ความแข็งของ NP ครอบคลุมด้วยชิ้นสี่เหลี่ยม (Google Hash Code 2015 รอบทดสอบ)

รอบการทดสอบรหัสแฮชของ Google 2015 ( คำแถลงปัญหา ) ถามเกี่ยวกับปัญหาต่อไปนี้:

• อินพุต: กริดมีเครื่องหมายสี่เหลี่ยมจัตุรัสบางอันขีด จำกัดพื้นที่สูงสุด$M$$T \in \mathbb{N}$$A \in \mathbb{N}$
• เอาท์พุท: พื้นที่ทั้งหมดที่เป็นไปได้ที่ใหญ่ที่สุดของชุดของรูปสี่เหลี่ยมเคลื่อนกับจำนวนเต็มพิกัดในเช่นกันว่ารูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีอย่างน้อยทำเครื่องหมายสี่เหลี่ยมและสี่เหลี่ยมแต่ละมีพื้นที่มากที่สุด$M$$T$$A$

ในศัพท์ของ Google กริดคือพิซซ่าสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ทำเครื่องหมายไว้เป็นแฮมและสี่เหลี่ยมที่แยกกันเป็นชิ้น

เราสามารถเรียบเรียงปัญหานี้ใหม่อีกครั้งอย่างชัดเจนกับปัญหาการตัดสินใจโดยการเพิ่มอินพุตเพิ่มเติมและให้คำตอบคือ "มีชุดสี่เหลี่ยมมุมฉากที่ตอบสนองเงื่อนไขที่พื้นที่ทั้งหมดมีพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสอย่างน้อยสี่เหลี่ยม"$n \in \mathbb{N}$$n$

คำถามของฉัน:ในขณะที่ปัญหาของ Google ขอให้ผู้สมัครหาวิธีแก้ปัญหาที่ "ดีที่สุด" สำหรับปัญหาการคำนวณในบางกรณีฉันคิดว่าเป็นไปได้ว่าปัญหาทั่วไป (ในการตัดสินใจใช้ถ้อยคำ) เป็นปัญหาสมบูรณ์ อย่างไรก็ตามฉันไม่พบการลดลงเพื่อแสดงความแข็งของ NP (เป็นสมาชิกของ NP ทันที) วิธีที่จะพิสูจน์ว่าปัญหานี้เป็นปัญหาที่ยาก?

ตัวอย่างต่อไปนี้เพื่อช่วยให้เห็นภาพของปัญหา พิจารณาจากตาราง , มีสี่เหลี่ยมทำเครื่องหมาย ,และแสดงกราฟิกด้วยเพื่อระบุสี่เหลี่ยมที่ทำเครื่องหมายไว้:$4$$4$$\{0, 1, 2, 3\} \times \{0, 1, 2, 3\}$$(1, 1)$$(0, 2)$$(2, 2)$X

..X.
.X..
..X.
....

Set (สี่เหลี่ยมจัตุรัสไม่เกินสี่เหลี่ยมจัตุรัส) และ (อย่างน้อยหนึ่งสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ถูกทำเครื่องหมายต่อสี่เหลี่ยมจัตุรัส) ทางออกที่ดีที่สุด (ซึ่งครอบคลุมทั้งกริด) คือการใช้สี่เหลี่ยมดังต่อไปนี้:$A = 6$$6$$T = 1$

aaAa
bBcc
bbCc
bbcc

ในตารางต่อไปนี้ด้วยและ :$A = 3$$T = 2$

XXX
.X.
...

เราไม่สามารถทำได้ดีกว่าการครอบคลุมเพียงสามช่องเท่านั้น:

AAA
.X.
...

หรือ

XBX
.B.
.b.

(จำไว้ว่าสี่เหลี่ยมในพาร์ติชั่นไม่สามารถทับซ้อนกัน)

กับคนอื่นที่มองคำถามนี้เราได้ลองลดการจัดเก็บถังขยะครอบคลุมปัญหา 3-SAT และรอบมิลโตเนียนและเราไม่ได้จัดการเพื่อให้ทำงานได้

นี่เป็นภาพร่างการลดลงของ MONOTONE CUBIC PLANAR 1-3 SAT:

$\varphi = C_1 \land C_2 \land ... \land C_m$$C_j$$C_j = (\ell_{j,1} \lor \ell_{j,2} \lor \ell_{j,3})$
$\varphi$$C_j$ มีตัวอักษรหนึ่งตัวที่แท้จริง

ปัญหายังคงอยู่ที่ NP-complete แม้ว่าตัวอักษรทั้งหมดใน clauses จะเป็นค่าบวก (MONOTONE) ถ้ากราฟที่เชื่อมต่อกับ clauses ที่มีตัวแปรคือ planar (PLANAR) และตัวแปรทุกตัวจะอยู่ใน 3 clauses ทั้งหมด (C. Moore และ JM Robson, ปัญหาการปูกระเบื้องอย่างหนักด้วยกระเบื้องเรียบง่าย, Comprete Comput. Geom. 26 (2001), 573-590.)

$T=3, A=6$

$A$$+$$-$

$x_i$$x_i = TRUE$$x_i = FALSE$

$C_j$$L_{i,1}, L_{i,2}, L_{i,3}$

ในที่สุดเราสามารถสร้างกะและเปิดแกดเจ็ตเพื่อส่งสัญญาณตามกราฟระนาบพื้นฐานและปรับจุดปลาย:

$H$$A$

$H /3$$A H / 3$

$H /3$$A H / 3$