ต้นไม้ที่ขยายครอบคลุมขั้นต่ำสำหรับกราฟจะไม่ซ้ำกันเมื่อใด

กำหนด weighted, กราฟไม่มีทิศทาง G: ซึ่งเงื่อนไขต้องถือเพื่อให้ความจริงว่ามีหลายขั้นต่ำต้นไม้ทอดของ G?

ฉันรู้ว่า MST นั้นไม่เหมือนใครเมื่อตุ้มน้ำหนักทั้งหมดนั้นแตกต่างกัน แต่คุณไม่สามารถย้อนกลับข้อความนี้ได้ หากมี muliple edge ที่มีน้ำหนักเท่ากันในกราฟอาจมี MST หลายตัว แต่อาจมีเพียงอันเดียว:

ในตัวอย่างนี้กราฟทางด้านซ้ายมี MST ที่ไม่ซ้ำกัน แต่อันที่ถูกต้องไม่มี

สิ่งที่ใกล้เคียงที่สุดที่ฉันจะได้รับในการค้นหาเงื่อนไขสำหรับความไม่เป็นเอกลักษณ์ของ MST คือ:

พิจารณารอบที่ไม่มีลำตัวทั้งหมด (รอบที่ไม่มีรอบอื่น ๆ ) ในกราฟ G หากในรอบใด ๆ เหล่านี้ขอบที่มีน้ำหนักสูงสุดมีอยู่หลายครั้งกราฟจะไม่มีต้นไม้ทอดขั้นต่ำที่ไม่ซ้ำกัน

ความคิดของฉันคือสำหรับรอบเช่นนี้

ด้วย n จุดยอดคุณสามารถแยกขอบด้านใดด้านหนึ่งออกและยังคงมีจุดเชื่อมต่อทั้งหมด ดังนั้นคุณมีทางเลือกมากมายในการลบขอบด้วยน้ำหนักสูงสุดเพื่อรับ MST ดังนั้น MST จึงไม่ซ้ำกัน

อย่างไรก็ตามฉันมาพร้อมกับตัวอย่างนี้:

คุณจะเห็นว่ากราฟนี้มีวัฏจักรที่เหมาะกับสภาพของฉัน: (E, F, G, H)แต่เท่าที่ฉันเห็นต้นไม้สแปนนิ่งขั้นต่ำนั้นไม่เหมือนใคร:

ดังนั้นดูเหมือนว่าสภาพของฉันไม่ถูกต้อง (หรืออาจไม่ถูกต้องสมบูรณ์) ฉันขอขอบคุณสำหรับความช่วยเหลือในการค้นหาเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความไม่ซ้ำกันของต้นไม้ที่ทอดขั้นต่ำ

ในภาพแรก: กราฟด้านขวามี MST ที่ไม่ซ้ำกันโดยการถ่ายขอบและ( F , G )ด้วยน้ำหนักรวม 2$(F,H)$$(F,G)$

ได้รับกราฟและปล่อยให้M = ( V , F )เป็นทอดขั้นต่ำต้นไม้ (MST) ในG$G=(V,E)$$M=(V,F)$$G$

หากมีขอบมีน้ำหนักw ( e ) = mเช่นนั้นการเพิ่มeใน MST ของเราทำให้เกิดวงจรCและให้mเป็นน้ำหนักขอบต่ำสุดจากF ∩ Cแล้วเราสามารถสร้าง MST ที่สองโดยการเปลี่ยนขอบจากF ∩ Cกับขอบน้ำหนักมกับอี ดังนั้นเราจึงไม่มีเอกลักษณ์$e=\{v,w\}\in E \setminus F$$w(e)=m$$e$$C$$m$$F\cap C$$F\cap C$$m$$e$

คำตอบก่อนหน้านี้แสดงให้เห็นขั้นตอนวิธีการตรวจสอบว่ามี MSTS หลายซึ่งสำหรับแต่ละขอบไม่ได้อยู่ในGค้นหาวงจรที่สร้างขึ้นโดยการเพิ่มอีไป Precomputed MST และตรวจสอบว่าอีเมลไม่ได้เป็นขอบหนักที่ไม่ซ้ำกันในวงจรที่ อัลกอริทึมที่มีแนวโน้มที่จะทำงานในO ( | E | | V | )เวลา$e$$G$$e$$e$$O(|E||V|)$

ขั้นตอนวิธีการที่ง่ายในการตรวจสอบว่ามีหลาย MSTS จีใน$O(|E|\log(|V|))$เวลาซับซ้อน

$\ $$G$$m$

$\ $$G$$m$$m$$m$

$\ $$G$

$O(|E|\log(|V|))$$m$$O(|E|)$$O(|E|\log(|V|))$

เหตุใดอัลกอริทึมนี้จึงสามารถระบุได้ว่ามี MST หลายตัวหรือไม่

$m'$$m$$G$$m$$w$$w$$m$$m'$$m$$m'$$w$$w$$m'$$m$$e'$$S$$S\subset m$$w$$m$$e'$$w$$m$$S$$w$$S\subset m'.$$e'$$m'$$\{e'\}\cup S\subset m'$$m'$$e'$$S$

หมายเหตุเกี่ยวกับการพัฒนาต่อไป
ขั้นตอนที่ 1 และขั้นตอนที่ 2 สามารถ interleaved เพื่อให้เราสามารถยุติอัลกอริทึมโดยเร็วที่สุดโดยไม่ต้องประมวลผลขอบน้ำหนักที่มากขึ้น
ในกรณีที่คุณต้องการคำนวณจำนวน MST คุณสามารถตรวจสอบคำตอบเกี่ยวกับวิธีคำนวณจำนวน MSTได้

$G$

• ขอบมีลักษณะเฉพาะของวงจร - หนักที่สุดหากเป็นขอบที่มีน้ำหนักมากที่สุดในบางวงจร
• ขอบนั้นไม่ได้เป็นรอบที่หนักที่สุดถ้ามันไม่มีขอบที่หนักที่สุดในรอบใด ๆ
• คมตัดที่ไม่เหมือนใครถ้าเป็นขอบที่เบาที่สุดในการตัดบางส่วน
• คมตัดไม่เบาถ้าไม่คมตัดเบา ๆ
• สอง ST ติดกันหาก ST ทุกอันมีขอบหนึ่งที่ไม่ได้อยู่ใน ST อื่น
• MST เป็น MST ที่แยกได้หากไม่ได้อยู่ติดกับ MST อื่น (เมื่อ MST ทั้งสองถูกพิจารณาว่าเป็น STS)

เมื่อใดที่มีต้นไม้ทอดข้ามขั้นต่ำมากกว่าหนึ่งต้น

$G$

• มี MST อยู่ติดกันสองแห่ง
• ไม่มี MST ที่แยกได้
• มี ST ซึ่งมีน้ำหนักเบาหรือเบากว่า ST ที่อยู่ติดกันทั้งหมดและมีค่าเท่ากับ ST ที่อยู่ติดกัน
• มีขอบที่ไม่ซ้ำกันเป็นวัฏจักรหนักที่สุดหรือหนักที่สุด
• มีขอบที่ไม่ซ้ำกันตัดเบาและไม่ตัดเบา

ความแปลกใหม่ของคำตอบนี้ส่วนใหญ่เป็นสองลักษณะสุดท้าย ที่สองจากตัวละครที่ผ่านมาถือได้ว่าเป็นขั้นตอนต่อไปมากจากวิธีการของ OP สามลักษณะเฉพาะเป็นครั้งแรกด้วยกันถือได้ว่าเป็นรุ่นที่เพิ่มขึ้นเล็กน้อยจากคำตอบของ dtt

$G$

ต้นไม้ที่ถูกขยายน้อยที่สุดจะมีลักษณะเฉพาะเมื่อใด?

$G$

• เอกลักษณ์ของ MST : มี MST ที่ไม่เหมือนใคร
• ไม่มี MST ที่อยู่ติดกัน : ไม่มี MST ที่อยู่ติดกัน
• MST หนึ่งที่แยกได้ : มี MST ที่แยกได้
• หนึ่งเซนต์ขั้นต่ำในท้องถิ่น : มี ST ซึ่งเบากว่า ST ที่อยู่ติดกันทั้งหมด
• สุดขอบรอบ : ขอบทุกเส้นมีทั้งแบบเฉพาะตัวของรอบที่หนักที่สุดหรือไม่รอบสุด
• สุดยอดคมตัด : ขอบทุกอันมีทั้งแบบที่ไม่เหมือนใครและไม่เบาที่สุด

นี่คือหลักฐานของฉัน

"Uniqueness of MST" => "ไม่มี MST ที่อยู่ติดกัน": ชัดเจน

"ไม่มี MST ที่อยู่ติดกัน" => "MST หนึ่งตัวที่แยกออกมา": ชัดเจน

"หนึ่ง MST ที่แยกได้" => "ST ท้องถิ่นต่ำสุดหนึ่ง": MST ที่แยกได้นั้นเบากว่า ST ที่อยู่ติดกันทั้งหมด

$m$

• $m$$l$$m$$l$$l$$c$$l$$m$$m$$m_1$$m_2$$m_1$$m_2$$l$$c$$m_1$$m_2$$l'$$m'$$m_1$$m_2$$l'$$G$$m$$m'$$m$$m'$$l$$l'$$l$
• $m$$h'$$m$$h'$$m$$c$$h$$c$$h'$$m'$$m$$h$$h'$$m$$m'$$m$$m'$$h$$h'$$h'$$c$$h'$

"Local ST ต่ำสุด" => "สุดยอดการตัดขอบ": การพิสูจน์ถูกทิ้งให้เป็นการออกกำลังกาย

$m$$e$$e$$m$$e$$m$$m$

"Extreme cut edge" => "Uniqueness of MST": การพิสูจน์จะถูกทิ้งไว้เป็นแบบฝึกหัด

สายโซ่ของผลกระทบข้างต้นพิสูจน์ทฤษฎีบท

อีกครั้งความแปลกใหม่ของคำตอบนี้ส่วนใหญ่จะเป็นคุณสมบัติ "edge cycle ที่รุนแรง" และคุณสมบัติ "extreme cut edge" ซึ่งใช้แนวคิดซึ่งไม่เป็นวัฏจักรที่หนักที่สุดและไม่เบาที่สุด ฉันไม่ได้เห็นแนวคิดเหล่านั้นที่อื่นแม้ว่าพวกเขาจะค่อนข้างเป็นธรรมชาติ

นี่คือข้อสังเกตที่น่าสนใจที่เกี่ยวข้องสองประการ

• $e$$e$$\Leftrightarrow$ $e$$\Leftrightarrow$ $e$
• $e$$e$$\Leftrightarrow$ $e$$\Leftrightarrow$ $e$

สองเงื่อนไขที่เพียงพอ แต่ไม่จำเป็นสำหรับ MST ที่ไม่ซ้ำกัน

$ab\rightarrow 1, bc\rightarrow 1, cd\rightarrow 1, da\rightarrow 2, ac\rightarrow 2$

$1,1,2$