เหตุใดจึงมีสภาพปกติในทฤษฎีบทหลัก

ฉันได้อ่านIntroduction to Algorithmsโดย Cormen และคณะ และฉันอ่านงบทฤษฎีบทปริญญาโทที่เริ่มต้นในหน้า 73 ในกรณีที่ 3 นอกจากนี้ยังมีเงื่อนไขปกติที่ต้องมีความพึงพอใจในการใช้ทฤษฎีบท:

... 3. ถ้า

$\qquad \displaystyle f(n) = \Omega(n^{\log_b a + \varepsilon})$

สำหรับค่าคงที่และ if $\varepsilon > 0$

$\qquad \displaystyle af(n/b) \leq cf(n)$ [ นี่คือเงื่อนไขปกติ ]

สำหรับค่าคงที่และสำหรับขนาดใหญ่พอทั้งหมดแล้ว .. $c < 1$ $n$

มีคนบอกฉันได้ไหมว่าทำไมต้องมีสภาพความเป็นปกติ? ทฤษฎีบทล้มเหลวอย่างไรหากสภาพไม่เป็นที่พอใจ?

— กราฟิลส์
แหล่งที่มา

คุณสามารถเขียนสิ่งที่เป็นกรณีและเงื่อนไขกฎระเบียบคืออะไร?

ฉันไม่มีคำตอบที่ชัดเจนสำหรับคุณ แต่ดูเหมือนว่าหากสภาพความไม่สม่ำเสมอนั้นปัญหาย่อยจะใช้เวลามากขึ้นในการที่พวกเขามีขนาดเล็กลงเรื่อย ๆ ดังนั้นคุณจึงมีความซับซ้อนไม่สิ้นสุด

ฉันไม่แน่ใจว่าเงื่อนไขปกติเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับบทสรุปของทฤษฎีที่จะถือ แต่ฉันคิดว่ามันจำเป็นสำหรับการพิสูจน์ที่ใช้ ด้วยสภาพความเป็นปกติคุณมีการพิสูจน์ที่ค่อนข้างตรงไปตรงมาโดยที่อย่างน้อยมันก็จะมีขน

คัดลอกในวิทยาการคอมพิวเตอร์ทฤษฎี

— Kaveh

คำตอบ:

ไม่ใช่หลักฐานที่เข้มงวด แต่เป็นคำอธิบาย "จากส่วนบนของหัว"

ลองนึกภาพการเกิดซ้ำเป็นต้นไม้ กรณีที่สามครอบคลุมสถานการณ์เมื่อโหนดรูตควบคุมเวลาทำงานแบบไม่ต่อเนื่องนั่นคืองานส่วนใหญ่จะถูกดำเนินการในโหนดที่มีการวัดที่ด้านบนของแผนภูมิการเกิดซ้ำ จากนั้นเวลาทำงานเป็น ) $aT(n/b)+f(n)$ $\Theta(f(n))$

เพื่อให้แน่ใจว่ารูททำงานได้จริงคุณต้องใช้

) $a f(n/b) \leq cf(n)$

สิ่งนี้บอกว่า (จำนวนงานที่ทำในรูท) ต้องมีอย่างน้อยใหญ่เท่ากับผลรวมของงานที่ทำในระดับต่ำกว่า (การเกิดซ้ำเรียกว่าครั้งต่อของอินพุต) $f(n)$ $a$ $n/b$

เช่นสำหรับการเกิดซ้ำการทำงานในระดับที่ต่ำกว่ารูตคือหนึ่งในสี่ที่ใหญ่และทำเพียงสองครั้งเท่านั้นเมื่อเทียบกับดังนั้นรากจึงครอบงำ . $T(n)=2T(n/4)+n$ $(n/4+n/4)$ $n$

แต่ถ้าฟังก์ชั่นไม่ตรงตามเงื่อนไขปกติ? เช่นแทน ? จากนั้นงานที่ทำในระดับต่ำกว่าอาจใหญ่กว่างานที่ทำในรูทดังนั้นคุณจึงไม่แน่ใจว่ารูตครอบงำ $\cos(n)$ $n$

— แมว Unfun
แหล่งที่มา

ฉันใช้การจัดรูปแบบข้อความสำหรับคณิตศาสตร์ของคุณดีกว่า คุณสามารถคลิกลิงก์ "แก้ไข" และดูสิ่งที่ฉันทำ

— Juho

ให้และเพื่อให้ สำหรับกรณีที่ 3 ที่จะนำไปใช้เราต้องการ (สำหรับบาง ) และเงื่อนไขปกติ $a = 1$ $b = 2$

T (2^{n}) = Σ_{k = 0}^{n} ฉ (2^{k}) .

$T(2^n) = \sum_{k=0}^n f(2^k).$

f (n) = Ω (n^{ϵ})

$f(n) = \Omega(n^\epsilon)$

ϵ > 0

$\epsilon > 0$

(สำหรับบางคน

) คุณได้รับสภาพความสม่ำเสมอจากการพิสูจน์นั่นคือแนวคิดที่สร้างขึ้นมาเพื่อพิสูจน์ ในขณะที่เงื่อนไขปกติไม่จำเป็น (พิจารณาตัวอย่างที่ให้ไว้ใน Wikipedia,

) คุณไม่สามารถวางได้อย่างสมบูรณ์ตามตัวอย่างต่อไปนี้แสดงให้เห็นถึง พิจารณา

f (n / 2) \leq (1 - δ) f (n)

$f(n/2) \leq (1-\delta) f(n)$

δ > 0

$\delta > 0$

f (n) = n (2 - \cos n)

$f(n) = n(2-\cos n)$

ให้

จากนั้น

ฉ (2^{n}) = 2^{2^{⌊ {เข้าสู่ระบบ}_{2} n ⌋}} > 2^{2^{{เข้าสู่ระบบ}_{2} n - 1}} = 2^{n / 2} .

$f(2^n) = 2^{2^{\lfloor \log_2 n \rfloor}} > 2^{2^{\log_2n-1}} = 2^{n/2}.$

n = 2^{m + 1} - 1

$n = 2^{m+1}-1$

ดังนั้นจึงไม่เป็นความจริงว่า

)

T (2^{n}) = Σ_{k = 0}^{ม.} Σ_{เสื้อ = 2^{k}}^{2^{k + 1} - 1} 2^{2^{k}} = Σ_{k = 0}^{ม.} 2^{2^{k} + k} = Θ (2^{2^{ม.} + ม.}), ฉ (2^{n}) = 2^{2^{ม.}} .

$T(2^n) = \sum_{k=0}^m \sum_{t=2^k}^{2^{k+1}-1} 2^{2^k} = \sum_{k=0}^m 2^{2^k+k} = \Theta(2^{2^m+m}), \quad f(2^n) = 2^{2^m}.$

T (2^{n}) = Θ (f (2^{n}))

$T(2^n) = \Theta(f(2^n))$

มีทฤษฎีบททั่วไปมากขึ้นคือ Akra-Bazzi ซึ่งเงื่อนไขความเป็นระเบียบจะถูกแทนที่ด้วยปริมาณที่ชัดเจนที่เกิดขึ้น

— Yuval Filmus
แหล่งที่มา

ขออภัยที่กลับคำตอบเดิมนี้อีกครั้ง คุณช่วยอธิบายได้ไหมว่าทำไมฟังก์ชั่น f ของคุณละเมิดเงื่อนไขความเป็นระเบียบ?

— Maiaux

f (n / 2) = f (n)

$f(n/2) = f(n)$