เราจะแก้ปัญหาโปรแกรมเชิงเส้นจำนวนเต็มแบบ unimodular ได้เร็วแค่ไหน?

(นี่คือการติดตามคำถามนี้และคำตอบ )

ฉันมีโปรแกรม linear จำนวนเต็ม (unimodular (TU)) ต่อไปนี้ (ILP) ที่นี่ เป็นจำนวนเต็มบวกทั้งหมดที่ได้รับ ส่วนหนึ่งของอินพุต เซ็ตย่อยที่ระบุของตัวแปรถูกตั้งค่าเป็นศูนย์และส่วนที่เหลือสามารถรับค่าอินทิกรัลค่าบวก:x i $\ell,m,n_{1},n_{2},\ldots,n_{\ell},c_{1},c_{2},\ldots,c_{m},w$$x_{ij}$

ลด

$\sum_{j=1}^{m}c_{j}\sum_{i=1}^{\ell}x_{ij}$

ภายใต้:

$\sum_{j=1}^{m}x_{ij}=n_{i}\,\,\forall i$

$\sum_{i=1}^{\ell}x_{ij}\ge w\,\,\forall j$

เมทริกซ์ค่าสัมประสิทธิ์ของรูปแบบที่เป็นมาตรฐานเมทริกซ์ที่มีรายการจาก{}- 1 , 0 , $(2\ell+m)\times \ell m$${-1,0,1}$

คำถามของฉันคือ:

อะไรคือขอบเขตสูงสุดที่ดีที่สุดที่ทราบกันดีว่าเวลาทำงานของอัลกอริธึมเวลาพหุนามที่แก้ปัญหา ILP เช่นนี้? คุณช่วยชี้ให้ฉันดูบางอย่างเกี่ยวกับเรื่องนี้

ฉันทำการค้นหาบางอย่าง แต่ที่ส่วนใหญ่แล้วพวกเขาหยุดพูดว่า TU ILP สามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนามโดยใช้อัลกอริทึมเวลาพหุนามสำหรับ LP สิ่งหนึ่งที่ดูดีคือกระดาษ 1986 โดย Tardos [1] ซึ่งเธอพิสูจน์ว่าปัญหาดังกล่าวสามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนามในขนาดของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ เท่าที่ฉันสามารถหาได้จากกระดาษอย่างไรก็ตามเวลาทำงานของอัลกอริทึมนั้นขึ้นอยู่กับการเปิดใช้เวลาทำงานของอัลกอริทึมเวลาพหุนามสำหรับการแก้ไข LP

เรารู้ถึงอัลกอริธึมที่แก้กรณีพิเศษนี้ (ของ TU ILP) เร็วกว่าอัลกอริธึมทั่วไปที่แก้ปัญหา LP ได้หรือไม่?

ถ้าไม่,

อัลกอรึทึมสำหรับ LP จะแก้ปัญหา ILP ที่เร็วที่สุดได้อย่างไร

[1] อัลกอริทึมพหุนามอย่างยิ่งในการแก้โปรแกรมเชิงเส้น combinatorial, Eva Tardos, การวิจัยการดำเนินงาน 34 (2), 1986

ฉันเชื่อว่าใน Yannakakis มีการฝึกอบรมแบบ unimodular ทั้งหมดให้คำตอบกับคำถามของคุณสำหรับกรณีพิเศษของ TU ILP (เมื่อใดก็ตามที่ไม่มีวงจรคี่ในกราฟ bipartite ที่ได้จากการเห็นเมทริกซ์สัมประสิทธิ์เป็น adjacency matrix)

ในบทความนั้นมีการอ้างถึงอัลกอริธึมแบบ Polynomial สำหรับคลาสของโปรแกรมเชิงเส้นซึ่งดูเหมือนว่าจะจัดการเมทริกซ์แบบเดี่ยวทั้งหมด แต่ฉันไม่แน่ใจว่ามันมีประสิทธิภาพมากกว่าเมื่อเทียบกับอัลกอริธึมทั่วไปสำหรับ LPs

คุณอาจได้รับขอบเขตที่ดีกว่าจากอัลกอริทึม LP ทั่วไปในบทความ "การเขียนโปรแกรมเชิงเส้นในการดำเนินการ" ( ที่นี่ )$O([n^3/\ln n]L)$

มันแสดงให้เห็นว่า LP แบบ unimodular ทั้งหมดสามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนามอย่างยิ่งภายใต้ "สมมติฐานความเสื่อม" - ลิงค์ที่นี่ (ดังนั้นถ้า ILP มีสูตร Unimodular ทั้งหมด (TU) ด้วยสมมติฐานเดียวกันจากนั้นอัลกอริทึมนี้จะแก้ TU ILP ใน เวลาพหุนามที่แข็งแกร่งนี่คือการพัฒนาจากวิธีการของ Tardos และแสดงถึงขอบเขตที่เข้มงวดมากขึ้นในการกำหนด ILP (Unimodular) ILP