มีอัลกอริธึมที่มีประสิทธิภาพสำหรับการพิจารณาว่ากราฟมีออโต้มอร์ฟิซึ่มเล็กน้อยหรือไม่?

ฉันกำลังทำงานกับปัญหาที่เกี่ยวข้องกับละตินสแควร์สและฉันต้องการวิธีการที่จำเป็นอย่างยิ่งในการตัดสินใจปัญหา:

การป้อนข้อมูล : การ จำกัด กราฟง่ายกรัม
เอาท์พุท : YESถ้า G มี automorphism ไม่น่ารำคาญNOเป็นอย่างอื่น

ดังนั้น ...

คำถาม : มีอัลกอริธึมที่มีประสิทธิภาพสำหรับการพิจารณาว่ากราฟมีออโต้มอร์ฟิซึ่มเล็กน้อยหรือไม่?

เราสามารถใช้ Nauty หรือ Bliss (และแพ็คเกจอื่น ๆ ) เพื่อคำนวณกลุ่ม automorphism ทั้งหมด แต่ฉันไม่ต้องการ สิ่งที่ฉันต้องพิจารณาก็คือมันไม่สำคัญหรือไม่

เป็นไปได้ว่าปัญหาการตัดสินใจนี้มีความซับซ้อนทางทฤษฎีเทียบเท่ากับ "การคำนวณกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมทั้งหมด" ในทางใดทางหนึ่ง ฉันไม่แน่ใจ.

สำหรับจุดประสงค์ของฉัน "ประสิทธิภาพ" โดยทั่วไปหมายถึง "เร็วกว่าในทางปฏิบัติมากกว่าการคำนวณกลุ่ม automorphism ทั้งหมด" แต่ฉันก็สนใจในทฤษฎีที่อยู่เบื้องหลัง

— รีเบคก้าเจสโตน
แหล่งที่มา

นี่เท่ากับกราฟมอร์ฟิซึม

— Yuval Filmus

@YuvalFilmus เท่าที่ฉันทราบไม่มีการลดที่รู้จักจาก "คือ

G_{1}

$G_1$ isomorphic ถึง

G_{2}

$G_2$ "ถึง" ทำ

G

$G$ มีออโต้มอร์ฟิซึมแบบไม่น่าสนใจ "เห็นได้ชัดว่าถ้า

G_{1} ≃ G_{2}

$G_1\simeq G_2$ จากนั้นสหภาพที่แยกตัวออกของพวกเขามีออโต้มอร์ฟิซึ่มส์ที่ไม่น่าสนใจ

G_{1}

$G_1$ และ

G_{2}

$G_2$ ) แต่ออโต้มอร์ฟิซึ่มใด ๆ ของ

G_{1}

$G_1$ ก็จะเป็น automorphism ที่ไม่น่าสนใจของ

G_{1} + G_{2}

$G_1+G_2$ .

— David Richerby

เกี่ยวกับคำถามสุดท้ายของคุณหากให้ oracle แก่ GA สามารถทำได้ในเวลาพหุนามค้นหากลุ่มก่อกำเนิดของกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมจากนั้น GI ก็กำลังทัวริงกับ GA ซึ่งฉันไม่แน่ใจ

— Ariel

@DavidRicherby แล้วบทความต่อไปนี้ล่ะ? sciencedirect.com/science/article/pii/…

— Yuval Filmus

@YuvalFilmus ตกลงดังนั้นคุณใช้ทัวริงการลดทอนและฉันกำลังใช้การลดลงหลายรายการ และฉันเดาว่าการลดลงของทัวริงมีความเกี่ยวข้องกับคนที่พยายามแก้ปัญหาจริงๆ

— David Richerby

เนื่องจากคุณมีความสนใจในทฤษฎีที่อยู่เบื้องหลังฉันจะให้อัลกอริธึมเวลาแบบกึ่งพหุนามสำหรับปัญหาของคุณ

สำหรับแต่ละจุดยอด $u\neq v$ (ระดับเดียวกัน) ใน $G$ เราลองดูว่าเป็นไปได้ไหมที่จะแลกเปลี่ยน $u$ และ $v$ .

เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ให้ทำสำเนาของ $G$ เรียกมันว่า $G'$ . ตอนนี้ลบ $u$ จาก $G$ ลบ (สำเนาจาก) $v$ จาก $G'$ .

จากนั้นสำหรับแต่ละ $w\in N(u)$ แนบไปกับมันเป็นเส้นทางที่ยาวมาก แต่polynomially ยาว

จากนั้นสำหรับแต่ละคน (สำเนา) $w\in N(copy\ of\ v)$ แนบไปกับมันเป็นเส้นทางที่ยาวมาก แต่polynomially ยาว

ทั้งหมดที่กล่าวมาข้างต้นเป็นเส้นทางที่ยาวมาก แต่มีความยาวแบบพหุนามควรมีความยาวเท่ากัน

เรียกอัลกอริธึมของ Babai เกี่ยวกับอินพุตของกราฟคู่ที่เพิ่งสร้างขึ้นใหม่นี้

หากคู่ใด $(u, v)$ , เรามี $YES$ คำตอบจาก Babai ของคำตอบ $YES$ และหยุด

ถ้าไม่มีใครส่งคืน $YES$ คำตอบคำตอบ $NO$ และหยุด

เห็นได้ชัดว่าแนบกับทุกจุดใน $N(u)$ และ $N(v)$ บังคับให้กราฟมอร์ฟิซึมของกลไกการทำงานภายในของ Babai ของอัลกอริทึมของเขาไปที่แผนที่เฉพาะจุดยอด $N(u)$ ถึง $N(v)$ . ดังนั้นหากคำตอบของบาบาคือ $YES$ จากนั้นเราสามารถเสียบกลับอย่างปลอดภัย $u$ และ $v$ การมีออโตฟิซึมที่ไม่น่าสนใจของ $G$ , ตั้งแต่ $G'$ เป็นสำเนาของ $G$ .

ความซับซ้อนในการใช้งานยังคงเสมือนจริง

— Thinh D. Nguyen
แหล่งที่มา