หา

ปล่อย $L_\epsilon$ เป็นภาษาของทั้งหมด $2$สูตร -CNF $\varphi$อย่างน้อยที่สุด $(\frac{1}{2}+\epsilon)$ ของ $\varphi$ข้อของพอใจ

ฉันต้องพิสูจน์ว่ามีอยู่จริง $\epsilon'$ เซนต์ $L_\epsilon$ คือ $\mathsf{NP}$- ยากสำหรับใด ๆ $\epsilon<\epsilon'$.

เรารู้ว่า $\text{Max}2\text{Sat}$ สามารถประมาณ $\frac{55}{56}$ ร้อยละของอนุประโยคจาก $\text{Max}3\text{Sat}$การลดลง ฉันจะแก้ปัญหานี้ได้อย่างไร

ในรายงานที่โด่งดังของเขาHåstadแสดงให้เห็นว่ามันยากที่จะประมาณ MAX2SAT ได้ดีกว่า$21/22$. นี่อาจหมายความว่านั่นเป็นปัญหาที่ยากต่อการแยกอินสแตนซ์ซึ่ง ได้แก่$\leq \alpha$ พอใจและกรณีซึ่ง $\geq (22/21) \alpha$ น่าพอใจสำหรับบางคน $\alpha \geq 1/2$. ทีนี้ลองนึกภาพการเติมอินสแตนซ์เพื่อให้มันกลายเป็น$p$- เศษส่วนของอินสแตนซ์ใหม่ส่วนที่เหลือนั้นเป็นอย่างแน่นอน $1/2$- ไม่น่าพอใจ (บอกว่ามันประกอบด้วยกลุ่มของส่วนคำสั่งของแบบฟอร์ม $a \land \lnot a$) ตัวเลขตอนนี้กลายเป็น$1/2 + p (\alpha - 1/2)$ และ $1/2 + p((22/21)\alpha - 1/2)$. หมายเลขหลังสามารถทำได้ใกล้เคียง$1/2$ ตามที่เราต้องการ

หากคุณรู้ว่าεเป็นจำนวนตรรกยะคุณไม่จำเป็นต้องมีความไม่เหมาะสมสำหรับ Max-2-SAT เพื่อพิสูจน์คำพูดของคุณ หลักฐานตามแบบฉบับของ NP-ความแข็งของแม็กซ์-2-SAT (เช่นหนึ่งในตำราคำนวณซับซ้อนโดย Papadimitriou) จริงพิสูจน์ NP-ครบถ้วนของL 1/5 เพื่อพิสูจน์ NP-ความแข็งของL _εบวกตัวเลขเหตุผลε <1/5 เราสามารถลดL _1/5เพื่อL _εดังนี้กำหนดสูตร 2CNF φ (อินสแตนซ์สำหรับL _1/5 ) ขอมเป็น จำนวนข้อในนั้น ให้rและsเป็นจำนวนเต็มบวกเช่น (1 / 5− ε ) mr = 2 ε sถือ จากนั้นสร้างสูตร 2CNF (อินสแตนซ์สำหรับL _ε ) โดยการทำซ้ำφสำหรับRครั้งและการเพิ่มsคู่ของข้อขัดแย้ง แสดงวคำนวณง่ายที่ว่านี้ย่อมลดลงจากL _1/5เพื่อL ε

การลดลงนี้จะทำงานได้อย่างชัดเจนหากεมีเหตุผลเท่านั้นมิฉะนั้นrและsไม่สามารถใช้เป็นจำนวนเต็มได้ กรณีทั่วไปที่εไม่จำเป็นต้องมีเหตุผลดูเหมือนว่าจะต้องมีความไม่สามารถประเมินได้อย่างที่ Yuval Filmus เขียนไว้ในคำตอบของเขา