มีปัญหาเฉพาะใด ๆ ที่ทราบว่าไม่สามารถตัดสินใจได้ด้วยเหตุผลอื่นนอกจากแนวทแยงมุมการอ้างอิงตนเองหรือการลดทอนหรือไม่?

ปัญหาที่แก้ไม่ได้ทุกอย่างที่ฉันรู้ว่าตกอยู่ในหนึ่งในหมวดหมู่ต่อไปนี้:

1. ปัญหาที่ไม่สามารถตัดสินใจได้เนื่องจาก diagonalization (การอ้างอิงตนเองทางอ้อม) ปัญหาเหล คุณอาจพบปัญหาที่ไม่อาจคาดเดาได้มากมายเกี่ยวกับความซับซ้อนของ Kolmogorov ในค่ายนี้

2. ปัญหาที่ไม่สามารถตัดสินใจได้เนื่องจากการอ้างอิงตนเองโดยตรง ตัวอย่างเช่นภาษาสากลสามารถแสดงให้เห็นว่า undecidable ด้วยเหตุผลดังต่อไปนี้: ถ้ามันเป็น decidable แล้วก็เป็นไปได้ที่จะใช้ทฤษฎีการเรียกซ้ำของ Kleene เพื่อสร้าง TM ที่ได้รับการเข้ารหัสของตัวเองถามว่าจะยอมรับอินพุตของตัวเองหรือไม่ จากนั้นก็ตรงกันข้าม

3. ปัญหาที่ไม่สามารถตัดสินใจได้เนื่องจากการลดลงของปัญหาที่ไม่สามารถตัดสินใจได้ที่มีอยู่ ตัวอย่างที่ดีที่นี่รวมถึงปัญหาการโพสต์จดหมาย (ลดจากปัญหาการหยุดชะงัก) และ Entscheidungsproblem

เมื่อฉันสอนทฤษฎีความสามารถในการคำนวณให้กับนักเรียนของฉันนักเรียนจำนวนมากก็รับเรื่องนี้เช่นกันและมักถามฉันว่ามีปัญหาใด ๆ ที่เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าไม่สามารถตัดสินใจได้โดยไม่ต้องกลับไปใช้กลอุบายการอ้างอิงตนเองบางประเภท ฉันสามารถพิสูจน์แบบ nonconstructively ว่ามีปัญหาที่ไม่อาจตัดสินใจได้หลายอย่างโดยการโต้แย้งเชิง cardinality อย่างง่ายที่เกี่ยวข้องกับจำนวน TMs กับจำนวนภาษา แต่สิ่งนี้ไม่ได้เป็นตัวอย่างเฉพาะของภาษา undecidable

มีภาษาใดที่ไม่สามารถระบุได้ด้วยเหตุผลที่ไม่ได้ระบุไว้ข้างต้น ถ้าเป็นเช่นนั้นพวกเขาคืออะไรและใช้เทคนิคอะไรในการแสดงความลังเลของพวกเขา

ใช่มีหลักฐานดังกล่าว พวกเขาจะขึ้นอยู่กับทฤษฏีเกณฑ์ต่ำ

ดูคำตอบนี้เพื่อมีหลักฐานใด ๆ undecidability ของปัญหาการหยุดชะงักที่ไม่ขึ้นอยู่กับการอ้างอิงตนเองหรือแนวทแยงมุม? คำถามเกี่ยวกับ cstheory เพิ่มเติม

นี่ไม่ใช่คำตอบที่แน่นอน แต่เป็นความพยายามในบางสิ่งที่อยู่ใกล้เคียงกับสิ่งที่ถูกขอผ่านมุมมองที่สร้างสรรค์ มีปัญหาค่อนข้างน้อยในวิชาฟิสิกส์ในขณะนี้ที่ "อยู่ห่างไกล" จากสูตรทางคณิตศาสตร์ / ทฤษฎีของความไม่แน่นอนและพวกเขาดูเหมือน "ระยะไกล" มากขึ้นจากและ "มีความคล้ายคลึงกันเล็กน้อยกับ" สูตรดั้งเดิมที่เกี่ยวข้องกับปัญหาการหยุดชะงัก ฯลฯ ; แน่นอนว่าพวกเขาใช้ปัญหาการหยุดยั้งที่ราก แต่โซ่ของการให้เหตุผลได้กลายเป็นที่ห่างไกลมากขึ้นและยังมีแง่มุม / ธรรมชาติ น่าเสียดายที่ยังไม่มีการสำรวจที่ยอดเยี่ยมใด ๆ ในพื้นที่นี้ ปัญหาล่าสุดที่พิสูจน์แล้วว่า "น่าประหลาดใจ" ที่พิสูจน์ไม่ได้ในวิชาฟิสิกส์ที่ดึงดูดความสนใจจำนวนมาก:

• Undecidability ของช่องว่างสเปกตรัม / Cubitt, Perez-Garcia, Wolf

ช่องว่างสเปกตรัม - ความแตกต่างของพลังงานระหว่างสถานะพื้นดินและสถานะที่น่าตื่นเต้นเป็นครั้งแรกของระบบ - เป็นศูนย์กลางของฟิสิกส์ควอนตัมหลายตัว ปัญหาเปิดที่ท้าทายหลายอย่างเช่นการคาดคะเนของ Haldane คำถามเกี่ยวกับการดำรงอยู่ของโทโพโลยีสปินเฟสของเหลวและการคาดการณ์ช่องว่างระหว่าง Yang – Mills กับช่องว่างของสเปคตรัม ปัญหาเหล่านี้และอื่น ๆ เป็นกรณีเฉพาะของปัญหาช่องว่างสเปกตรัมโดยทั่วไป: เนื่องจากระบบ Hamilton หลายตัวมีควอนตัมมิวโตเนียน, มันเป็น gapped หรือไม่มีช่องว่าง? ที่นี่เราพิสูจน์ว่านี่เป็นปัญหาที่ไม่สามารถตัดสินใจได้ โดยเฉพาะเราสร้างครอบครัวของระบบควอนตัมสปินบนตาข่ายสองมิติที่มีค่าคงที่การแปลการโต้ตอบเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุดซึ่งปัญหาช่องว่างทางสเปกตรัมไม่สามารถอธิบายได้ ผลลัพธ์นี้ขยายไปถึงความไม่แน่นอนของคุณสมบัติพลังงานต่ำอื่น ๆ

สิ่งที่คุณดูเหมือนจะสังเกตในคำถามคือหลักฐานพิสูจน์ undecidability (อย่างไม่เป็นทางการ) ทั้งหมดมีโครงสร้าง "อ้างอิงตนเอง" บางอย่างและสิ่งนี้ได้รับการพิสูจน์อย่างเป็นทางการในคณิตศาสตร์ขั้นสูงยิ่งขึ้นเช่นทั้งปัญหาทัวริง ถูกมองว่าเป็นตัวอย่างของปรากฏการณ์พื้นฐานเดียวกัน ดูเช่น:

• ปัญหาการหยุดชะงักชุดที่ไม่สามารถคำนวณได้: การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ทั่วไป

ทฤษฎีการหยุดชะงักทฤษฎีบทของคันทอร์ (ไม่ใช่ - มอร์ฟิซึ่มส์ของเซตและ powerset) และทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเกอเดลเป็นกรณีทั้งหมดของทฤษฎีบทจุดคงที่ของ Lawvere ซึ่งกล่าวว่าสำหรับหมวดหมู่คาร์ทีเซียนปิดใด ๆ A → (A⇒B) ดังนั้นทุก f: B → B มีจุดคงที่

นอกจากนี้ยังมีการทำสมาธินานในรูปแบบของการเชื่อมต่อระหว่างกัน (ภายใน?) ของการอ้างอิงตนเองและ undecidability ในหนังสือโดย Hofstadter พื้นที่อื่นที่ผลลัพธ์ undecidability เป็นเรื่องธรรมดาและในขั้นต้นค่อนข้าง "น่าประหลาดใจ" อยู่กับปรากฏการณ์เศษส่วน crosscutting ลักษณะ / ความสำคัญของปรากฏการณ์ธรรมชาติ undecidable ทั่วเกือบหลักการทางกายภาพได้รับการยอมรับที่จุดนี้สังเกตเห็นเป็นครั้งแรกโดยวุลแฟรมเป็น"หลักการของความเท่าเทียมกันในการคำนวณ"