ฉันจะเขียนหลักฐานโดยใช้การเหนี่ยวนำที่ความยาวของสายป้อนได้อย่างไร

ในหลักสูตรทฤษฎีการคำนวณของฉันปัญหามากมายของเราเกี่ยวข้องกับการใช้การเหนี่ยวนำที่ความยาวของสายป้อนเพื่อพิสูจน์งบเกี่ยวกับออโต้ จำกัด ฉันเข้าใจการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ แต่เมื่อสายเข้ามาในการเล่นฉันได้รับจริงเพิ่มขึ้น ฉันซาบซึ้งจริง ๆ ถ้ามีคนจะผ่านขั้นตอนการทำเช่นขั้นตอนการพิสูจน์โดยขั้นตอน

นี่คือตัวอย่างปัญหา (แบบฝึกหัด 2.2.10 จาก Hopcroft และ Ullman รุ่นที่ 3):

พิจารณา DFA ด้วยตารางการเปลี่ยนแปลงต่อไปนี้:
        0 1
       ________
-> A | AB
  * B | บริติชแอร์เวย์
อธิบายภาษาที่ยอมรับโดย DFA นี้อย่างไม่เป็นทางการและพิสูจน์โดยอุปนัยเกี่ยวกับความยาวของสตริงป้อนเข้าที่คำอธิบายของคุณถูกต้อง

นี่เป็นปัญหาที่ได้รับคำตอบในหนังสือดังนั้นฉันไม่ได้มองหาคนที่จะทำการบ้าน ฉันแค่ต้องการคนที่จะอธิบายให้ฉันตรงๆ

คำตอบของหนังสือ: (นำมาจากที่นี่ )

หุ่นยนต์จะบอกว่าจำนวนของ 1 ที่เห็นคือเท่ากัน (state A) หรือคี่ (state B) ยอมรับในกรณีหลัง มันเป็นเรื่องง่ายที่จะเหนี่ยวนำให้กับ | w | เพื่อแสดงว่า dh (A, w) = A ถ้าหาก w มีจำนวนเท่ากับ 1 พื้นฐาน: | w | = 0 จากนั้น w สตริงที่ว่างเปล่ามีจำนวนเท่ากับ 1 คือศูนย์ 1 และ hat-hat (A, w) = A

การเหนี่ยวนำ: สมมติคำสั่งสำหรับสตริงที่สั้นกว่า จากนั้น w = za โดยที่ a คือ 0 หรือ 1

กรณีที่ 1: a = 0 หาก w มีจำนวนคู่เท่ากับ 1 ดังนั้น z จะเท่ากับ โดยสมมติฐานอุปนัย, hat-hat (A, z) = A. การเปลี่ยนผ่านของ DFA บอกให้เราทราบ hat-hat (A, w) = A. หาก w มีจำนวนคี่เป็น 1 ดังนั้น z จึงเป็นเช่นนั้น โดยสมมติฐานอุปนัย hat-hat (A, z) = B และการเปลี่ยนผ่านของ DFA บอกเรา us-hat (A, w) = B ดังนั้นในกรณีนี้ hat-hat (A, w) = A ถ้าหาก w มีจำนวนเป็น 1

กรณีที่ 2: a = 1 ถ้า w มีเลขคู่เท่ากับ 1 ดังนั้น z มีเลขคี่เป็น 1 โดยสมมติฐานอุปนัย, δ-hat (A, z) = B การเปลี่ยนผ่านของ DFA บอกให้เราทราบ hat-hat (A, w) = A หาก w มีจำนวนคี่เป็น 1 จากนั้น z จึงมีเลขคู่ 1 โดยสมมติฐานอุปนัย hat-hat (A, z) = A และการเปลี่ยนผ่านของ DFA บอกเรา us-hat (A, w) = B ดังนั้นในกรณีนี้เช่นกันδ-hat (A, w ) = A ถ้าหาก w มีจำนวนเท่ากับ 1

ฉันเข้าใจวิธีพิสูจน์สิ่งต่าง ๆ เช่นโดยใช้การเหนี่ยวนำ ฉันแค่สับสนว่ามันทำงานอย่างไรกับการสร้างสาย ฉันสับสนโดยชิ้นส่วนที่เป็นตัวหนา ฉันไม่เข้าใจว่าพวกเขาเกิดขึ้นได้อย่างไร / มันพิสูจน์ได้จริงว่าอะไรที่ได้รับการยอมรับ / การเหนี่ยวนำนั้นเป็นอย่างไร $\sum_{i=0}^{n}i = \frac{n(n+1)}{2}$

hat-hat เป็นฟังก์ชั่นการเปลี่ยนแปลงแบบขยายโดยวิธีการ

— tcdowney
แหล่งที่มา

^{เนื่องจากปัญหาของคุณยังไม่ชัดเจนฉันจะเริ่มต้นตั้งแต่ต้น}

อุปนัยทางคณิตศาสตร์การทำงานเช่นเดียวกับเกมของกระซิบจีน (ในกรณีที่เหมาะคือทุกการสื่อสารเป็น lossless) หรือ (ตั้งค่าได้อย่างสมบูรณ์แบบขึ้นไป) แต้ม : คุณเริ่มต้นที่อื่นและแสดงให้เห็นว่าขั้นตอนต่อไปของคุณทุกคนไม่ได้ผิดอะไรสมมติว่าไม่มีอะไรที่ได้รับการหักจน แล้วก็

เป็นทางการมากขึ้นทุกการพิสูจน์การเหนี่ยวนำประกอบด้วยสามองค์ประกอบพื้นฐาน:

สมอเหนี่ยวนำ, เคสพื้นฐาน : คุณแสดงเคสเล็ก ๆ ที่มีการเคลม
สมมติฐานการเหนี่ยวนำ: คุณสมมติว่าการอ้างสิทธิ์มีไว้สำหรับเซตย่อยบางส่วนของชุดที่คุณต้องการพิสูจน์บางอย่าง
ขั้นตอนอุปนัย: จากการใช้สมมติฐานคุณจะเห็นว่าการอ้างสิทธิ์มีไว้สำหรับองค์ประกอบเพิ่มเติม

แน่นอนว่าต้องมีการปรับขั้นตอนดังกล่าวเพื่อให้ครอบคลุมทั้งชุดฐาน (ในขีด จำกัด )

หมายเหตุสำคัญ: ผู้ที่มีความมั่นใจในทักษะการเหนี่ยวนำของพวกเขามักจะเปล่งประกายเหนือสมอเรือและทิ้งสมมติฐานไว้โดยปริยาย แม้ว่าจะเป็นเรื่องปกติเมื่อนำเสนอผลงานของคุณต่อผู้ชมที่มีความเชี่ยวชาญ (เช่นกระดาษ) แต่ก็ไม่แนะนำให้ทำการพิสูจน์ตัวเองโดยเฉพาะในฐานะผู้เริ่มต้น เขียนทุกอย่าง

ลองพิจารณาตัวอย่างง่ายๆเหนือ ; เราต้องการแสดงให้เห็นว่า $(\mathbb{N},\leq)$ ถือครองสำหรับทั้งหมด $\sum_{i=0}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$ $n \in \mathbb{N}$

ผู้ประกาศข่าว : สำหรับ , $n=0$ ถืออย่างชัดเจน $\sum_{i=0}^{n} i = 0 = \frac{n(n+1)}{2}$
สมมติฐาน : สมมติว่าถือสำหรับพล แต่fixed²N $\sum_{i=0}^{k} i = \frac{k(k+1)}{2}$ $n \in \mathbb{N}$
ขั้นตอน : สำหรับให้คำนวณผลรวม: $n+1$

$\qquad \displaystyle \sum_{i=0}^{n+1} i = (n+1) + \sum_{i=0}^{n} i \overset{\text{IH}}{=} n+1 + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{(n+2)(n+1)}{2}$

ดังนั้นตัวตนถือสำหรับ 1(เราทราบว่าเราต้องการเพียงส่วนเล็ก ๆ ของสมมติฐานคือสำหรับซึ่งมักเกิดขึ้น) $n+1$ $k=n$

หลักการอุปนัยตอนนี้เรามั่นใจว่าการเรียกร้องแน่นอนถือ: เราได้แสดงให้เห็นว่ามันโดยตรง0ขั้นตอนบอกว่าถ้ามันถือเป็นก็ยังถือเป็น ; ถ้ามันถือเป็นก็ยังถือเป็น ; และอื่น ๆ $0$ $0$ $1$ $1$ $2$

ลองมาดูตัวอย่างอีกคราวนี้ )การอ้างสิทธิ์ที่เราต้องการพิสูจน์คือ: สำหรับเซตย่อยทุกอันที่ จำกัดของขนาดของชุดกำลังของคือ³ เราดำเนินการเหนี่ยวนำของเรามากกว่าอีกครั้งคือในช่วงขนาดของย่อย $(2^\mathbb{N}, \subseteq)$ $A$ $\mathbb{N}$ $2^A$ $A$ $2^{|A|}$ $(\mathbb{N}, \leq)$ $A$

ผู้ประกาศข่าว:พิจารณาชุดขนาดเท่านั้นชุดว่าง เห็นได้ชัดว่าและดังนั้นตามที่อ้างสิทธิ์ $0$ $2^\emptyset = \{\emptyset\}$ $|2^\emptyset| = 1 = 2^0$
สมมติฐาน:สมมติว่าสำหรับเซตด้วยกับพลบางส่วน แต่คงเรามี. $A \subseteq \mathbb{N}$ $|A| \leq n$ $n \in \mathbb{N}$ $|2^A| = 2^{|A|}$
ขั้นตอน:ให้ตามอำเภอใจ size ของขนาดและให้ตามอำเภอใจ (เช่นมีอยู่เป็น ) ตอนนี้สมมติฐานใช้กับและดังนั้น nตั้งแต่ $B \subseteq \mathbb{N}$ $n+1$ $b \in B$ $b$ $n+1 > 0$ $B \setminus \{b\}$ $|2^{B \setminus \{b\}}| = 2^n$

, $\qquad \displaystyle 2^B = 2^{B \setminus \{b\}} \cup \{ A \cup \{b\}\mid A \in 2^{B \setminus \{b\}} \}$

เรามีแน่นอนตามที่อ้างสิทธิ์ $|2^{B}| = 2 \cdot |2^{B \setminus \{b\}}| = 2 \cdot 2^n = 2^{n+1}$

อีกครั้งโดยการเหนี่ยวนำการเรียกร้องที่พิสูจน์แล้ว

ตอนนี้สำหรับปัญหาของคุณสามารถใช้เคล็ดลับร่วมกันเสริมสร้างความเข้มแข็งคำสั่ง หากคุณกำหนดข้อเรียกร้องของคุณเป็น "หุ่นยนต์ยอมรับทุกคำด้วยจำนวนคี่" คุณจะได้รับสมมุติฐานอุปนัยเช่น "ในทุกคำที่มีความยาวซึ่งตรงกับจำนวนคี่ที่ได้รับการยอมรับจากหุ่นยนต์" สิ่งนี้จะไม่นำพาคุณไปทุกที่เพราะเราไม่รู้อะไรเลยเกี่ยวกับจำนวนที่มีอยู่ในคำศัพท์ที่ยอมรับ สมมติฐานนี้ไม่สามารถใช้กับสิ่งที่คุณตัดคำที่เลือกโดยพลการออกไป $n$

ดังนั้นคุณต้องการกำหนดให้มีการอ้างสิทธิ์มากขึ้น: "หุ่นยนต์อยู่ในสถานะถ้าหากส่วนที่บริโภคของอินพุตมีจำนวนคี่" และแสดงสิ่งนี้ โปรดทราบว่ามันหมายถึงการเรียกร้องในอดีต $B$

ผู้ประกาศข่าว : หลังจากการประมวลผลสตริงเท่านั้นที่มีความยาวเป็นศูนย์หุ่นยนต์เป็นอย่างชัดเจนในรัฐอ้างว่าเป็น $\varepsilon$ $A$
สมมติฐาน : สมมติว่าการอ้างสิทธิ์ถือสำหรับแฟรกเมนต์อินพุตที่มีความยาวจนถึงซึ่งเลือกโดยพลการ แต่คงที่ $n$
ขั้นตอนที่ : พิจารณาคำพล 1 มีสองกรณี
1. มีจำนวนคู่ มีสองกรณีสำหรับสัญลักษณ์สุดท้าย
  1. : ในกรณีนี้มีจำนวนคู่ ตามสมมติฐานการเหนี่ยวนำหุ่นยนต์ที่อยู่ในสถานะหลังจากการบริโภค 'การใช้จะทำให้หุ่นยนต์อยู่ในสถานะตามที่อ้างสิทธิ์ $w_n = 0$ $w' = w_1 \dots w_{n-1}$ $A$ $w'$ $w_n = 0$ $A$
  2. : ในกรณีนี้มีจำนวนคี่ ตามสมมติฐานการเหนี่ยวนำหุ่นยนต์ที่อยู่ในสถานะหลังจากการบริโภค 'การใช้ทำให้หุ่นยนต์เปลี่ยนไปใช้สถานะตามที่อ้างสิทธิ์ $w_n = 1$ $w' = w_1 \dots w_{n-1}$ $B$ $w'$ $w_n = 1$ $A$
2. มีจำนวนคี่ คล้ายกับกรณีที่ 1 $w$

หลักการของอุปนัยหมายถึงการเรียกร้องถือ

คุณทำการเหนี่ยวนำตามลำดับบางส่วน; สมอต้องครอบคลุมองค์ประกอบน้อยที่สุดทั้งหมดและบางครั้งก็มากขึ้น (ขึ้นอยู่กับคำสั่ง)
$n$
$2^A$ $A$ ${0,1}$
$B$ $A$

— กราฟิลส์
แหล่งที่มา