigma x$$y_i = x_{\sigma(i)}$$y=P_{\sigma}x$$\sigma(x)$

$n\times n$$M$

และความจริงข้อหนึ่งซึ่งมีความสำคัญมากในการเพิ่มประสิทธิภาพเชิงผสม - ทฤษฎีบท Birkhoff-von Neumann:

$M$$\sigma_1, \ldots, \sigma_k$$\alpha_1 , \ldots, \alpha_k$$M = \sum_{i = 1}^k{\alpha_i P_{\sigma_i}}$$\sum{\alpha_i} = 1$

ขอให้สังเกตว่าเมทริกซ์สุ่มสองครั้งถูกกำหนดโดยความไม่เท่าเทียมกัน

$P$

$a = (a_1, \ldots, a_n)$$f_a(M)$

• $f_a(P_\tau) < f_a(P_\sigma)$$\sigma(a)$$\tau(a)$

$f_a(M)$$P_\sigma$$\sigma$$\sigma(a)$$\sigma$$P_\sigma$

$f_a(M)$$v^T M a$$v = (1, \ldots, n)$

• $M$
• $P_\sigma$$f_a(P_\sigma) = \sum_{i = 1}^n{i a_{\sigma(i)}}$
• $\sigma$$\sigma(a)$$\sigma(a)$

และ voila คุณมีโปรแกรมเชิงเส้นสำหรับการเรียงลำดับ ดูเหมือนว่าโง่สำหรับการจัดเรียง แต่อันที่จริงแล้วนี่เป็นวิธีการที่มีประสิทธิภาพในการเพิ่มประสิทธิภาพ