ลดปัญหาต่อไปนี้เป็น SAT

นี่คือปัญหา ได้รับซึ่งแต่ละ\} มีชุดย่อยมีขนาดสูงสุดซึ่งสำหรับทั้งหมดหรือไม่ ฉันพยายามลดปัญหานี้เป็น SAT ความคิดของฉันของการแก้ปัญหาจะมีตัวแปรสำหรับแต่ละ 1 ถึงnสำหรับแต่ละสร้างประโยคถ้า\} จากนั้นและข้อเหล่านี้ทั้งหมดเข้าด้วยกัน แต่สิ่งนี้เห็นได้ชัดว่าไม่ใช่วิธีการแก้ปัญหาที่สมบูรณ์เนื่องจากไม่ได้แสดงถึงข้อ จำกัด ที่T ฉัน ⊆ { 1 , ... , n } S ⊆ { 1 , ... , n } k S ∩ T ฉัน ≠ ∅ ฉันx ฉัน n T ฉัน ( x ฉัน1 ∨ ⋯ ∨ x i k ) T i = { i 1$k, n, T_1, \ldots, T_m$$T_i \subseteq \{1, \ldots, n\}$$S \subseteq \{1, \ldots, n\}$$k$$S \cap T_i \neq \emptyset$$i$$x_i$$n$$T_i$$(x_{i_1} \vee \cdots \vee x_{i_k})$$T_i = \{i_1, \ldots, i_k\}$$S$ต้องมีองค์ประกอบไม่เกินฉันรู้ว่าฉันต้องสร้างตัวแปรเพิ่มเติม แต่ฉันก็ไม่แน่ใจเหมือนกัน ดังนั้นฉันมีสองคำถาม:$k$

1. ความคิดของฉันคือทางออกในการติดตามใช่ไหม?
2. ควรสร้างตัวแปรใหม่อย่างไรเพื่อให้สามารถใช้เพื่อเป็นตัวแทนของข้อ จำกัดหรือไม่?$k$

ดูเหมือนว่าคุณกำลังพยายามที่จะคำนวณขวาง hypergraphขนาดkนั่นคือเป็นของคุณและคือ transversal ของคุณ การแปลมาตรฐานคือการแสดงข้อที่คุณมีแล้วแปลข้อ จำกัด ความยาวเป็นข้อ จำกัด cardinality{ T 1 , … , T m } $k$$\{T_1,\dots,T_m\}$$S$

ดังนั้นการใช้การเข้ารหัสที่มีอยู่เช่นของคุณแล้วเพิ่มคำสั่งการเข้ารหัสk∑ 1 ≤ ฉัน≤ n x i ≤ $\bigwedge_{1 \le j \le m} \bigvee_{i \in T_j} x_i$$\sum_{1 \le i \le n} x_i \le k$

$\sum_{1 \le i \le n} x_i \le k$เป็นข้อ จำกัด ของ cardinality มีการแปลข้อ จำกัด เชิงหัวใจที่แตกต่างหลากหลายใน SAT

การแปลข้อ จำกัด ด้าน cardinality ที่ง่ายที่สุด แต่ค่อนข้างใหญ่คือx_i ด้วยวิธีนี้การแยกกันแสดงถึงข้อ จำกัด - สำหรับเซตย่อยทั้งหมดของของขนาด k + 1 นั่นคือเรามั่นใจว่าไม่มีทางที่ตัวแปร k สามารถตั้งค่าได้ โปรดทราบว่านี่ไม่ใช่ขนาดพหุนามใน ¬ ⋀ ฉัน∈ X x ฉัน X { 1 , ... , n } k$\bigwedge_{X \subseteq \{1,\dots,n\}, |X| = k+1} \bigvee_{i \in X} \neg x_i$$\neg \bigwedge_{i \in X} x_i$$X$$\{1,\dots,n\}$$k$

บางลิงค์ไปยังเอกสารเกี่ยวกับการแปลข้อ จำกัด เชิงพื้นที่ที่มีประสิทธิภาพมากขึ้นซึ่งมีขนาดพหุนามใน$k$ :

• การแปลข้อ จำกัด Pseudo-Boolean เป็น SAT - Niklas Eénและ Niklas Sörensson, JSAT vol 2 (2006), pg 1-26 (แบบสำรวจที่ดี)
• การเข้ารหัส CNF ที่มีประสิทธิภาพของข้อ จำกัด ด้านหัวใจของบูลีน - Olivier Bailleux และ Yacine Boufkhad, การดำเนินการตามหลักการและการปฏิบัติของการเขียนโปรแกรมข้อ จำกัด 2003, LNCS เล่ม 2833, pg 108-122 (การแปลที่ดีและใช้งานง่าย
• ไปสู่การเข้ารหัส CNF ที่เหมาะสมที่สุดของข้อ จำกัด เรื่องบูลีนแบบคาร์สเทน - คาร์สเทนซินซ์ - การดำเนินการตามหลักการและการฝึกการเขียนโปรแกรมข้อ จำกัด 2005, LNCS 3709, pg 827-831
• สู่การเข้ารหัส CNF ที่แข็งแกร่งของข้อ จำกัด ด้านหัวใจ - Joao Marques-Silva และ Lynce การดำเนินการตามหลักการและการปฏิบัติของการเขียนโปรแกรมข้อ จำกัด 2007, LNCS 4741, pg 483-497

หากคุณสนใจที่จะแก้ไขปัญหาดังกล่าวจริง ๆ อาจเป็นการดีกว่าหากคุณกำหนดปัญหาเป็นปัญหาหลอกแบบบูล (ดูบทความวิกิเกี่ยวกับปัญหาหลอกแบบบูล ) และใช้ตัวแก้ปัญหาหลอกหลอกแบบบูล (ดูการแข่งขันหลอกแบบบูล ) วิธีนี้จะทำให้ข้อ จำกัด ของ cardinality เป็นเพียงข้อ จำกัด หลอกและเป็นส่วนหนึ่งของภาษาหวังว่าตัวแก้ pseudo-boolean จะจัดการกับมันโดยตรงและมีประสิทธิภาพมากขึ้น

หากคุณไม่ได้ตั้งค่า SAT ปกติความคิดของคุณจะลดลงเป็น MIN-ONES (มากกว่าสูตร CNF บวก) ซึ่งโดยทั่วไปคือ SAT แต่ที่คุณสามารถตั้งค่าตัวแปรมากที่สุดเป็นจริง รุ่นที่เราย่อเล็กสุดเกี่ยวกับจำนวนของตัวแปรที่แท้จริง)$k$

ในทำนองเดียวกันถ้าคุณมุ่งหน้าไปในทิศทาง Parameterized Complexity คุณก็จะได้ WSAT ( ) โดยที่เป็นคลาสของค่าบวกทั้งหมด สูตร CNF (เหมือนเดิมสัญกรณ์อาจช่วยคุณในการสืบสวนได้) ในกรณีนี้คุณจะต้องเริ่มต้นดูว่าการปรับพารามิเตอร์แบบใดที่จะมีประโยชน์ในกรณีของคุณ Γ + 2 , $\Gamma_{2,1}^{+}$$\Gamma_{2,1}^{+}$

ฉันคิดว่าคุณกำลังมองหาการลดลงอย่างชัดเจน แต่ถ้าไม่คุณสามารถย้อนกลับไปดูทฤษฎีบทของ Cook-Levinได้เสมอ