การลดผลิตภัณฑ์ใน HoTT ไปยังการเข้ารหัสของโบสถ์ / สกอตต์

ดังนั้นฉันกำลังจะไปถึงแม้ว่าหนังสือ HoTT กับบางคน ฉันอ้างว่าประเภทอุปนัยส่วนใหญ่ที่เราเห็นจะสามารถลดลงเป็นประเภทที่มีเพียงประเภทของฟังก์ชันและจักรวาลที่ขึ้นอยู่กับชนิดของ recuror เป็นแรงบันดาลใจสำหรับประเภทที่เทียบเท่า ฉันเริ่มวาดภาพว่าฉันคิดว่าสิ่งนี้จะได้ผลอย่างไรและหลังจากสะดุดฉันก็มาถึงสิ่งที่ฉันคิดว่าเป็นคำตอบ

\cdot \times \cdot \equiv \prod_{A, B, C : U} (A \to B \to C) \to C

$\cdot \times \cdot \equiv \prod_{A, B, C : \mathcal{U}} (A \to B \to C) \to C$

(\cdot, \cdot) \equiv λ a : A . λ b : B . λ C : U . λ g : A \to B \to C . g (a) (b)

$(\cdot, \cdot) \equiv \lambda a : A. \lambda b : B. \lambda C : \mathcal{U}. \lambda g : A \to B \to C. g(a)(b)$

i n d_{A \times B} \equiv λ C . λ g . λ p . g (p r_{1} (p)) (p r_{2} (p))

$ind_{A \times B} \equiv \lambda C. \lambda g. \lambda p. g(pr_1(p))(pr_2(p))$

สิ่งนี้จะช่วยให้การกำหนดสมการที่ถูกต้อง (การกำหนดสมการสำหรับและถูกละไว้) แต่นี่หมายความว่าจะมีประเภทที่ไม่ถูกต้อง $pr_1$ $pr_2$ $ind_{A \times B}$

{ind}_{A \times B} : \prod_{C : A \times B \to U} (\prod_{a : A} \prod_{b : B} C ((a, b))) \to \prod_{p : A \times B} C ((p r_{1} (p), p r_{2} (p)))

$\text{ind}_{A \times B} : \prod_{C : A \times B \to \mathcal{U}} (\prod_{a:A} \prod_{b:B} C((a, b))) \to \prod_{p : A \times B} C((pr_1(p), pr_2(p)))$

และดูเหมือนจะไม่สามารถแก้ไขปัญหานี้ได้อย่างง่าย ฉันยังคิดถึงนิยามต่อไปนี้

i n d_{A \times B} \equiv λ C . λ g . λ p . p (C (p)) (g)

$ind_{A \times B} \equiv \lambda C. \lambda g. \lambda p. p(C(p))(g)$

แต่นี่ไม่ได้พิมพ์ออกมา

$uniq_{A \times B}$ $C((pr_1(p), pr_2(p)))$ $C(p)$ $uniq_{A \times B}$ $uniq_{A \times B}$

ดังนั้นดูเหมือนว่าเราสามารถกำหนดตัวเรียกซ้ำได้ที่นี่ แต่ไม่ใช่ตัวเหนี่ยวนำ เราสามารถกำหนดสิ่งที่ค่อนข้างใกล้เคียงกับตัวเหนี่ยวนำ แต่ไม่ได้ทำให้มันค่อนข้าง การเรียกซ้ำทำให้เราสามารถใช้ตรรกะในการอธิบายความหมายของการรวมเชิงตรรกะ แต่มันไม่ให้เราพิสูจน์สิ่งต่าง ๆ เกี่ยวกับผลิตภัณฑ์ที่ดูเหมือนขาด

เราสามารถลดการเรียงลำดับที่ฉันอ้างได้หรือไม่? นั่นคือเราสามารถกำหนดประเภทที่ใช้เฉพาะประเภทฟังก์ชันและจักรวาลที่มีฟังก์ชั่นการจับคู่และตัวเหนี่ยวนำที่มีสมการและประเภทเดียวกันกับผลิตภัณฑ์หรือไม่ มันเป็นความสงสัยของฉันที่เพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ ดูเหมือนว่าเราจะได้เข้าใกล้อย่างเฉื่อยชา แต่ก็ไม่ได้ทำให้ หากเราไม่สามารถระบุได้ว่าสิ่งที่ชนิดของการโต้แย้งอธิบายว่าทำไมเราไม่สามารถ? ผลิตภัณฑ์ตามที่แสดงในหนังสือ HoTT เพิ่มความแข็งแกร่งของระบบหรือไม่

— เจค
แหล่งที่มา

เท่าที่ฉันเข้าใจการเข้ารหัสของโบสถ์ตามปกติทำให้เรามีรูปแบบที่ยอมรับการกำจัดแบบไม่พึ่งพา (ผู้เรียกซ้ำ) แต่ไม่มีการกำจัดแบบพึ่งพา คำถามของคุณอาจจะเกี่ยวข้องกับคนนี้ ฉันไม่แน่ใจว่า HoTT เปลี่ยนแปลงอะไรบางอย่างเกี่ยวกับเรื่องนี้หรือไม่

— Chi

ดูเหมือนว่าจะเป็นประโยชน์ ตามที่ฉันเข้าใจคำถามของฉันจะได้รับคำตอบสำหรับแคลคูลัสเชิงทำนายของประเภทการก่อสร้าง (Coq ลบ (co) อุปนัย) ประเภท ฉันกำลังมองหาเอกสารที่ครอบคลุมโมเดลเหล่านี้ (โมเดลของ CoC ที่ไม่ใช่โมเดลของ CiC) แต่หาไม่เจอ คุณมีแหล่งที่มาโดยบังเอิญหรือไม่?

— Jake

น่าเสียดายที่ฉันไม่มีการอ้างอิงเพื่อแบ่งปัน ฉันสนใจที่จะมีแหล่งข้อมูลเพื่ออ้างถึงความจริงของคติชน

— Chi

ฉันยังคงหาคติชนอ้างอิงถึงความจริงนี้ แต่ฉันไม่สามารถหาคำอธิบาย

— Jake

เป็นคำถามที่ดี แต่มันจะไม่เหมาะกับcstheory.stackexchange.com หรือไม่

— Martin Berger

คำตอบ:

การอ้างอิงมาตรฐานที่ฉันมักจะให้คือการเหนี่ยวนำนั้นไม่ได้เป็นไปตามทฤษฎีที่ขึ้นอยู่กับลำดับที่สองโดย Herman Geuvers ซึ่งบอกว่าไม่มีประเภท

N : T y p e

$N : \mathrm{Type}$

Z : N S : N \to N

$Z:N\qquad S:N\rightarrow N$

ดังนั้น

i n d : Π P : N \to T y p e . P Z \to (Π m : N . P m \to P (S m)) \to Π n : N . P n

$\mathrm{ind}:\Pi P:N\rightarrow \mathrm{Type}.P\ Z\rightarrow (\Pi m:N.P\ m\rightarrow P\ (S\ m))\rightarrow \Pi n:N. P\ n$

พิสูจน์ได้ สิ่งนี้ชี้ให้เห็นว่าการเข้ารหัสเช่นนี้ไม่สามารถทำงานเป็นคู่ได้ตามที่คุณอธิบาย

ระบบนี้ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเป็นส่วนย่อยของแคลคูลัสของสิ่งก่อสร้างซึ่งมีประเภทผลิตภัณฑ์ที่ทรงพลังและจักรวาล ฉันสงสัยว่าผลลัพธ์นี้สามารถขยายไปยังระบบที่คุณสนใจขึ้นอยู่กับสิ่งที่คุณมี

น่าเศร้าที่ฉันไม่รู้คำตอบที่สมบูรณ์สำหรับคำถามของคุณ ฉันสงสัยว่าการเพิ่มหลักการเชิงพารามิเตอร์บางอย่าง "ภายใน" เป็นสิ่งที่จำเป็นเพื่อให้การเข้ารหัสเหล่านี้ทำงานได้ด้วยหลักการอุปนัยแบบเต็ม Neel Krishnaswami ที่มีความรู้เป็น superset ที่เข้มงวดของฉันเองเขียนกระดาษตามบรรทัดเหล่านี้กับ Derek Dreyer:

การปรับความสัมพันธ์เชิงพาราเมตริกในแคลคูลัสเชิงมิติ

อีกอย่างที่น่าสนใจคือเอกสารต่อไปนี้โดย Bernardy, Jansson และ Patterson (Bernardy คิดอย่างลึกซึ้งเกี่ยวกับหัวข้อเหล่านี้):

พารามิเตอร์และประเภทที่ขึ้นอยู่กับ

เห็นได้ชัดว่าตัวแปรมีความสัมพันธ์ที่ดีกับ HoTT โดยทั่วไป แต่ฉันไม่รู้ว่ารายละเอียดคืออะไร ฉันคิดว่า Steve Awodey ได้พิจารณาคำถามเหล่านี้แล้วเนื่องจากเคล็ดลับการเข้ารหัสมีประโยชน์ในบริบทที่เราไม่ทราบว่าตัวกำจัดควรมีลักษณะอย่างไร

— Cody
แหล่งที่มา

ในการทำให้ไอเดียของคุณทำงานคุณต้องมีอะไรบางอย่างที่พิเศษตามที่ระบุไว้ในคำตอบของ @ cody Sam Speight ทำงานภายใต้การดูแลของ Steve Awodey เพื่อดูว่าสามารถทำได้ใน HoTT โดยใช้จักรวาลที่มีการเลียนแบบดูที่การเข้ารหัสแบบ Inceptic Inductive Types ในบล็อกHoTT

— Andrej Bauer
แหล่งที่มา