Decidablity ภาษา Grammars และ Automata

หมายเหตุนี่เป็นคำถามที่เกี่ยวข้องกับการเรียนในหลักสูตร CS ที่มหาวิทยาลัยไม่ใช่การบ้านและอยู่ที่นี่ภายใต้การสอบ Fall 2011

นี่คือคำถามสองข้อที่ฉันดูจากการสอบที่ผ่านมา พวกเขาดูเหมือนจะเกี่ยวข้องกันคนแรก:

ปล่อย

$\qquad \mathrm{FINITE}_{\mathrm{CFG}} = \{ < \! G \! > \mid G \text{ is a Context Free Grammar with } |\mathcal{L}(G)|<\infty \}$

พิสูจน์ว่าเป็นภาษาที่ใช้งานได้ $\mathrm{FINITE}_{\mathrm{CFG}}$

และ...

ปล่อย

$\qquad \mathrm{FINITE}_{\mathrm{TM}} = \{ < \! M\!> \mid M \text{ is a Turing Machine with } |\mathcal{L}(M)|<\infty \}$

พิสูจน์ว่าเป็นภาษาที่ไม่สามารถตัดสินใจได้ $\mathrm{FINITE}_{\mathrm{TM}}$

ฉันหลงทางเล็กน้อยเกี่ยวกับวิธีแก้ไขปัญหาเหล่านี้ แต่ฉันมีข้อมูลเชิงลึกบางอย่างซึ่งฉันคิดว่าอาจเป็นไปในทิศทางที่ถูกต้อง สิ่งแรกที่ฉันรู้คือภาษาที่ไหน$A_{\mathrm{REX}}$

$\qquad A_{\mathrm{REX}} = \{ <\! R, w \!> \mid R \text{ is a regular expression with } w \in\mathcal{L}(R)\}$

เป็นภาษาที่ decidable (หลักฐานอยู่ในทฤษฎีการคำนวณของ Michael Sipser's , pg. 168) แหล่งเดียวกันยังพิสูจน์ว่าไวยากรณ์ฟรีบริบทสามารถแปลงเป็นนิพจน์ปกติและในทางกลับกัน ดังนั้นจะต้องตัดสินใจได้เช่นกันเนื่องจากสามารถแปลงเป็นนิพจน์ทั่วไปได้ สิ่งนี้และความจริงที่ว่านั้นไม่สามารถระบุได้ดูเหมือนจะเกี่ยวข้องกับปัญหานี้$A_{\mathrm{CFG}}$$A_{\mathrm{TM}}$

สิ่งเดียวที่ฉันจะคิดว่าจะผ่านไปยังเครื่อง G ทัวริงสำหรับ (หลังจากการแปลง G เพื่อการแสดงออกปกติ) และ{TM}} จากนั้นยอมรับว่าถ้า G ทำและปฏิเสธถ้า G ทำไม่ได้ เนื่องจากไม่สามารถระบุได้สิ่งนี้จะไม่เกิดขึ้น อย่างใดฉันรู้สึกเหมือนฉันทำผิดที่นี่ แต่ฉันไม่แน่ใจว่ามันคืออะไร ใครช่วยกรุณาช่วยฉันที่นี่ได้ไหม$A_{\mathrm{REX}}$$A_{\mathrm{TM}}$$A_{\mathrm{TM}}$

1. แปลง G เพื่อรูปแบบชัมปกติ วิธีนี้การสืบทอดที่ว่างเปล่าเพียงอย่างเดียวจะเป็นสัญลักษณ์เริ่มต้นที่ไม่ปรากฏที่อื่นและดังนั้นหากมีการผลิตบางอย่างที่สามารถสร้างตัวเองได้ในที่สุดไวยากรณ์ก็ไม่มีที่สิ้นสุด หากไม่มีการผลิตเช่นนั้นแต่ละสัญลักษณ์จะสามารถสร้างชุดของสตริงที่ จำกัด ได้เท่านั้นและจากนั้นไวยากรณ์จะมี จำกัด ดังนั้นสร้างกราฟโดยตรงที่แต่ละการผลิตเป็นโหนดและแต่ละสัญลักษณ์ภายในการผลิตคือการกำหนดเป้าหมายขอบที่สัญลักษณ์ หากกราฟมีวัฏจักรบางส่วน CFG จะไม่มีที่สิ้นสุดมิฉะนั้นจะไม่เป็นเช่นนั้น ดังนั้นเครื่องทัวริงสำหรับสามารถสร้างสิ่งที่ถูกต้องแล้วF $FINITE_{CFG}$คือ decidable$FINITE_{CFG}$

2. สมมติว่าคือ decidable ช่วยบอกว่าHเป็นเครื่องทัวริงที่มีสตริงบางส่วนเช่นการป้อนข้อมูลและการใช้ตัวเองเป็น input ไปยังF ฉันไม่มีฉันทีอีทีเอ็ม ถ้าF I N I T E T Mคืนค่าเป็นจริง (เช่นHยอมรับเฉพาะภาษา จำกัด ) ดังนั้น$FINITE_{TM}$$H$$FINITE_{TM}$$FINITE_{TM}$$H$$H$ยอมรับอินพุตซึ่งนำไปสู่ความขัดแย้งเนื่องจากชุดอินพุตนั้นไม่มีที่สิ้นสุด (ความยาวของอินพุตนั้นไม่ จำกัด ดังนั้นยอมรับสตริงใด ๆ ที่เป็นไปได้เนื่องจากอินพุตหมายถึงการยอมรับชุดสตริงที่ไม่สิ้นสุด) ถ้าคืนค่า false (เช่นภาษาของHคืออนันต์) ดังนั้นH จะปฏิเสธอินพุตซึ่งหมายความว่าภาษาของHนั้นมีขอบเขตเนื่องจากไม่ยอมรับอินพุตใด ๆ (เช่นภาษาว่างเปล่า) ซึ่งนำไปสู่ความขัดแย้งด้วย ด้วยวิธีนี้การคาดคะเนที่Hมีอยู่นำไปสู่ความขัดแย้งและการคาดคะเนนี้ขึ้นอยู่กับการคาดคะเนว่าF I N I $FINITE_{TM}$$H$$H$$H$$H$สามารถตัดสินใจได้ ดังนั้นโดยความขัดแย้งเรามี F ฉันN ฉันT E T Mไม่สามารถตัดสินใจได้$FINITE_{TM}$$FINITE_{TM}$

แหล่งเดียวกันยังพิสูจน์ว่าไวยากรณ์ฟรีบริบทสามารถแปลงเป็นนิพจน์ปกติและในทางกลับกัน

ฉันสงสัยว่า Sipser จะระบุว่าคุณอาจเข้าใจผิดหรือเข้าใจผิด นี่หมายความว่าแกรมม่าที่ไม่ต้องใช้บริบทจะสร้างแลงเกจเดียวกับแกรมม่าเชิงเส้นตรง สิ่งนี้เป็นเท็จ ไวยากรณ์ที่สร้างขึ้นเป็นเส้นตรงเป็นเซตย่อยที่เหมาะสมของไวยากรณ์ไวยากรณ์ที่ไม่มีบริบท dp นั่นคือวิธีที่คุณพยายามใช้ภาษาปกติเพื่อตอบคำถามที่นำคุณไปสู่ที่อื่น

อย่างที่คุณเห็นด้านบนในบทพิสูจน์ของฉันคำถามสองข้อนั้นเป็นคำถามที่แตกต่างและไม่เกี่ยวข้องกันสองคำถาม มันเพิ่งเกิดขึ้นที่พวกเขาถูกพูดในทำนองเดียวกัน

$FINITE_{CFG}$ is via the pumping lemma.

The pumping lemma says that each CFL $L$ has a number $N$ (which can be computed from the grammar, or at least an upper bound of it can easily be computed), such that any $x\in L$ which is longer than $N$ can be "pumped".

This means that if $L$ is finite, all the words in $L$ are shorter than $N$.

Now, all that one needs to check is words with lengths between $N$ and $2N$. If any such word exists, then $L$ is infinite. It is not too difficult to see that this statement is "if and only if", thus if you find no word withing this range, $L$ is finite. The efficiency here is much worse than the answer of Victor, but it teaches something about the structure of CFLs.