การคาดเดา Goldbach และหมายเลขบีเวอร์ไม่ว่าง?

พื้นหลัง: ฉันเป็นคนธรรมดาที่สมบูรณ์ในด้านวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์

ฉันกำลังอ่านเกี่ยวกับหมายเลข Busy Beaver ที่นี่และฉันพบข้อความต่อไปนี้:

มนุษยชาติอาจไม่เคยรู้คุณค่าของ BB (6) สำหรับบางคนโดยเฉพาะอย่างยิ่งของ BB (7) หรือจำนวนที่สูงกว่าใด ๆ ในลำดับ

อันที่จริงแล้วผู้เข้าแข่งขันห้าและหกอันดับต้นนั้นหลบเลี่ยงเรา: เราไม่สามารถอธิบายได้ว่าพวกเขา 'ทำงาน' อย่างไรในแง่ของมนุษย์ หากความคิดสร้างสรรค์เป็นแบบของการออกแบบมันไม่ได้เป็นเพราะมนุษย์ใส่ไว้ในนั้น วิธีหนึ่งในการทำความเข้าใจนี้คือแม้แต่เครื่องทัวริงขนาดเล็กก็สามารถเข้ารหัสปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ลึกซึ้งได้ ใช้การคาดคะเนของ Goldbach ว่าทุก ๆ หมายเลขคู่ 4 หรือสูงกว่านั้นจะเป็นผลรวมของจำนวนเฉพาะสองตัว: 10 = 7 + 3, 18 = 13 + 5 การคาดเดานั้นต่อต้านหลักฐานมาตั้งแต่ปี 1742 แต่เราสามารถออกแบบเครื่องทัวริงด้วยสมมุติว่า 100 กฎที่ทดสอบแต่ละเลขคู่เพื่อดูว่าเป็นผลรวมของสองช่วงเวลาและหยุดเมื่อใดและถ้าพบตัวอย่างที่ การคาดคะเน จากนั้นรู้ว่า BB (100) โดยหลักการเราสามารถเรียกใช้เครื่องนี้เป็นขั้นตอน BB (100) ตัดสินใจว่าจะหยุดหรือไม่และแก้ไขการคาดเดาของ Goldbach

Aaronson, Scott "ใครสามารถตั้งชื่อหมายเลขที่ใหญ่กว่านี้" ใครสามารถตั้งชื่อหมายเลขที่ใหญ่กว่าได้ Np, nd Web 25 พ.ย. 2559

ดูเหมือนว่าฉันชอบผู้เขียนแนะนำว่าเราสามารถพิสูจน์หรือหักล้างการคาดเดา Goldbach คำสั่งเกี่ยวกับตัวเลขจำนวนอนันต์ในการคำนวณจำนวน จำกัด ฉันคิดถึงคนอื่นบ้างไหม?

คำแถลงเกี่ยวกับตัวเลขจำนวนมากอย่างไม่สิ้นสุด แต่การสาธิต (หรือการพิสูจน์) จะต้องมีการออกกำลังกายที่ จำกัด ถ้าเป็นไปได้.

ความประหลาดใจอาจมาจากข้อสันนิษฐานที่ผิด ๆ ว่าการหา BB (100) จะเป็นปัญหาที่ "ง่ายกว่าในทางทฤษฎี" ทำให้เป็นไปไม่ได้ด้วยเหตุผลเชิงปฏิบัติ - เนื่องจากมีเครื่องจักรจำนวนมากและพวกเขาสามารถทำงานได้นานก่อนหยุด ถ้าทั้งหมด - หลังจากทั้งหมดพวกเขาเป็นเพียงเครื่องจักร ...

ความจริงก็คือการค้นพบ BB (n) n สำหรับขนาดใหญ่พอที่จะต้องมีงาน unsurmountable สำหรับทั้งเหตุผลทางทฤษฎีและปฏิบัติ

แนวคิดจากผู้แต่งคือคุณสามารถเขียนโปรแกรมใน 100 บรรทัด (จำนวน จำกัด แน่นอนที่นี่) ซึ่งทำสิ่งต่อไปนี้: ใช้หมายเลข x ทดสอบการคาดเดา หากไม่เป็นจริงให้หยุดดำเนินการกับหมายเลขถัดไป

การทราบหมายเลขช่องคลอดไม่ว่างคุณสามารถจำลองเครื่องนี้สำหรับจำนวนขั้นตอนนั้นแล้วตัดสินใจว่าจะหยุดหรือไม่ จากด้านบนหากหยุด - การคาดเดาไม่เป็นความจริงถ้าไม่หยุด - การคาดเดานั้นเป็นความจริง

เมื่อเร็ว ๆ นี้ Aaronson ได้ขยายรายละเอียดเกี่ยวกับเพลง / ความคิดที่นี่ทำงานร่วมกับ Yedidia [1] พวกเขาพบเครื่องจักรของรัฐ 4888 ที่ชัดเจนสำหรับการคาดคะเนของ Goldbachs คุณสามารถอ่านกระดาษเพื่อดูว่ามันถูกสร้างขึ้นอย่างไร TMs นั้นไม่ค่อยถูกสร้างขึ้น แต่ภาษาเหล่านั้นมีแนวโน้มที่จะเป็นภาษาคอมไพเลอร์โดยใช้ภาษาระดับสูงและคอมไพเลอร์จะเพิ่มหลายสถานะ "มือที่สร้างขึ้น" TM สามารถใช้คำสั่งที่มีขนาดน้อยลงอย่างง่ายดายเช่นใน 100s หรือน้อยกว่า 100 ในคำอื่น ๆ ไม่มีความพยายามในบทความนี้จริงๆที่จะพยายามลดจำนวนของรัฐ . แนวคิดทั่วไปคือเสียงและนักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์มักไม่กังวลเกี่ยวกับค่าคงที่ที่แน่นอนที่ใช้กับงาน

ทฤษฎีทั่วไปนี้ถูกระบุโดย Caludes (อ้างถึงโดย [1]) ในสองบทความที่ยอดเยี่ยมที่วางบางส่วนของทฤษฎีบทชาวบ้านยาวในพื้นที่นี้และที่ได้รับการบันทึกโดยผู้เขียนคนอื่น ๆ (เช่น Michel). 3] โดยทั่วไปปัญหาทางคณิตศาสตร์แบบเปิดใด ๆ สามารถแปลงเป็นปัญหาที่ไม่สามารถตัดสินใจได้ นี่เป็นเพราะปัญหาทางคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่เกี่ยวข้องกับการค้นหาจำนวนตัวอย่างที่ไม่ จำกัด สำหรับตัวอย่างและตัวอย่างที่ตรวจสอบได้นั้นมีอัลกอริทึม (แต่อาจไม่มีประสิทธิภาพหรือต้องการ TM ขนาดใหญ่ ฯลฯ )

TM "ที่เล็กมาก" (นับเป็น # ของอเมริกา) สามารถตรวจสอบ / เทียบเท่าปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนมากได้ เช่นการประมาณคร่าวๆสำหรับ TM เพื่อแก้ไขการคาดคะเนโคลลาตซ์จะเป็นไม่กี่รัฐ

ดังนั้นจึงมีการเชื่อมต่อ / การเปรียบเทียบที่น่าสนใจระหว่างความไม่แน่นอนและความสมบูรณ์ของ NP NP เป็นคลาสของปัญหาที่ตรวจสอบได้อย่างมีประสิทธิภาพนั่นคือสามารถตรวจสอบอินสแตนซ์ในเวลา P ได้ ปัญหา undecidable คือคลาสของปัญหาทั้งหมดที่อนุญาตให้ตรวจสอบอัลกอริทึมสำหรับตัวอย่างที่ไม่ จำกัด ประสิทธิภาพ

นี่เป็นวิธีพื้นฐานในการทำความเข้าใจการเชื่อมต่อกับปัญหาช่องคลอดไม่ว่าง ปัญหา undecidable ทั้งหมดจะเทียบเท่าเนื่องจากทัวริงคำนวณ / เทียบเท่า เช่นเดียวกับปัญหา NP ที่สมบูรณ์ทั้งหมดสามารถถูกแปลงให้เป็นกันและกันในเวลา P (การลดลง) ปัญหาที่ไม่สามารถตัดสินใจได้ทั้งหมดจะเทียบเท่ากันเนื่องจากการทัวริงที่สมบูรณ์และการลดการคำนวณที่สามารถคำนวณได้ ดังนั้นปัญหาช่องคลอดไม่ว่างอยู่ในความหมายนี้เทียบเท่ากับปัญหาการหยุดชะงักและหากใครสามารถแก้ปัญหาช่องคลอดที่ไม่ว่างก็สามารถแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่เปิดอยู่ทั้งหมดได้

[1] TM ที่ค่อนข้างเล็กซึ่งพฤติกรรมไม่ขึ้นอยู่กับทฤษฎีเซต / Yedidia, Aaronson

[2] การประเมินความซับซ้อนของปัญหาทางคณิตศาสตร์: ส่วนที่ 1 / Calude

[3] การประเมินความซับซ้อนของปัญหาทางคณิตศาสตร์: ตอนที่ 2 / Calude

1. การคาดคะเนของ Goldbach สามารถปลอมแปลงได้ (หากเป็นเท็จจริง) โดยโปรแกรม TM เช่นนั้น มันไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าถูกต้องในวิธีนี้ (นักคณิตศาสตร์ผู้ชาญฉลาดอาจทำสิ่งนี้ได้)

2. การรู้จัก BB (27) จะทำให้หยุดการค้นหา Goldbach ในบางจุด อย่างไรก็ตามก่อนหน้านี้ BB (27) (หรือโอเมก้าของ Chaitin (27)) จะต้องทราบก่อนว่า Goldbach TM จะหยุดหรือไม่ในที่สุด

ดังนั้นจึงทำให้เข้าใจผิดว่า "BB (27) รวมถึงคำตอบของ Goldbach" ถึงแม้ว่ามันจะมากกว่าประเด็นคือ: "Goldbach (และอื่น ๆ อีกมากมาย) เป็นสิ่งที่จำเป็นต้องมีสำหรับหมายเลข BB (27)" ในคำอื่น ๆ ไม่มีสิ่งเช่น "ฟังก์ชั่น BB" ที่คุณท้าทายที่ 27 เรา เพียงเรียกใช้เครื่อง 27 สถานะทั้งหมด Goldbach และหลังจากความจริงเห็น BB (27) และจาก POV ที่ใช้งานได้แม้แต่ BB (6) ก็ดูเข้าใจยาก

ฉันคิดว่ามันลึกลับน้อยกว่าถ้าเราทบทวนประเด็น Aaronson ในแง่ของการพิสูจน์:

เราสามารถตั้งชื่อค่าคงที่ดังนั้นหากมีการป้องกันไม่ให้ Goldbach ของมันจะเป็นตัวอักษรยาวที่สุด ดังนั้นหากเรารู้จักเราสามารถพิสูจน์หรือพิสูจน์การผิดพลาดได้โดยการระบุความยาวของสายทั้งหมดที่มากที่สุดและตรวจสอบว่ามีข้อพิสูจน์ใด ๆ หรือไม่C C $C$$C$$C$$C$

มันค่อนข้างวิเศษที่ใคร ๆ ก็สามารถตั้งชื่อโดยไม่รู้ว่า Goldbach นั้นเป็นเรื่องจริงหรือไม่ (แม้ว่าในทางปฏิบัตินั้นใหญ่เกินไป) ฉันรู้สึกว่าวิธีที่ง่ายที่สุดที่จะเห็นสิ่งนี้คือผ่านทัวริง Machines TM ที่แจกแจงและตรวจสอบตัวอย่างที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ Goldbach มีคำอธิบายที่มีความยาวดังนั้นถ้ามันหยุดทำงานมันจะทำในขั้นตอนน้อยกว่าบันทึกของการคำนวณนี้จะเป็นสิ่งที่ไม่ถูกต้องและจะใช้อักขระเท่านั้นC n B B ( n ) C = O ( B B ( n ) $C$$C$$n$$BB(n)$$C = O(BB(n))$