การพิสูจน์ว่าการวินิจฉัยกราฟโดยตรงนั้นเป็นปัญหา NP-hard

ฉันมีการบ้านที่มอบหมายให้ฉันทุบตีหัวมาระยะหนึ่งแล้ว มันเกี่ยวกับการเลือกปัญหาที่ทราบแล้วความสมบูรณ์แบบ NP ซึ่งพิสูจน์แล้วและสร้างการลดลงของปัญหาดังกล่าวเป็นปัญหาต่อไปนี้ฉันจะเรียก DGD (การวินิจฉัยกราฟโดยตรง)

ปัญหา

ตัวอย่างของ DGDประกอบด้วยจุดขอบกำกับและเป็นจำนวนเต็มบวกkจุดที่มีขอบขาเข้าเท่านั้น: มีสามประเภทของจุดมี , จุดที่มีเพียงขอบขาออกและจุดที่มีทั้งขาเข้าและขาออกขอบBให้ยิ่งครั้งที่ฉันV = ฉัน ∪ O ∪ B E k I O B D = O × $(V,E,k)$$V = I \overset{.}{\cup} O \overset{.}{\cup} B$$E$$k$$I$$O$$B$$D=O\times I$

ตอนนี้ปัญหาคือว่าเราสามารถครอบคลุมโหนดทั้งหมดด้วยองค์ประกอบมากที่สุดของคือ$k$$D$

$\qquad \displaystyle \exists\,S\subseteq D, |S|\leq k.\ \forall\, v\in V.\ \exists\,(v_1,v_2) \in S.\ v_1 \to^* v \to^* v_2$

ที่หมายความว่ามีเส้นทางกำกับจากจะขa $a\to^* b$$a$$b$

ฉันคิดว่าปัญหา Dominating Set เป็นสิ่งที่ฉันควรจะลดลงเพราะสิ่งนี้มีความกังวลเกี่ยวกับการครอบคลุมส่วนย่อยของโหนดด้วยชุดย่อยอื่น ฉันพยายามสร้างอินสแตนซ์ DGD โดยการสร้างสองโหนดแรกสำหรับแต่ละองค์ประกอบของชุดควบคุมคัดลอกขอบทั้งหมดจากนั้นตั้งค่าของอินสแตนซ์ DGD ให้เท่ากับอินสแตนซ์ DS$k$

สมมติว่าง่ายดีเอสอินสแตนซ์ที่มีโหนด ,และและขอบและ(1,3)นี่เป็นอินสแตนซ์ใช่ด้วย ; ชุดควบคุมในกรณีนี้ประกอบด้วยโหนดเท่านั้น การลดด้วยวิธีที่อธิบายไว้สิ่งนี้จะนำไปสู่อินสแตนซ์ DGD ที่มีสองเส้นทางและ ; เพื่อครอบคลุมโหนดทั้งหมดเพียงหนึ่งคู่จะเพียงพอ สิ่งนี้จะทำงานได้อย่างสมบูรณ์ถ้าไม่ใช่ชุด DS ที่มีอำนาจเหนือนั้นไม่สามารถระบุได้ในเวลาพหุนามซึ่งเป็นข้อกำหนดที่นี่$1$$2$$3$$(1,2)$$(1,3)$$k = 1$$1$$(1 \to 2 \to 1')$$(1 \to 3 \to 1')$$(1, 1')$

ฉันได้พบว่ามีวิธีที่ดีจำนวนมากที่จะเปลี่ยนขอบและจุดเมื่อลด แต่ปัญหาของฉันเป็นอย่างใดแสดง DGD ของในแง่ของเอสเคDominating Set ดูเหมือนจะเป็นปัญหาที่เหมาะสมที่จะลดลง แต่ด้วยเหตุนี้ฉันจึงคิดว่าบางทีฉันควรพยายามลดปัญหาที่ไม่มีดังกล่าวหรือ$k$$k$$k$

ลดจาก NP-complete SET-COVERแทน

ให้กับk ∈ Nเป็นตัวอย่างของ set cover กำหนดอินสแตนซ์( V , E , k ′ )ของ DGD ดังนี้:$S_1,\dots,S_m \subseteq\{1,\dots,n\}$$k\in\mathbb{N}$$(V,E,k')$

• $V= \{s_1,\dots,s_m,o_1,\dots,o_m,e_1,\dots,e_n,o\}$
• $E= \{(s_i,o_i) \mid i = 1,\dots,n \} \cup \{(s_i,e_j)\mid j \in S_i\} \cup\{(e_j,o)\mid j=1,\dots,n\}$
• $k' = m + k$

มันเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าอินสแตนซ์ DGD ที่สร้างขึ้นมีคำตอบที่เป็นบวกถ้าและหากอินสแตนซ์ชุดที่กำหนดให้มีคำตอบที่เป็นบวก โดยเฉพาะอย่างยิ่งคู่ทั้งหมด( s i , o i )จะต้องถูกเลือกไม่ว่าจะเป็นอะไรเพื่อที่จะครอบคลุมทั้งหมดo i ; จากนั้นkของคู่m ( s i , o )จะต้องครอบคลุมeทั้งหมดjและองค์ประกอบแรกของสิ่งที่เลือกไว้นั้นเป็นคำตอบของอินสแตนซ์ของ SET-COVER หากไม่มีตัวเลือกดังกล่าวเป็นไปได้อินสแตนซ์ของ SET-COVER ก็ไม่มีทางออกเช่นกัน$m$$(s_i,o_i)$$o_i$$k$$m$$(s_i,o)$$e_j$

เนื่องจากการก่อสร้างมีความเป็นไปได้ในเวลาพหุนามจึงพิสูจน์ให้เห็นว่า SET-COVER DGD$\leq_p$

ยกตัวอย่างเช่นพิจารณาตัวอย่างชุดครอบคลุมตัวอย่างที่กำหนดบนWikipediaคือและชุดS = { { 1 , 2 , 3 } , { 2 , 4 } , { 3 , 4 } , { 4 , 5 } } นี่แปลเป็นกราฟต่อไปนี้:$\{1,2,3,4,5\}$$S=\{\{1,2,3\},\{2,4\},\{3,4\},\{4,5\}\}$

^{[ แหล่งที่มา ]}