การพิสูจน์ความสมบูรณ์แบบ NP ของปัญหาทรีทอด

ฉันกำลังมองหาคำแนะนำในคำถามที่ผู้สอนของฉันถาม

ดังนั้นฉันเพิ่งรู้ว่าปัญหาการตัดสินใจนี้คือ :$\sf{NP\text{-}complete}$

ในกราฟมีต้นไม้ทอดในที่มีชุดที่แน่นอนของเป็นใบไม้ ฉันคิดว่าเราสามารถพิสูจน์ได้ว่ามันเป็นโดยการลดเส้นทางมิลโตเนียนกับปัญหาการตัดสินใจนี้G S = { x 1 , x 2 , … , x n } N P - c o m p l e t $G$$G$$S=\{x_1, x_2,\ldots, x_n\}$$\sf{NP\text{-}complete}$

แต่ผู้สอนของฉันก็ถามเราในชั้นเรียนด้วย:

มันจะเป็นถ้าแทนที่จะเป็น "ชุดที่แน่นอนของ " เราก็ทำได้$\sf{NP\text{-}complete}$$S$

"รวมทั้งชุดและใบไม้อื่น ๆ " หรือ "เซตย่อยของ "$S$$S$

ฉันคิดว่า "ส่วนย่อยของ S" จะเป็นแต่ฉันไม่สามารถพิสูจน์ได้ฉันไม่ทราบว่าปัญหาใดที่ฉันสามารถลดได้ สำหรับ "รวมชุดของ ... " ฉันคิดว่ามันสามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนาม$\sf{NP\text{-}complete}$$S$

ในระยะสั้นการคาดเดาของคุณถูกต้อง สำหรับจุดประสงค์ของคำตอบนี้เราจะเรียกปัญหาสามข้อดังต่อไปนี้:

• ความเท่าเทียมกันรุ่น: ให้กราฟและชุดS ⊆ Vตัดสินใจว่าGมี Spanning Tree Tดังกล่าวว่าชุดของใบในTเท่ากับS ตามที่คุณระบุนี่เป็นปัญหาที่สมบูรณ์โดยการลดลงของปัญหาเส้นทางมิลโตเนียน$G = (V, E)$$S \subseteq V$$G$$T$$T$$S$
• รุ่นกลุ่มย่อย: ให้และSข้างต้นตัดสินใจว่าGมี Spanning Tree Tดังกล่าวว่าชุดของใบในTเป็นส่วนหนึ่งของS$G$$S$$G$$T$$T$$S$
• ซูเปอร์รุ่น: ให้และSข้างต้นตัดสินใจว่าGมี Spanning Tree Tดังกล่าวว่าชุดของใบในTเป็นซูเปอร์S$G$$S$$G$$T$$T$$S$

เพื่อพิสูจน์ว่าเวอร์ชันย่อยเป็น NP-complete คุณยังสามารถลดปัญหาพา ธ ของ Hamitonian ได้ ลองปรับเปลี่ยนการพิสูจน์ความสมบูรณ์ของ NP ของความเท่าเทียมกัน

เพื่อพิสูจน์ว่ารุ่นซูเปอร์เซ็ตสามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนามพยายามหาเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอเพื่อให้ต้นไม้มีอยู่$T$

มีการศึกษาทั้งสองเวอร์ชัน (รวมถึงปัญหาอื่น ๆ เกี่ยวกับการขยายต้นไม้) ใน [SK05] แต่ฉันเดาว่ามันจะดีกว่าถ้าคุณพยายามที่จะแก้ปัญหาด้วยตัวเองก่อนที่จะดูบทพิสูจน์ในกระดาษเพราะการดูกระดาษอาจเป็นสปอยเลอร์ขนาดใหญ่ น่าเสียดายที่ฉันได้ดูที่กระดาษก่อนที่จะพยายามหาอัลกอริทึมเวลาพหุนามสำหรับรุ่น superset!

[SK05] Mohammad Sohel Rahman และ Mohammad Kaykobad ความซับซ้อนของปัญหาที่น่าสนใจบางประการเกี่ยวกับการขยายต้นไม้ จดหมายการประมวลผลข้อมูล , 94 (2): 93–97, เมษายน 2005 [ doi ] [ ผู้เขียนคัดลอก ]

คำแนะนำเหล่านี้ยังไม่เพียงพอที่จะพาฉันไปหาคำตอบสำหรับปัญหา superset ของ S - แม้ว่าคำแนะนำนั้นจะเป็นประโยชน์และถูกต้อง นี่คือรถไฟแห่งความคิดของฉันที่ทำให้ฉันได้ทางออก

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าคุณลบจุดยอดทั้งหมดใน S ออกจาก G, (VS) และจากนั้นค้นหา tree spanning T ด้วย DFS หากมีจุดยอดที่ยังไม่ได้เชื่อมต่อใน G ให้พูด v1; สิ่งที่พูดเกี่ยวกับบทบาทของจุดยอดอย่างน้อยหนึ่งจุดใน S ที่ถูกลบออกไป? มันอยู่ในเส้นทางสู่ v1 จากจุดสุดยอดบางอย่างที่อยู่ในต้นไม้ที่ทอด ดังนั้นจึงไม่สามารถเป็นใบไม้ได้ (เนื่องจากใบไม้ไม่มีลูก) หากไม่มีโหนดที่ไม่ได้เชื่อมต่อนั่นหมายความว่าทุกจุดสุดยอดใน S สามารถเป็นใบไม้ได้หากมีขอบที่นำไปสู่ต้นไม้ที่ทอด จุดยอดใน S ที่เชื่อมต่อกับจุดยอดอื่น ๆ ใน S เท่านั้นจะไม่มีการเชื่อมต่อกับต้นไม้ที่ทอดและจะเป็นการละเมิดเงื่อนไข ดังนั้นจึงมีสองกรณีที่ต้องตรวจสอบ:

1. หากโหนดทั้งหมดที่ไม่ได้อยู่ใน S เชื่อมต่อหลังจากลบ S ออกจาก G และค้นหาแผนผังทอด
2. หากแต่ละโหนดใน S สามารถเชื่อมต่อโดยตรงกับต้นไม้ที่ทอด