ปัญหาคาดเดา แต่ไม่พิสูจน์ว่าง่าย

เรามีปัญหามากมายเช่นการแยกตัวประกอบที่คาดเดาอย่างมาก แต่ไม่ได้รับการพิสูจน์ว่าอยู่นอก P มีคำถามใด ๆ ที่มีคุณสมบัติตรงกันข้ามคือกล่าวว่าพวกเขาคาดเดาอย่างมาก แต่ไม่ได้พิสูจน์ว่าอยู่ภายใน P หรือไม่

สองทศวรรษที่ผ่านมาหนึ่งในคำตอบที่เป็นไปได้น่าจะเป็นการทดสอบแบบดั้งเดิม : มีอัลกอริธึมที่วิ่งในเวลาพหุนามแบบสุ่มและอัลกอริธึมที่วิ่งในเวลาพหุนามแบบกำหนดขึ้นได้ภายใต้การคาดคะเนจำนวนเชิงทฤษฎี ในปี 2002 ที่เปลี่ยนไปด้วยผลลัพธ์ที่ก้าวล้ำโดย Agrawal, Kayal และ Saxena ที่การทดสอบแบบดั้งเดิมนั้นอยู่ใน P. ดังนั้นเราไม่สามารถใช้ตัวอย่างนั้นได้อีกต่อไป

ฉันจะทำการทดสอบอัตลักษณ์พหุนามเป็นตัวอย่างของปัญหาที่มีโอกาสดีที่จะอยู่ใน P แต่ไม่มีใครสามารถพิสูจน์ได้ เรารู้ถึงอัลกอริธึมแบบสุ่มพหุนามเวลาสำหรับการทดสอบเอกลักษณ์พหุนาม แต่ไม่มีอัลกอริทึมแบบกำหนดค่าได้ อย่างไรก็ตามมีเหตุผลที่เชื่อได้ว่าอัลกอริทึมแบบสุ่มสามารถทำให้เป็นแบบสุ่มได้

ยกตัวอย่างเช่นในการเข้ารหัสนั้นเชื่อว่ามีเครื่องกำเนิดไฟฟ้าเทียมปลอมที่มีความปลอดภัยสูง (เช่น AES-CTR เป็นหนึ่งในผู้สมัครที่สมเหตุสมผล) และถ้าเป็นจริงการทดสอบอัตลักษณ์พหุนามควรเป็น P (ตัวอย่างเช่นใช้เมล็ดที่คงที่ใช้เครื่องกำเนิดไฟฟ้าเทียมหลอกและใช้ผลลัพธ์แทนการสุ่มบิตมันจะใช้แผนการที่ผิดพลาดอย่างมาก ) สิ่งนี้สามารถทำอย่างเป็นทางการโดยใช้แบบจำลอง oracle แบบสุ่ม; ถ้าเรามีฟังก์ชันแฮชที่สามารถสร้างแบบจำลองได้อย่างเหมาะสมโดยโมเดล oracle แบบสุ่มมันก็จะตามมาว่ามีอัลกอริธึมพหุนามแบบกำหนดเวลาสำหรับการทดสอบเอกลักษณ์พหุนาม

สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติมของการโต้แย้งนี้เห็นคำตอบของฉันในเรื่องที่เกี่ยวข้องและความคิดเห็นของฉันเกี่ยวกับคำถามที่เกี่ยวข้อง

มันเป็นคำถามที่ยากลำบากเพราะไม่มีความเห็นพ้องต้องกัน ยังมีคนที่คาดเดาว่าp$P=NP$

แต่ในใจของฉันปัญหาที่น่าสังเกตมากที่สุดที่มีการคาดเดาอย่างมีนัยสำคัญว่าในคือกราฟ Isomorphism$P$

แต่ไม่มีใครรู้จริง ๆ อีกครั้ง

โดยทั่วไป "การคาดคะเนที่เป็น " จะหายาก เราคาดเดาได้ว่าปัญหาอยู่ในหากเราไม่มีอัลกอริธึมเวลาพหุนามสำหรับปัญหานี้อยู่แล้ว แต่การไม่สามารถหาอัลกอริธึมได้หลังจากผ่านมาหลายปีอาจเป็นไปได้ว่าเป็น "หลักฐาน" ว่าปัญหายากไม่ใช่เรื่องง่ายP $P$$P$$P$

แม้ว่าฉันจะไม่ได้เป็นผู้เชี่ยวชาญในสาขานี้ แต่ฉันคิดว่าปัญหา unknottingนั้นน่าจะเกิดขึ้นใน P. เป็นที่รู้กันว่าอยู่ในและมีอัลกอริธึมพิเศษสำหรับมัน . โดยเฉพาะอย่างยิ่งมีขั้นตอนวิธีที่ทำงานที่คือจำนวนของนํ้าให้ดูที่นี่ โปรดทราบว่าคำตอบอื่นยังแสดงความเชื่อในปัญหา unknotting นอนอยู่ในเอสเอฟพีe O ( $\sf NP\cap coNP$$e^{O(\sqrt{n})}$$n$$\sf P$