เวอร์ชันที่สร้างสรรค์ของความสามารถในการถอดรหัส?

วันนี้เวลากลางวันเราได้นำปัญหานี้กับเพื่อนร่วมงานของฉันและฉันประหลาดใจอาร์กิวเมนต์เจฟฟ์อีที่เป็นปัญหา decidable ไม่ได้โน้มน้าวให้พวกเขา ( นี่คือการโพสต์ที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดใน mathoverflow) คำแถลงปัญหาที่อธิบายได้ง่ายขึ้น ("คือ P = NP?") ก็สามารถถอดรหัสได้เช่นกันว่าใช่หรือไม่ใช่และดังนั้นหนึ่งในสอง TMs ที่ส่งเอาต์พุตคำตอบเหล่านั้นจะตัดสินใจปัญหาเสมอ อย่างเป็นทางการเราสามารถตัดสินใจชุด : ทั้งเครื่องที่เอาท์พุทเท่านั้นสำหรับการป้อนข้อมูลและอื่น ๆตัดสินใจมันหรือเครื่องที่ไม่ได้สำหรับการป้อนข้อมูล2$S :=\{|\{P, NP\}|\}$$1$$1$$0$$2$

หนึ่งในนั้นต้มลงเพื่อคัดค้านนี้: ถ้านั่นเป็นวิธีที่อ่อนแอเกณฑ์การตัดสินใจคือ - ซึ่งหมายความว่าทุกคำถามที่เราสามารถทำเป็นพิธีการเป็นภาษาที่เราสามารถแสดงให้เป็นที่แน่นอนคือ decidable - จากนั้นเราควรทำเป็นเกณฑ์ที่ ไม่ทำให้เกิดปัญหาใด ๆ กับคำตอบที่เป็นไปได้จำนวนมากที่สามารถแก้ไขได้อย่างเป็นทางการในลักษณะนี้ ในขณะที่สิ่งต่อไปนี้อาจเป็นเกณฑ์ที่แข็งแกร่งกว่านี้ฉันขอแนะนำว่าสิ่งนี้อาจทำให้แม่นยำโดยการกำหนดให้ decidability ควรขึ้นอยู่กับความสามารถในการแสดง TM โดยพื้นฐานแล้วเป็นการเสนอมุมมองของสัญชาตญาณ เพื่อนร่วมงานคนใดคนหนึ่งของฉันทุกคนยอมรับกฎหมายว่าด้วยการยกเว้นคนกลาง)

มีคนทำพิธีและศึกษาทฤษฎีความสามารถในการตัดสินใจได้หรือไม่?

ฉันคิดว่าคำถามที่คุณพยายามถามคือ "ทฤษฎีการคำนวณเชิงสร้างสรรค์คืออะไร" และนี่เป็นคำถามที่น่าสนใจอย่างที่คุณอาจเห็นจากการสนทนาในรายการส่งเมลของมูลนิธิคณิตศาสตร์

ไม่น่าแปลกใจที่มีการพิจารณาเนื่องจากทฤษฎีการเรียกซ้ำจำนวนมากได้รับการพัฒนาโดยคนที่มีความรู้สึกที่สร้างสรรค์และในทางกลับกัน ดูเช่นหนังสือ Besson ของและเป็นที่เคารพรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับ Metamathematics เป็นที่ชัดเจนว่าทฤษฎีการเรียกซ้ำสองบทแรกนั้นรอดชีวิตมาได้ด้วยการเปลี่ยนไปสู่การตั้งค่าที่สร้างสรรค์ด้วยการเปลี่ยนแปลงที่น้อยที่สุด: เช่นทฤษฎีบท snm, ทฤษฎีบทของข้าวหรือทฤษฎีการเรียกซ้ำ Kleene ยังคงไม่เปลี่ยนแปลง

หลังจากบทแรกแม้ว่าสิ่งต่าง ๆ ได้ยากขึ้นเล็กน้อย โดยเฉพาะอย่างยิ่งระดับที่สูงขึ้นของลำดับชั้นทางคณิตศาสตร์มักจะถูกกำหนดโดยแนวคิดของความจริง โดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎีบทที่ใช้กันอย่างแพร่หลายเช่นทฤษฎีบทโลว์ซิสพื้นฐานดูเหมือนจะไม่สร้างสรรค์

บางทีการตอบสนองเชิงปฏิบัติที่มากกว่านั้นก็คือ“ ภาษาที่คำนวณได้ขัดแย้งกัน” เหล่านี้เป็นเพียงแค่ความแปลกประหลาดที่สามารถศึกษา (และมี!) ที่มีความยาวมากเช่นชุด reals ที่ไม่สามารถวัดได้ เอาชนะหนึ่งสามารถย้ายไปยังสิ่งที่น่าสนใจ

ในตรรกะคลาสสิกทุกคำสั่งเป็นจริงหรือเท็จในรูปแบบที่กำหนดใด ๆ ตัวอย่างเช่นคำสั่งลำดับแรกใด ๆ เกี่ยวกับตัวเลขธรรมชาติอาจเป็นจริงหรือเท็จใน "โลกแห่งความจริง" (ซึ่งรู้จักกันในบริบทนี้ว่าเป็นเลขคณิตจริง ) ถ้าอย่างนั้นทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของGödelล่ะ? มันแค่ระบุว่าไม่มีการแจกแจง axiomatization นับซ้ำของจริงทางคณิตศาสตร์เสร็จสมบูรณ์

เกี่ยวกับกับนักวิจัยส่วนใหญ่เชื่อว่า , บางอย่างที่และกำมือความบันเทิง เชื่อว่ามันเป็นอิสระจาก (พูด) ZFC สมมติว่าคุณยินดีที่จะยอมรับว่าในความเป็นจริงมันไม่ได้เป็นอิสระจาก ZFC (เช่นเดียวกับที่คุณยินดีที่จะยอมรับว่า ZFC นั้นสอดคล้องกันตั้งแต่แรก) ในกรณีที่มีเครื่องทัวริงอย่างชัดเจนอย่างสมบูรณ์ที่คำนวณภาษาของคุณ เครื่องค้นหาหลักฐานอย่างใดอย่างหนึ่งหรือจนกระทั่งพบแล้วดำเนินการตามนั้น เราสามารถพิสูจน์ได้$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$\mathsf{P} = \mathsf{NP}$$\mathsf{P} = \mathsf{NP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$ เครื่องนี้ยอมรับภาษาของคุณแม้ว่าเราจะยังไม่รู้ว่าภาษานั้นตรงกับอะไร!

หากคุณไม่เต็มใจที่จะยอมรับว่า ZFC คุณจะยังสามารถถามได้ว่ามีทัวริงที่ยอมรับภาษาของคุณหรือไม่ ฉันทิ้งคำถามที่เหลือเชื่อนี้ไว้กับผู้อ่านที่สนใจ$\mathsf{P} \stackrel{?}{=} \mathsf{NP}$

(ข้อจำกัดความรับผิดชอบ, คำตอบคลุมเครือสำหรับคำถามคลุมเครือซึ่งอาจเหมาะกับcstheoryดีกว่า) constructibilityเป็น "เรื่องใหญ่" ในวิชาคณิตศาสตร์ทฤษฎี แต่จะแสดงขึ้นโดยเฉพาะอย่างยิ่งในบริบทที่ต่อเนื่องเช่น semifamous Banach-Tarski เส้นขนาน ความขัดแย้งเหล่านี้โดยทั่วไปดูเหมือนจะไม่ได้แสดงให้เห็นขึ้นใน "ที่ไม่ต่อเนื่องมากขึ้น" ซี"เพื่อให้ห่างไกล" ดังนั้นความสามารถในการก่อสร้าง (อนาล็อก / ขนานของ) ใน CS คืออะไร คำตอบดูเหมือนไม่ชัดเจน ที่เกิดแนวคิดในการวิจัยคณิตศาสตร์มากกว่า CS และทั้งสอง Dont ดูเหมือนจะเชื่อมโยงกันในปมนี้โดยเฉพาะมากเกินไป"เพื่อให้ห่างไกล"

คำตอบเดียวก็คือทฤษฎีของความสามารถในการตัดสินใจได้จริง ๆ แล้วดูเหมือนว่าจะเป็นการเปลี่ยนแปลงของความสามารถในการสร้างได้เช่นมันเป็นวิธีการที่เข้มงวดในการพิจารณาว่าเซตใดที่คำนวณได้ซึ่งดูเหมือนว่าจะเชื่อมโยงกันอย่างใกล้ชิด

ความสามารถในการสร้างสรรค์ที่หัวใจเกี่ยวข้องกับบางประเด็นของ "ความเป็นอิสระจาก ZFC" และพื้นที่เหล่านั้นได้รับการพิจารณาที่มีความยาวในบทความนี้โดย Aaronson wrt P vs NP, P กับ NP เป็นอิสระอย่างเป็นทางการหรือไม่? .

มันไม่ได้แสดงให้เห็นจริง ๆ ว่า "ความขัดแย้ง" ดูเหมือนจะชี้ไปที่ประเด็น constructibility แต่อาจใช้เป็นแนวทางคร่าว ๆ สำหรับการเปรียบเทียบคร่าว ๆ ในกระดาษที่เขาพิจารณาว่าผลการพยากรณ์เช่น earonsons earonsons e กรัมผลพยากรณ์ซึ่งดูเหมือนจะมีบาง กิ Solovay 1975 ผลที่ออราเคิลมีอยู่ทั้งสองดังกล่าวว่า P = NP และ P ^B ≠ NP B ความขัดแย้งอื่น ๆ เช่น thms คือ Blum gapและtheorems speedup

มันเป็นแค่เรื่องบังเอิญที่ CS มุ่งเน้นไปที่ฟังก์ชั่นที่สร้างขึ้นได้ใน"เวลา / พื้นที่"ในทฤษฎีพื้นฐานลำดับชั้นของเวลา / พื้นที่? (ซึ่งจะแยกความขัดแย้งที่มีลักษณะคล้ายบลัมเกือบ"โดยการออกแบบ" ?)

คำตอบก็คือว่ามันอยู่ภายใต้การสอบสวน / การวิจัยที่ใช้งานอยู่เช่นในการค้นพบนี้ การสร้างเป็นที่รู้กันว่าเชื่อมโยงกับ"พระคาร์ดินัลขนาดใหญ่"ในวิชาคณิตศาสตร์: กลยุทธ์ที่ชนะสำหรับเกมที่ไม่มีที่สิ้นสุด: จากพระคาร์ดินัลขนาดใหญ่ไปจนถึงวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ / Ressayre

การใช้ความจริงที่สำคัญของ“ ชาร์ป” มาร์ตินได้รับการพิสูจน์การวิเคราะห์: การดำรงอยู่ของกลยุทธ์การชนะสำหรับผู้เล่นคนใดคนหนึ่งในทุก ๆ เกมที่ไม่มีที่สิ้นสุดของข้อมูลที่สมบูรณ์แบบระหว่างผู้เล่นสองคนให้ผู้เล่นคนใดคนหนึ่ง หนึ่ง. ฉันแก้ไขและเสริมหลักฐานของเขาเพื่อรับหลักฐานใหม่ของ Rabin, Buechi-Landweber, ทฤษฎีบท Gurevich-Harrington ของการกำหนดสถานะ จำกัด : การดำรงอยู่ของกลยุทธ์การชนะที่คำนวณโดยเครื่องสถานะอัน จำกัด เมื่อชุดผู้ชนะของตัวเอง จำกัด รัฐได้รับการยอมรับ