ความสามารถในการตัดสินใจของปัญหาที่เกี่ยวข้องกับพหุนาม

ฉันได้พบกับปัญหาที่น่าสนใจดังต่อไปนี้: ให้เป็นพหุนามมากกว่าจำนวนจริงและขอให้เราสมมติว่าสัมประสิทธิ์ของพวกเขาเป็นจำนวนเต็มทั้งหมด หากจำเป็นเราอาจสมมติว่าระดับของพหุนามมีค่าเท่ากัน ขอให้เราแสดงโดยx p (resp. x q ) ค่าสัมบูรณ์สูงสุดของราก (จริงหรือซับซ้อน) ของพหุนามp (resp. q ) คุณสมบัติx p = x qสามารถตัดสินใจได้หรือไม่?$p,q$$x_p$$x_q$$p$$q$$x_p = x_q$

ถ้าไม่คุณสมบัตินี้มีไว้สำหรับตระกูลพหุนามที่มีข้อ จำกัด หรือไม่? ในบริบทที่เกิดปัญหานี้พหุนามเป็นพหุนามลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์และรากของพวกมันคือค่าลักษณะเฉพาะ

ฉันรู้ถึงอัลกอริธึมเชิงตัวเลขบางอย่างสำหรับการคำนวณรากของพหุนาม / ค่าลักษณะเฉพาะอย่างไรก็ตามสิ่งเหล่านี้ดูเหมือนจะไม่มีประโยชน์ที่นี่เนื่องจากผลลัพธ์ของอัลกอริทึมเหล่านี้เป็นเพียงค่าประมาณ สำหรับฉันแล้วดูเหมือนว่าพีชคณิตคอมพิวเตอร์อาจมีประโยชน์ที่นี่ แต่น่าเสียดายที่ฉันไม่มีความรู้ใด ๆ ในสาขานั้น

ฉันไม่ได้กำลังค้นหาวิธีแก้ไขปัญหาโดยละเอียดเกี่ยวกับปัญหานี้อย่างไรก็ตามสัญชาตญาณและแนวคิดที่จะค้นหาวิธีแก้ไขปัญหาจะมีประโยชน์

ขอบคุณล่วงหน้า.

ฉันไม่ได้มีความรู้ในสาขานั้น แต่ฉันคิดว่าฉันสามารถให้คำตอบที่ไม่สร้างสรรค์

ทฤษฎีอันดับหนึ่งของฟิลด์ปิดจริงนั้นสามารถนำมาคำนวณได้ ปัญหาของคุณสามารถระบุเป็นระบบของสมการพีชคณิตและ inequations มากกว่าตัวเลขเกี่ยวกับพีชคณิตจริง พิจารณาตัวแปรx 1$2 (\deg P + \deg Q)$ P คุณต้องการทราบว่าระบบต่อไปนี้เป็นที่พอใจหรือไม่: \  start{align *}P (x_j + i \, y_j) & = 0 & \ text {สำหรับ \ (1 \ le j \ le \ deg P \)} \\  Q (x'_k + i \, y'_k) & = 0 & \ text {สำหรับ \ (1 \ le k \ le \ deg Q \)} \\  x_j ^ 2 + y_j ^ k & \ le x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2 & \ text {สำหรับ \ (2 \ le j \ le \ deg P \)} \\  x'_j ^ 2 + y'_j ^ k & \ le x'_1 ^ 2 + x'_2 ^ 2 & \ text {สำหรับ \ (2 \ le k \ le \ deg Q \)} \\  x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2 = x'_1 ^ 2 + y'_1 ^ 2 \\$x_1,\ldots,x_{\deg P}, y_1,\ldots,y_{\deg P}, x'_1,\ldots,x'_{\deg P}, y'_1,\ldots,y'_{\deg P}$

$$\begin{align*} P(x_j+i\,y_j) &= 0 & \text{for \(1 \le j \le \deg P\)} \\ Q(x'_k+i\,y'_k) &= 0 & \text{for \(1 \le k \le \deg Q\)} \\ x_j^2 + y_j^k &\le x_1^2 + x_2^2 & \text{for \(2 \le j \le \deg P\)} \\ x'_j^2 + y'_j^k &\le x'_1^2 + x'_2^2 & \text{for \(2 \le k \le \deg Q\)} \\ x_1^2 + y_1^2 = x'_1^2 + y'_1^2 \\ \end{align*}$$

สองสมการแรกแสดงว่าและ x ′ k + $x_j+i\,y_j$เป็นรากของพหุนามหลายครอบครัวที่ไม่เท่าเทียมกันอีกสองครอบครัวแสดงว่าx1+$x'_k+i\,y'_k$และ x ′ 1 + $x_1+i\,y_1$มีค่าสัมบูรณ์ที่ใหญ่ที่สุดและความไม่เท่าเทียมกันสุดท้ายเปรียบเทียบค่าสัมบูรณ์ที่ใหญ่ที่สุดเหล่านี้$x'_1+i\,y'_1$

มันสามารถตัดสินใจได้ว่าระบบนี้เป็นที่น่าพอใจหรือไม่: ปัญหาของคุณนั้นสามารถตัดสินใจได้ อย่างไรก็ตามข้อความนี้อาจไม่ใช่วิธีที่มีประสิทธิภาพที่สุดในการดำเนินการ

คำตอบที่มีประโยชน์มากขึ้นอาจจะเกี่ยวข้องกับทฤษฎีของฐานGröbner หากคุณกำลังพยายามที่จะแก้ปัญหานั้นด้วยตัวเองฉันคิดว่าการอ่านบทแรก ๆ ของหนังสือพีชคณิตการคำนวณใด ๆ จะให้พื้นฐานที่จำเป็นแก่คุณ หากคุณเพียงแค่ต้องการแก้ไขปัญหาพื้นฐานของคุณอาจมีอัลกอริธึมที่ไม่เหมาะสมที่คุณสามารถนำไปใช้ได้

ฉันอาจจะผิดเกี่ยวกับเรื่องนี้: ฉันยังไม่ค่อยมีความรู้ในสาขานี้ (ผู้เชี่ยวชาญอยู่ที่ไหน!) แต่ฉันเชื่อว่าฉันมีอัลกอริทึมที่รวดเร็วพอสมควรสำหรับสิ่งที่คุณถาม

ฉันจะสมมติให้เรียบง่ายว่ารากทั้งหมดเป็นของจริง ค้นหาช่วงเวลาที่ถูกผูกไว้บนรูทของด้วยค่าสัมบูรณ์สูงสุด (เช่นช่วงเวลา$P$$I$$x_P\in I$$x_P'\notin I$$P$ $R$$P$$Q$$R$$I$

$R$$P$$Q$$I$$x_P$$Q$

นี่เป็นเพียงภาพร่าง แต่ไม่ใช้เวลามากในการเปลี่ยนให้เป็น อัลกอริธึมที่แท้จริงโดยแท้จริงแล้วฉันสงสัยว่าการใช้ Maple หรือ Mathematica จะทำให้เรื่องนี้น่ารำคาญ