มีชุดนับที่ไม่สามารถนับได้หรือไม่

ชุดสามารถนับได้ถ้ามันมี bijection กับจำนวนธรรมชาติและนับได้นับ (ce)ถ้ามีอัลกอริทึมที่ระบุสมาชิก

ชุดนับที่ไม่สามารถคำนวณได้ใด ๆ จะต้องนับได้เนื่องจากเราสามารถสร้าง bijection จากการแจงนับ

มีตัวอย่างของชุดนับที่ไม่สามารถนับได้หรือไม่ นั่นคือ bijection ระหว่างชุดนี้และจำนวนธรรมชาติมีอยู่ แต่ไม่มีอัลกอริทึมที่สามารถคำนวณ bijection นี้

มีตัวอย่างของชุดนับที่ไม่นับได้หรือไม่?

ใช่. ชุดย่อยทั้งหมดของจำนวนธรรมชาติสามารถนับได้ แต่ไม่ใช่ทั้งหมดที่นับได้ (หลักฐาน: มีเซตย่อยที่แตกต่างกันจำนวนมากของ  แต่มีเพียงเครื่องจักรทัวริงจำนวนมากที่สามารถทำหน้าที่เป็นตัวแจงนับได้) ดังนั้นชุดย่อยของ  Nที่คุณรู้อยู่แล้วว่าไม่นับซ้ำเป็นตัวอย่างเช่นชุดตัวเลขทั้งหมดที่เข้ารหัสทัวริง เครื่องจักรที่หยุดทุกอินพุต$\mathbb{N}$$\mathbb{N}$

ใช่ทุก ๆ ภาษาที่ไม่สามารถตัดสินใจได้ (ไม่กึ่งกึ่ง) มีคุณสมบัตินี้

ตัวอย่างเช่นพิจารณาชุด }$L = \{(x,M) \mid M \text{ does not halt on input } x \}$

สมมติว่าเรามีอัลกอริทึมที่สามารถระบุสมาชิกของชุดนี้ หากอัลกอริทึมดังกล่าวมีอยู่เราสามารถใช้สิ่งนี้เพื่อแก้ปัญหาการหยุดชะงักกับอินพุตด้วยอัลกอริทึมต่อไปนี้:$x,M$

• สลับกันระหว่างการทำงานเครื่องสำหรับnขั้นตอนเกี่ยวกับxและแจงn TH สมาชิกของL$M$$n$$x$$n$$L$

ทั้งหยุดหรือไม่หยุดบนx ถ้ามันหยุดในที่สุดเราก็จะพบ nที่เราไปถึงสถานะหยุดนิ่ง หากไม่หยุดในที่สุดเราก็จะไปถึง ( M , x )ในการแจงนับของเรา$M$$x$$n$$(M,x)$

ดังนั้นเราจึงมีการลดลงและเราสามารถสรุปได้ว่าไม่มีการแจกแจงดังกล่าว

โปรดทราบว่าการแจกแจงดังกล่าวสามารถเกิดขึ้นได้สำหรับปัญหาแบบกึ่งตัดสินใจได้ ตัวอย่างเช่นคุณสามารถระบุชุดของคู่เครื่องอินพุตทั้งหมดที่หยุดทำงานโดยการระบุการติดตามที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการเรียกใช้งานทัวริงเครื่องหลังจากสิ้นสุดขั้นตอนทั้งหมดและกรองรายการที่ไม่สิ้นสุดในสถานะหยุดนิ่ง $n$

ในทางทฤษฎีการคำนวณที่เราจัดการกับส่วนย่อยของที่Σ = { 0 , 1 } ภาษานี้เป็นอนันต์วท์และอื่นเซตL ⊆ Σ *คือนับ นอกจากนี้ยังมีภาษาที่นับไม่ถ้วน แต่มีหลายภาษาที่ไม่สามารถระบุได้ซ้ำ ๆ ภาษาเหล่านี้เป็นส่วนย่อยของΣ ∗และด้วยเหตุนี้นับได้$\Sigma^*$$\Sigma = \{0,1\}$$L \subseteq \Sigma^*$$\Sigma^*$