ปัญหาการหยุดชะงักชุดที่ไม่สามารถคำนวณได้: การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ทั่วไป

เป็นที่ทราบกันดีว่าด้วยชุดอัลกอริธึมที่นับได้ (ซึ่งมีหมายเลขGödel) เราไม่สามารถคำนวณได้ (สร้างอัลกอริธึมไบนารี่ซึ่งตรวจสอบการเป็นเจ้าของ) เซตย่อยทั้งหมดของเอ็น

หลักฐานสามารถสรุปได้ว่า: ถ้าเราทำได้ชุดของเซตย่อยทั้งหมดของ N จะนับได้ (เราสามารถเชื่อมโยงแต่ละชุดย่อยกับหมายเลขGödelของอัลกอริทึมที่คำนวณได้) เช่นนี้เป็นเท็จมันพิสูจน์ผลลัพธ์

นี่เป็นข้อพิสูจน์ที่ฉันชอบตามที่แสดงให้เห็นว่าปัญหานั้นเทียบเท่ากับเซตย่อยของ N ที่ไม่สามารถนับได้

ตอนนี้ฉันต้องการพิสูจน์ว่าปัญหาการหยุดทำงานไม่สามารถแก้ไขได้โดยใช้ผลลัพธ์เดียวกันนี้เท่านั้น (การถอดไม่ได้ของชุดย่อย N) เนื่องจากฉันเดาว่าปัญหาเหล่านั้นใกล้เคียงกันมาก เป็นไปได้ไหมที่จะพิสูจน์ด้วยวิธีนี้

computability halting-problem

— Weier
แหล่งที่มา

เห็นได้ชัดว่าผลลัพธ์ทั้งสองสามารถพิสูจน์ได้โดยใช้เทคนิคเดียวกัน (เส้นทแยงมุม) อย่างไรก็ตามฉันไม่คิดว่ามันเป็นไปได้ที่จะพิสูจน์ undecidability ของปัญหาการหยุดชะงักเพียงแค่ใช้การนับไม่ได้ของครอบครัวของเซตย่อยของ former เพราะอดีตเป็นเรื่องเกี่ยวกับการเปรียบเทียบระหว่างREและRซึ่งทั้งสองเป็นครอบครัวที่นับได้ของ ส่วนย่อยของℕ

— Tsuyoshi Ito

มีเพียงโปรแกรมจำนวนมากเท่านั้นที่สามารถเข้าถึง oracle หยุดทำงานได้อีกครั้งโดยมีหมายเลข Godel อีกครั้ง อย่างไรก็ตามปัญหาการหยุดชะงักอยู่ระหว่างชุดที่นับได้นี้

— David Harris

$e : A \to (A \Rightarrow B)$ $f : B \to B$

Lawvere, F. William ข้อโต้แย้งในแนวทแยงและคาร์ทีเซียนปิดหมวดหมู่ หมายเหตุการบรรยายในวิชาคณิตศาสตร์, 92 (1969), 134-145

สำหรับการแนะนำที่ดีที่จะคิดเหล่านี้เห็นนี้โพสต์บล็อกของอังเดรย์บาวเออร์

— Neel Krishnaswami
แหล่งที่มา

มันค่อนข้างเรียบร้อย ฉันไม่ได้ตระหนักว่ามีการโต้แย้งอย่างเป็นทางการที่เกิดขึ้นจริงรวมพวกเขา

— Suresh Venkat

ตอนนี้ฉันได้เรียนรู้ที่จะสงสัยว่าถ้ามันดูเหมือนกันและมีกลิ่นเหมือนกันมีการโต้แย้งอย่างเป็นหมวดหมู่เกี่ยวกับความรู้สึกที่เหมือนกัน

— วีเจย์ D

IMO สองสิ่งที่ดีจริง ๆ เกี่ยวกับทฤษฎีบทของ Lawvere คือ (a) มันเป็นคำสั่งที่เป็นบวกมากกว่าที่จะเป็นเชิงลบและ (b) หลักฐานคือเส้นครึ่งโหลของการคำนวณแคลคูลัสแลมบ์ดาอย่างง่าย

— Neel Krishnaswami

เมื่อฉันอ่านคำถามฉันคิดกับตัวเองว่าใครบางคนควรพูดถึงทฤษฎีบทจุดคงที่ของ Lawvere ลองนึกภาพความสุขของฉันเมื่อฉันอ่านคำตอบ :-)

— Andrej Bauer

การเป็น epimorphic ไม่ใช่เงื่อนไขที่ถูกต้อง คุณจำเป็นต้องมีจุด surjectivity ซึ่งไม่ได้มีความหมายและไม่มีนัยโดยเงื่อนไขของการเป็น epimorphic ดูหมายเหตุ 2.3 ncatlab.org/nlab/show/Lawvere%27s+fixed+point+theorem

— 2560