เคล็ดลับที่ใช้ในการพิสูจน์ความซับซ้อนทวีคูณของเลขคณิตของ Presburger

ฉันโพสต์สิ่งนี้ใน MathUnderflow แต่ไม่มีคำตอบดังนั้นฉันคิดว่าฉันลองที่นี่

ฉันกำลังอ่านกระดาษเก่าของ Rabin และ Fischer [จะโพสต์ลิงก์เมื่อเป็นไปได้] ซึ่งเหนือสิ่งอื่นใดความซับซ้อนเชิงเลขชี้กำลังของ Presburger ได้รับการพิสูจน์แล้ว

หลักฐานขึ้นอยู่กับการมีอยู่ของสูตรทางการยืนยัน " " ด้วย(n) แม้ว่าการสร้างสูตรนี้จะไม่ได้รับในกระดาษซึ่งเป็นเรื่องน่าประหลาดใจสำหรับฉันเมื่อพิจารณาว่ามันเป็นเรื่องที่ไม่น่าสนใจอย่างมากเนื่องจากมีข้อ จำกัด และความจริงที่ว่าเรามี แต่เพียงการกำจัดของเราเท่านั้น! ¹$I_{n}(x)$$x < 2^{2^{kx+1}}$$|I_{n}| \in O(n)$

ต่อมาฉันเรียนรู้ว่าการสร้างสูตรนี้ขึ้นอยู่กับ "เคล็ดลับ" ที่ค้นพบก่อนหน้านี้โดย Fischer และเป็นอิสระจาก Volker Strassen แต่ฉันยังไม่สามารถติดตามกระดาษที่อธิบายรายละเอียดเคล็ดลับนี้ได้!

ดังนั้นหากใครรู้เกี่ยวกับกระดาษที่ฉันกำลังพูดถึงและสามารถชี้ฉันในทิศทางของมันหรือแม้กระทั่งอธิบายเคล็ดลับให้ฉัน ...

โพสต์นี้จากบล็อกของลิปตันมีลิงก์ไปยังบทความและกล่าวถึง [และให้ข้อมูลคร่าวๆ แต่น่าเสียดายที่ไม่เพียงพอสำหรับฉันร่างของ] เคล็ดลับ BTW กล่าว

¹ฉันรู้ว่านี่เป็นคำอธิบายที่คลุมเครือ แม้ว่าคำอธิบายโดยละเอียดที่เพียงพอจะยาวเกินไปสำหรับโพสต์ SX ดังนั้นฉันแค่หวังว่าคนที่รู้เกี่ยวกับกระดาษที่เป็นปัญหาอยู่แล้วและสามารถทำกับร่างสั้น ๆ นี้ได้และสามารถช่วยฉันได้ .

ความคิดเห็นของ Martin (และการติดตามของ Yuval) ให้การอ้างอิงซึ่งอธิบายการก่อสร้างในรายละเอียดบางอย่าง

ฉันจะทำอย่างละเอียดเล็กน้อยเพราะฉันคิดว่ามันเป็นข้อพิสูจน์ที่งดงาม: โดยทั่วไปแล้วมันเป็นการพิสูจน์ความไม่แน่นอนของ PA (เลขคณิตพร้อมการบวกและการคูณ) แต่โดยสัมพันธ์กับ$2^{2^{c\cdot n}}$ ! นั่นคือมีสูตร (สั้น) ที่แสดงการคูณถึงจำนวนนั้นคือสูตรเช่นนั้น $M_n(x,y,z)$

$$M_n(x,y,z) \Leftrightarrow x\times y=z\ \wedge x< 2^{2^n}$$

ตอนนี้คุณสร้างโดยการเหนี่ยวนำที่ด้วยกลอุบายที่สำคัญซึ่งเตือนให้รำลึกถึงอัลกอริทึม Karatsubaสำหรับการคูณเลขฐานสองหรือเทคนิคบางอย่างสำหรับการคูณเมทริกซ์:$M_n$$n$

ในคำจำกัดความของคุณจะได้รูปแบบ $M_{n+1}(x,y,z)$

$$M_{n}(x_1,y_1,z_1)\wedge M_{n}(x_2,y_2,z_2)\wedge M_{n}(x_3,y_3,z_3)$$

แต่คุณสามารถแทนที่สิ่งนี้ด้วย

$$\forall u v w,(u=x_1\wedge v=y_1\wedge w=z_1)\vee(u=x_2\wedge v=y_2\wedge w=z_2)\vee(u=x_3\wedge v=y_3\wedge w=z_3)\Rightarrow M_n(u,v,w)$$

เคล็ดลับนี้อนุญาตให้เพิ่มขนาดเชิงเส้นแทนที่จะเป็นเลขชี้กำลังหนึ่งฟังก์ชัน (เป็นฟังก์ชันของ )$n$

มีกลเม็ดอื่นที่เกี่ยวข้อง แต่นี่เป็นหลักสำคัญ แน่นอนว่าการเรียกซ้ำภายในนั้นมีความสำคัญ แต่ความคล้ายคลึงกับเคล็ดลับ Karatsuba นั้นค่อนข้างโดดเด่นมาก