ทำไมชุดการนับของปัญหาการตัดสินใจที่ยากจึงไม่ยากโดยอัตโนมัติ

เป็นที่ทราบกันดีว่า 2-SAT อยู่ใน P อย่างไรก็ตามดูเหมือนว่าค่อนข้างน่าสนใจที่จะนับจำนวนโซลูชันเป็นสูตร 2-SAT ที่กำหนดเช่น # 2-SAT คือ # P-hard นั่นคือเรามีตัวอย่างของปัญหาที่การตัดสินใจง่าย แต่การนับนั้นยาก

แต่ให้พิจารณาปัญหา NP-complete ตามอำเภอใจ (พูด 3-COL) เราสามารถพูดบางอย่างเกี่ยวกับความแข็งของชุดนับได้หรือไม่?

สิ่งที่ฉันถามคือ: ทำไมเราต้องมีหลักฐานอื่นเพื่อแสดงความแตกต่างในการนับของปัญหาการตัดสินใจที่ยาก # # P-hard? (บางครั้งคุณจะเห็นการลดลงอย่างมากที่รักษาจำนวนการแก้ปัญหาและอื่น ๆ ) ฉันหมายถึงจริงๆถ้าปัญหาการนับเป็นเรื่องง่ายคุณสามารถแก้ไขปัญหาการตัดสินใจได้โดยอัตโนมัติเช่นกัน! แล้วมันจะไม่ยากได้อย่างไร? (ตกลงอาจจะยาก แต่ฉันไม่แน่ใจว่าคำจำกัดความของ hard ใด)

เหตุผลไม่ใช่ทฤษฎีบทอัตโนมัติว่า "การตัดสินใจยากหมายความว่าการนับนั้นยาก" คือข้อความทั้งสองนี้ใช้คำจำกัดความที่แตกต่างกันของ "ยาก"

• ปัญหาการตัดสินใจเป็นเรื่องยากถ้ามันเป็นปัญหา NP- ที่สมบูรณ์ภายใต้การลดจำนวนพหุนามเวลาหลาย ๆ ครั้ง

• ปัญหาการนับเป็นเรื่องยากถ้า#P-สมบูรณ์ภายใต้การลดทัวริงพหุนามเวลา (aka การลด Cook)

ดังนั้นหากปัญหาการตัดสินใจเป็นปัญหาNP-สมบูรณ์เรารู้ว่าปัญหาการนับที่สอดคล้องกันคือNP -hard แต่นั่นไม่ใช่คำจำกัดความของปัญหาการนับที่ยาก การที่#P- ทำให้ดูเหมือนเป็นคำสั่งที่แข็งแกร่งกว่าแค่NP -hard - Toda แสดงให้เห็นว่า#P-ปัญหาที่สมบูรณ์นั้นยากสำหรับลำดับชั้นพหุนามทั้งหมดภายใต้การลดแบบสุ่มดังนั้นในระดับความซับซ้อน#Pรู้สึกใกล้ชิดมากขึ้น เพื่อPSPACEกว่าที่จะ  NP

ไปในทิศทางที่ตรงข้ามก็เป็นความจริงอย่างชัดเจนว่าถ้าปัญหานับเป็นเรื่องง่ายในความรู้สึกของการอยู่ใน  FPแล้วปัญหาการตัดสินใจที่อยู่ใน  P ท้ายที่สุดถ้าคุณสามารถนับได้อย่างมีประสิทธิภาพคุณสามารถบอกได้อย่างแน่นอนว่าคำตอบนั้นไม่ใช่ศูนย์ อย่างไรก็ตามเพียงเพราะรุ่นการนับเป็น "ไม่ยาก" (เช่นไม่ใช่#P-สมบูรณ์) จึงไม่ได้หมายความว่ามันเป็น "ง่าย" (เช่นใน  FP ) ทฤษฎีบทของ Ladner ขยายไปถึง  #Pดังนั้นหากFP$\,\neq\,$** # P ** จากนั้นมีลำดับชั้นที่ไม่สิ้นสุดของคลาสความซับซ้อนที่แตกต่างกันระหว่างพวกเขาดังนั้นปัญหาการนับ "ไม่ยาก" ของเราสามารถทำให้เสร็จสมบูรณ์สำหรับหนึ่งในคลาสเหล่านั้นและดังนั้นจึงไม่ใช่ "ง่าย" (ใน  FP )

ต้องบอกว่าฉันไม่คิดว่าเรามีตัวอย่างที่เกี่ยวข้องกับการคาดเดาว่าปัญหาการตัดสินใจของNP - ไม่สมบูรณ์หมายความว่ารุ่นการนับเป็น#P-สมบูรณ์ ดังนั้นมันไม่ใช่ทฤษฎี แต่เป็นสัจธรรมจริง