การค้นหาลำดับของคำถามที่เหมาะสมที่สุดเพื่อลดเวลารวมของนักเรียน

สมมติว่ามีเซสชันการสอนที่มหาวิทยาลัย เรามีชุดของ $k$ คำถาม $Q = \{ q_1 \ldots q_k \}$ และการตั้งค่าของ $n$ นักเรียน $S = \{ s_1 \ldots s_n \}$ }นักเรียนแต่ละคนมีข้อสงสัยในส่วนย่อยหนึ่งของคำถามคือสำหรับนักเรียนแต่ละคน $s_j$ ให้ $Q_j \subseteq Q$ เป็นชุดของคำถามที่นักเรียนมีข้อสงสัยที่ สมมติว่า $\forall 1 \leq j \leq n: Q_j \neq \phi$ และ $\bigcup_{1\leq j\leq n}Q_j = Q$ Q

นักเรียนทุกคนเข้าสู่เซสชั่นการสอนในจุดเริ่มต้น (ที่ $t = 0$ ) ตอนนี้นักเรียนออกจากเซสชันการสอนทันทีที่คำถามทั้งหมดที่เขาสงสัยมีการพูดคุยกัน สมมติว่าเวลาที่จะหารือเกี่ยวกับคำถามแต่ละข้อมีค่าเท่ากับบอกว่า 1 หน่วย*ให้เป็นเวลาที่ใช้โดยในเซสชั่นกวดวิชา เราต้องการที่จะหาออกที่ดีที่สุดการเปลี่ยนแปลงในการที่จะกล่าวถึงคำถาม ดังกล่าวปริมาณ $^*$ $t_j$ $s_j$ $\sigma$ $(q_{\sigma(1)} \ldots q_{\sigma(n)})$ ถูกย่อให้เล็กสุด $T_\sigma = \Sigma_{1\leq j \leq n}t_j$

ฉันไม่สามารถออกแบบอัลกอริธึมเวลาแบบพหุนามได้หรือพิสูจน์ว่า -hardness $\mathsf{NP}$

เราสามารถกำหนดรุ่นการตัดสินใจของปัญหา

T U T = {⟨ k, n, F_{Q}, C ⟩ ∣ \exists σ : T_{σ} \leq C}

$\mathsf{TUT} = \{\langle k, n, \mathcal{F}_Q, C \rangle \mid \exists \sigma : T_{\sigma} \leq C\}$

ที่คือชุดของ 's $\mathcal{F}_Q$ $Q_j$

แล้วเราสามารถหาค่าต่ำสุดที่ ใช้การค้นหาแบบไบนารีในและหาที่ดีที่สุดใช้การกำหนดบางส่วนเพื่อในเวลาพหุนามใช้ Oracle สำหรับ Tนอกจากนี้เพราะดีที่สุดสามารถใช้เป็นใบรับรองที่เราสามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายในเวลาพหุนาม $T_\sigma$ $C$ $\sigma$ $\sigma$ $\mathsf{TUT}$ $\mathsf{TUT} \in \mathsf{NP}$ $\sigma$

คำถามของฉัน: Is สมบูรณ์หรือเราสามารถออกแบบอัลกอริทึมเวลาพหุนามมันได้หรือไม่ $\mathsf{TUT}$ $\mathsf{NP}$

Sidenote: โดยวิธีการที่ผมคิดว่าคำถามนี้หลังจากที่เซสชั่นกวดวิชาที่เกิดขึ้นจริงซึ่งใน TA กล่าวถึงคำถามในการสั่งซื้อปกติเนื่องจากการที่นักเรียนหลายคนต้องรอจนกว่าจะเสร็จสิ้น $q_1 \ldots q_n$

ตัวอย่าง
Let และ 2และ }เราจะเห็นได้ว่าดีที่สุดเพราะในกรณีที่ใบหลังจากที่และใบหลังจาก $k=3$ $n=2$ $Q_1 = \{q_3\}$ $Q_2 = \{q_1, q_2, q_3\}$ $\sigma = \langle 3, 1, 2 \rangle$ $s_1$ $t_1 = 1$ $s_2$ , ผลรวมคือ 4 อย่างไรก็ตามถ้าเราอภิปรายคำถามตามลำดับดังนั้นและทั้งคู่ต้องรอจนถึงจุดสิ้นสุดและดังนั้น ผลรวมคือ 6 $t_2 = 3$
$\langle 1, 2, 3\rangle$ $s_1$ $s_2$ $t_1 = t_2 = 3$

คุณมีอิสระที่จะแก้ปัญหากรณีทั่วไปที่แต่ละคำถามใช้เวลาหน่วยเพื่อหารือ! $^*$ $q_i$ $x_i$

— skankhunt42
แหล่งที่มา

เพียงเพื่อให้ชัดเจน: นักเรียนทุกคนเข้ามาในเวลาเดียวกันหรือพวกเขาเข้ามาจากช่วงเวลาที่ถูกถามคำถามแรกของพวกเขาหรือไม่?

— จิ้งจกไม่ต่อเนื่อง

@Discretelizard นักเรียนทุกคนเข้ามาในเวลาเดียวกันในตอนเริ่มต้น (ที่ t = 0)

— skankhunt42

ในคำจำกัดความปัจจุบันชุดคำถามจะไม่ซ้ำกันเช่นชุดคำถามเป็นของนักเรียนไม่เกินหนึ่งคน นี่อาจเป็นการลดความซับซ้อนที่สมเหตุสมผล แต่ฉันสงสัยว่ามันเป็นจริง (และฉันสงสัยว่ามันจะทำอะไรได้มากกับความซับซ้อนของปัญหา)

— จิ้งจกที่ไม่ต่อเนื่อง

ฉันคิดว่านักเรียนสองคนอาจมีคำถามชุดเดียวกันแน่นอนดังนั้นเวลารอจะถูกคูณด้วยสอง

— gnasher729

ฉันสงสัยว่าปัญหาจะเป็น NP-hard ฉันจะแสดงวิธีการแปลงปัญหาเช่นที่เกี่ยวข้องอย่างยิ่งกับปัญหาที่เป็นปัญหายาก (ใช่สิ่งนี้ค่อนข้างคลุมเครือโดยทั่วไปฉันคิดว่าวิธีการทั่วไปของฉันนั้นถูกต้อง แต่ตอนนี้ฉันไม่สามารถดำเนินการต่อได้) $\mathsf{TUT}$

ก่อนอื่นให้สังเกตว่าปัญหาสามารถปรับรูปแบบได้ดังนี้ $\mathsf{TUT}$

รับชุดของคำถามขนาด , ชุดของย่อยและจำนวนเต็มไม่มีอยู่ลำดับดังกล่าวว่าสำหรับทุก : $Q$ $k$ $n$ $\mathcal{F}_Q\subseteq \mathcal{P}(Q)$ $C$ $\Sigma : \langle S_1,\ldots, S_k\rangle$ $i \in\{1,\ldots,k\}$

และ ; และ $S_i\subseteq Q$ $|S_i|=i$
สำหรับทุกคน ; และ $S_i \subset S_j$ $j>i$
? $\sum_{i=1}^k |\{q\in\mathcal{F}_Q\mid q\not\subseteq S_i\}| \leq C$

โปรดทราบว่าชุดแทนคนแรกที่คำถามที่จะอธิบาย เงื่อนไขที่ 1 และ 2 ทำให้มั่นใจได้ว่าชุดย่อยถูกสร้างขึ้นอย่างดีตามการตีความนี้ เงื่อนไขที่ 3 นับจำนวนนักเรียนที่ยังไม่ได้ออกไปในแต่ละช่วงเวลาดังนั้นมันจึงสรุปรวมถึงเวลารอคอยโดยรวมของนักเรียนทุกคน $S_i$ $i$

$\mathcal{F}_Q$ $2$ $Q$

$|\{q\in\mathcal{F}_Q\mid q\not\subseteq S_i\}|$ $i$ $\mathsf{\text{Double max $k$-vertex-cover}}$

$G=(V,E)$ $k$ $t$ $V'\subseteq V$ $k$ $\{(u,v)\in E\mid u\in V' \wedge v \in V' \}$ $t$

$k$ $\mathsf{TUT}$ $i$ $\Sigma$ $7$ $4$ $3$ $i=3$ $3$ $4$ $i=4$

$\mathsf{TUT}$

ดังนั้นเพื่อสรุปฉันได้ลดคำถามดังต่อไปนี้:

$\mathsf{TUT}$

$|\{q\in\mathcal{F}_Q\mid q\not\subseteq S_i\}|$ $i=1\ldots k$ $i-1$ $k$ $i$ ในที่สุดจะกลายเป็น 'สูงสุด' ทั่วโลกเพื่อป้องกันการตรวจสอบจำนวนชุดย่อยที่อธิบาย

— จิ้งจกไม่ต่อเนื่อง
แหล่งที่มา