กราฟ unipathic สามารถมีได้กี่ขอบ

19

กราฟ unipathic เป็นกราฟกำกับที่มีเส้นทางที่ง่ายที่สุดอย่างใดอย่างหนึ่งจากจุดสุดยอดหนึ่งไปยังจุดสุดยอดอื่น ๆ

กราฟ Unipathic สามารถมีรอบ ตัวอย่างเช่นรายการที่เชื่อมโยงเป็นทวีคูณ (ไม่ใช่แบบวงกลม!) เป็นกราฟแบบ unipathic; ถ้ารายการมีองค์ประกอบกราฟมีรอบของความยาว 2 รวมเป็น ) $n$ $n-1$ $2(n-1)$

จำนวนขอบสูงสุดในกราฟ unipathic ที่มีจุดยอดคืออะไร ขอบเขตแบบเชิงเส้นกำกับจะทำ (เช่นหรือ ) $n$ $O(n)$ $\Theta(n^2)$

_{แรงบันดาลใจจากการค้นหาเส้นทางที่สั้นที่สุดในกราฟ unipathic ชั่งน้ำหนัก ; ในการพิสูจน์ของฉันในตอนแรกฉันต้องการที่จะอ้างว่าจำนวนขอบคือแต่เมื่อรู้แล้วว่าการ จำกัด จำนวนรอบก็เพียงพอแล้ว $O(n)$}

graphs combinatorics

— Gilles 'หยุดความชั่วร้าย'
แหล่งที่มา

เป็นคำถามที่ดี เราควรพยายามปรับปรุงขอบเขตล่างของคุณหรือขอบเขตบนของฉัน :)

— RB

12

กราฟ unipathic สามารถมีขอบมีชนิดที่รู้จักกันดีของกราฟที่ unipathic และมีความเป็นขอบ $\Theta(n^2)$ $n^2/4$

พิจารณาฝ่ายกราฟสมบูรณ์ที่มีขอบที่มุ่งเน้นญกราฟนี้ unipathic และมีวงจรไม่มี: ทุกเส้นทางของมันมีความยาว1มันมีจุดยอดและขอบ $\forall (i,j) \in [1,m]^2, a_i \rightarrow b_j$ $1$ $2m$ $m^2$

_{(คำถามที่ตามมา: อัตราส่วนนี้มากที่สุดหรือไม่อาจเป็นไปได้ แต่ฉันไม่มีตัวอย่างอีกตัวอย่างนี้เป็นค่าสูงสุดในแง่ที่ว่าขอบใด ๆ ที่คุณเพิ่มระหว่างโหนดที่มีอยู่จะทำให้คุณสมบัติ unipathic แตกหัก)}

— Gilles 'หยุดความชั่วร้าย'
แหล่งที่มา

"หนึ่งขอบใด ๆ ที่คุณเพิ่มระหว่างโหนดที่มีอยู่จะทำให้คุณสมบัติ unipathic แตก" วิธีเพิ่มขอบ

จะทำลายคุณสมบัติอย่างไร

b_{1} \to a_{1}

$b_1 \rightarrow a_1$

— mitchus

@mitchus

a_{2} \to b_{1} \to a_{1} \to b_{2}

$a_2 \rightarrow b_1 \rightarrow a_1 \rightarrow b_2$

— Gilles 'SO- หยุดความชั่วร้าย'

1

ฉันคิดว่าใจของฉันเป็น unipathic ในวันนั้น :) สำหรับ maximality อัตราส่วนอาจไปที่ 1/4 สำหรับ

ขนาดใหญ่แต่สำหรับ

รายการที่เชื่อมโยงทวีคูณมีขอบมากกว่า

4

n

$n$

n \in {2, 3, 4, 5, 6}

$n \in \{2,3,4,5,6\}$

n^{2} / 4

$n^2/4$

— mitchus

0

ฉันไม่รู้ว่ามีกราฟ unipathic มากกว่า edge แต่นี่คืออาร์กิวเมนต์ที่แสดงว่าไม่เกิน $\frac{n^2}{4}$ edge เป็นไปได้: $\frac{n^2}{2}+3$

สมมติโดยแย้งว่าคือกราฟ unipathic ดังกล่าวว่า $G=(V,E)$ 3 $|E|\geq \frac{n^2}{2}+3$

ตามหลักการของช่องสำหรับนกพิราบมีที่ $v\in V$

d_{in} (v) \geq \frac{n}{2} + 1

$d_{\text{in}}(v)\geq \frac{n}{2}+1$

Denote $U=\{u\in V\mid (u,v)\in E\}$

$x\in V\setminus \{v\}$

\exists u_{1} \neq u_{2} \in U : (x, u_{1}), (x, u_{2}) \in E

$\exists u_1\neq u_2\in U:(x,u_1),(x,u_2)\in E$

$(x\to u_1\to v)$ $(x\to u_2\to v)$

$\{v\}\times U$

| E \cap (V \times U) | \leq 2 | U |

$|E\cap (V\times U)|\leq2|U|$

$U$

| E | = | E \cap (V \times U) | + | E \cap (V \times (V ∖ U)) |

$|E|=|E\cap (V\times U)|+|E\cap (V\times (V\setminus U))|$

\leq 2 | U | + n | V ∖ U | \leq 2 (\frac{n}{2} + 1) + n (\frac{n}{2} - 1) < \frac{n^{2}}{2} + 3

$\leq 2|U|+n|V\setminus U|\leq 2(\frac{n}{2}+1)+n(\frac{n}{2}-1)<\frac{n^2}{2}+3$

$\square$

— RB
แหล่งที่มา