วรรณกรรมเกี่ยวกับแนวทางไร้เดียงสาในการวาดกราฟมอร์ฟิซึ่มส์โดยการตรวจสอบพหุนามของเมทริกซ์คำคุณศัพท์

ฉันอธิบายวิธีการทำกราฟมอร์ฟิซึ่มส์ซึ่งอาจมีผลบวกปลอมและฉันอยากรู้ว่ามีวรรณกรรมระบุว่ามันไม่ทำงาน

ให้สอง adjacency เมทริกซ์ , วิธีการไร้เดียงสาที่เป็นที่ยอมรับในการตรวจสอบมอร์ฟิซึ่มส์คือการตรวจสอบว่าแต่ละแถวของมีแถวของซึ่งเป็นแถวเรียงตัวของแถวซึ่งแสดงโดย[V] คำถามที่เข้มงวดกว่านี้เล็กน้อยคือมี "isomorphism ท้องถิ่น"ซึ่งสำหรับแถวทั้งหมด การผลิต isomorphism ท้องถิ่นสามารถทำได้ในเวลาพหุนามโดยการสร้าง matrixด้วย ; ตามด้วยและ$G, H$$u$$G$$v$$G$$u$$G[u] \sim H[v]$$\pi$$G[u] \sim H[\pi(u)]$$n\times n$$A$$A[u,v] = (G[u]\sim H[v])$$G$$H$มีเฉพาะที่ isomorphic iffมีการครอบคลุมรอบและทุกรอบการครอบคลุมเป็น isomorphism ท้องถิ่น$A$

กราฟปกติทั้งหมดหลอกวิธีนี้อย่างเห็นได้ชัดดังนั้นวิธีที่ไร้เดียงสาเล็กน้อยคือการคำนวณพลังของเมทริกซ์และตรวจสอบพวกมันว่าเป็นมอร์ฟิซึ่มท้องถิ่น คุณมีเมทริกซ์หลายตัวด้วยการตั้งค่าเมื่อคุณพบพลังใด ๆเช่นและตรวจสอบฝาครอบรอบที่ปลายเท่านั้น วิธีแม้ไร้เดียงสาน้อยคือการหาชุดของพหุนามจริงชุดของวงจรทางคณิตศาสตร์และการตั้งค่า[U, V] = 0เมื่อเราพบใด ๆพหุนามPกับP (G) [u] \ ไม่ \ ซิมพี ( H) [วี]$G^2, H^2, G^3, H^3,\ldots$$A[u,v] = 0$$G^k[u]\not\sim H^k[v]$$A[u,v]=0$$p$$p(G)[u]\not\sim p(H)[v]$

นี่ดูเหมือนว่าฉันจะเป็นวิธีที่ไร้เดียงสาอย่างไม่น่าเชื่อในการวาดกราฟมอร์ฟิซึ่มส์ดังนั้นฉันมั่นใจว่ามีบางคนได้ตรวจสอบแล้วและได้พิสูจน์ทฤษฎีเช่น

ขอบคุณสำหรับหลาย ๆ$n$มี nonisomorphic $n\times n$เมทริกซ์$G, H$และการเปลี่ยนแปลง$\pi$เช่นนั้นสำหรับทุก ๆpพหุนามp$p$ , $p(G)$และ$p(H)$เป็นเฉพาะ isomorphic โดยการเปลี่ยนแปลง: $p(G)\overset{\pi}{\sim}p(H)$(H)

คำถาม:มีทฤษฎีบทเช่นนี้หรือไม่? ฉันดูในวรรณคดีและหาไม่พบ

ถ้ามีข้อ จำกัด ในระดับนั่นคือพหุนามในเช่นนั้นสำหรับทุก ๆ สอง nonisomorphic เมทริกซ์ isomorphism ท้องถิ่นคือ refuted โดยคำนวณหรือถ้ามีครอบครัวที่คำนวณได้อย่างง่ายดายของพหุนามแต่ละคนมีความยาว polynomially- จำกัด แต่การศึกษาระดับปริญญาอาจชี้แจงแล้วเรามีPอัลกอริทึมสำหรับกราฟมอร์ฟ ถ้าชื่อพหุนาม (หรือวงจรเลขคณิต) นั้นคาดเดาได้ง่ายเรามีอัลกอริธึมcoRP หากมีเสมออยู่ (ครอบครัว) วงจรเลขคณิตพยานมอร์ฟในท้องถิ่นที่ไม่ใช่แล้วนี้ให้coNPอัลกอริทึม$k$$n$$G^1, H^1, \ldots, G^{poly(n)}, H^{poly(n)}$$p_1, \ldots ,p_k$

โปรดทราบว่าเราสามารถหลีกเลี่ยงปัญหาที่รายการของเมทริกซ์พลังงานสูงมีขนาดใหญ่เกินไปโดยการคำนวณพหุนามมากกว่าฟิลด์ขนาดเล็กเช่นโดยการคำนวณมันแบบโมดูโลขนาดเล็ก ในอัลกอริทึมcoNPตัวแปลสามารถจัดเตรียมจำนวนเฉพาะเหล่านี้ได้

ใช่มีทฤษฎีบทดังกล่าวไม่มากก็น้อย โดยทั่วไปแล้วมันบอกว่าขั้นตอน k-dimension Weisfeiler-Lehman ขั้นตอนย่อย (เช่น dominates) วิธี combinatorial ที่รู้จักกันทั้งหมดในการทดสอบกราฟมอร์ฟิสม์ (ข้อเสนอที่เป็นรูปธรรมของคุณควรนำมาใช้โดยกระบวนการ Weisfeiler-Lehman แบบ 2 มิติถ้าฉันไม่ผิด) สำหรับ k แต่ละตัวที่คงที่ - การก่อสร้าง Immerman

ครั้งแรกที่ฉันได้เรียนรู้พื้นฐานของขั้นตอน Weisfeiler-Lehman และการก่อสร้าง Cai-Fürer-Immmerman จาก

http://users.cecs.anu.edu.au/~pascal/docs/thesis_pascal_schweitzer.pdf

มีอะไรอีกมากมายให้เรียนรู้เกี่ยวกับกระบวนการ Weisfeiler-Lehman กว่าที่อธิบายไว้ที่นั่น แต่อย่างน้อยการรักษาโครงสร้างการก่อสร้าง Cai-Fürer-Immmerman นั้นเสร็จสมบูรณ์และเพียงพอสำหรับวัตถุประสงค์ของคุณ " กระบวนการ Weisfeiler-Lehman " โดย Vikraman Arvind เป็นบทความสั้น ๆ เมื่อไม่นานมานี้ซึ่งเป็นคำเชิญให้เข้าร่วมหัวข้อ

บางทีจุดสำคัญที่จะนำออกไปจากคำตอบของฉันคือถ้าคุณจะพบว่าวิธีการทดสอบมอร์ฟิซึ่มมอร์ฟิซึมแบบ combinatorial ล้วนๆ (เหมือนกับที่อธิบายไว้ในคำถามของคุณ) ซึ่งไม่ได้ถูกจัดหมวดหมู่ แล้วนี่จะเป็นการพัฒนาด้วยตัวเองโดยไม่ขึ้นกับว่าวิธีการนั้นจะมีประโยชน์จริงหรือไม่