ความซับซ้อนของชุดย่อยผลรวมย่อย

ตัวแปรนี้ของปัญหาผลรวมย่อยเป็นเรื่องง่าย / รู้หรือไม่?

กำหนดจำนวนเต็มและชุดของจำนวนเต็มบวกเช่นนั้นทุก ๆจะมีค่ามากที่สุดบิตตั้งค่าเป็น ( ); มีเซตย่อยเช่นนั้นผลรวมขององค์ประกอบเท่ากับหรือไม่? $m$ $A = \{x_1, x_2, ..., x_n\}$ $x_i$ $k=2$ $1$ $x_i = 2^{b_{i_1}}+2^{b_{i_2}},\;\; b_{i_1},b_{i_2}\geq 0$ $A' \subseteq A$ $m$

มันอยู่ในหรือไม่ มันยังคงเป็นสมบูรณ์? $\sf{P}$ $\sf{NP}$

และถ้าทุกมีที่มากที่สุดบิตตั้งค่าเป็น ? สำหรับปัญหานั้นเล็กน้อย $x_i$ $k=3$ $1$ $k=1$

complexity-theory reference-request decision-problem

— Vor
แหล่งที่มา

มันยังคงเป็นสมบูรณ์แม้สำหรับ 2 จากตัวอย่างของผลรวมย่อยเราสามารถแปลงให้เป็นตัวแปรนี้โดยแยกตัวเลขและเพิ่มบิตพิเศษบางอย่าง $\sf{NP}$ $k=2$

ครั้งแรกที่ผลรวมของตัวเลขทั้งหมดในปัญหาที่เกิดขึ้นจะน้อยกว่ามูลค่าของบางเมตร $2^m$ $m$

ทีนี้ลองหาตัวเลขจากปัญหาเดิมซึ่งมีบิตตั้งไว้ เราจะแบ่งจำนวนนี้ในหมายเลขตรงกับ 2 บิตตั้งค่าดังกล่าวว่าผลรวมของตัวเลขเหล่านั้นคือm} เราสามารถทำสิ่งนี้ซ้ำโดยการหาตัวเลขที่รวมกันเป็นครั้งแรกบิตบวกและหมายเลขที่ รวมถึงล่าสุดบิตบวกm-1} $n$ $k$ $k$ $n+2^{k+m}$ $\lceil{k}\rceil$ $\lceil{k}\rceil$ $2^{k+m-1}$ $\lfloor{k}\rfloor$ $\lfloor{k}\rfloor$ $2^{k+m-1}$

นอกจากหมายเลขนั้นเราจะเพิ่มหมายเลขให้กับปัญหา คำตอบจะต้องมีหมายเลขนี้หรือหมายเลขทั้งหมดที่สร้างขึ้นก่อนหน้านี้ ถ้าราคาเป้าหมายเดิมคือมูลค่าเป้าหมายใหม่จะเป็นm} $2^{k+m}$ $k$ $t$ $t+2^{k+m}$

ถ้าปัญหาเดิมมีมากกว่าจำนวนหนึ่งที่เราสามารถทำซ้ำขั้นตอนนี้การสำหรับค่าใหม่ของม. $k+m+1$ $m$

มีเพียงสองวิธีบิตในตำแหน่งที่มีสามารถตั้งค่า: คำตอบจะมีจำนวนหรือทั้งหมดของตัวเลขที่รวมถึงm} ดังนั้นเราจึงลดผลรวมย่อยลงไปยังชุดผลรวมย่อยของคุณ $k+m$ $2^{k+m}$ $k$ $n+2^{k+m}$

ตัวอย่างเช่นลองกับค่าเป้าหมาย7ปัญหานี้อาจถูกเข้ารหัสเป็นชุดผลรวมย่อยชุดย่อยที่แสดงที่นี่โดยรับเลขฐานสองต่อไปนี้: ${\{2,3,5\}}$ $7$

2 ได้รับการแมปไปและ 1 (การใช้บิตพิเศษไม่จำเป็นอย่างยิ่งที่นี่) $0100\ 1$ $0000\ 1$

3 ได้รับการแมปกับและ $1000\ 00\ 1, 0100\ 00\ 1$ $0000\ 00\ 01$

5 ได้รับการแมปไปและ01 $1000\ 00\ 000\ 1, 0010\ 00\ 000\ 1$ $0000\ 00\ 000\ 01$

ค่าเป้าหมายใหม่จะกลายเป็น01 $1110\ 10\ 010\ 01$

หากปัญหาดั้งเดิมแสดงด้วยบิตดังนั้นปัญหาที่แปลงแล้วจะมีบิตไม่เกิน ปัญหาดั้งเดิมจะมีจำนวนมากที่สุดแต่ละที่มีมากที่สุดบิตดังนั้นผลรวมของทั้งหมดคือ O (n) ปัญหาที่แปลงแล้วจะมีตัวเลข (เนื่องจากแต่ละหมายเลขบิตถูกแบ่งเป็นบิตโดยมีความยาวอยู่ที่มากที่สุดเนื่องจากเราใช้บิตเพิ่มเติมสำหรับ แต่ละหมายเลขดังนั้นขนาดโดยรวมของปัญหาที่แปลงแล้วคือบิต $n$ $O(n^4)$ $O(n)$ $O(n)$ $O(n^2)$ $n$ $n+1$ $2$ $O(n^2)$ $n$ $O(n^4)$

— Tom van der Zanden
แหล่งที่มา

คุณแน่ใจหรือไม่ว่าการเข้ารหัสไม่ได้นำไปสู่ขนาดที่อธิบายของเทปการทำงาน?

— Vor

ไม่ฉันคิดว่าปัญหาที่แปลงแล้วนั้นเป็นขนาดควอร์ติก หากอินพุตมี n บิตแสดงว่ามีตัวเลขไม่เกิน n จำนวนโดยแต่ละชุดมี n บิตตั้งอยู่ ดังนั้นจะมีตัวเลข O (n ^ 2) ในปัญหาที่แปลงแล้ว (เนื่องจากตัวเลข k-bit ถูกแบ่งเป็น k + 1 หมายเลข) แต่ละหมายเลขคือ (2n) บิตยาวเพื่อรองรับผลรวมสูงสุดบวก n บิตสำหรับแต่ละหมายเลข n ในปัญหาดั้งเดิม ดังนั้นแต่ละหมายเลขจะมีบิต O (2n + n ^ 2) รวมเป็น O (n ^ 4) บิต

— Tom van der Zanden

@TomvaderZanden: ฉันได้เพิ่มรูปภาพของการลดของคุณในคำถาม; ดูว่าฉันตีความได้อย่างถูกต้อง

— Vor

@TomvaderZanden: วันนี้ผมมองไปที่การลดลงของคุณอีกครั้ง แต่ก็ไม่มีความชัดเจนว่าจากจำนวนข้อกับบิตตั้งคุณสามารถแยกมันเข้าไปในหมายเลข 2 บิตที่ "สูงสุด" ส่วนจำนวนเงินที่จะ k สมมติว่าคุณมีหมายเลขพร้อมชุดบิต คุณต้องการหมายเลข 13 2 บิต แต่ 13 คือ 1101 และคุณไม่สามารถ "ครอบคลุม" ด้วยตัวเลขสองบิต (ตัวอย่างของคุณใช้งานได้เนื่องจาก 3 และ 5 k = 2) ฉันคิดว่าสิ่งนี้สามารถแก้ไขได้ง่ายถ้าคุณใช้บิตสูงที่แตกต่างกันสำหรับตัวเลข 2 บิตแต่ละตัว พวกเขาจะรวมไป 01111 ... 1 แล้วคุณเพิ่มหุ่น 0000 ... 1 ที่จะช่วยให้ผลรวมที่จะเป็น k

n

$n$

k

$k$

k

$k$

2^{k}

$2^k$

n

$n$

k = 13

$k=13$

k

$k$

2^{k}

$2^k$

— Vor

มันค่อนข้างคลุมเครือ แต่ก็เป็นไปได้อย่างแน่นอนโดยใช้กระบวนการ "อุปนัย" คุณไม่จำเป็นต้องจริงบิตคุณต้องการเพียงk) หากคุณต้องการหาตัวเลข 13 1 บิตที่รวมกันเป็นคุณต้องหาตัวเลข 6 ตัวที่รวมกันเป็นและ 7 ที่รวมกันเป็นด้วย เราสามารถใช้เวลาซึ่งแน่นอนสรุปถึง 4

k

$k$

c e i l (\log k)

$ceil(\log k)$

2^{4}

$2^4$

2^{3}

$2^3$

2^{3}

$2^3$

10 * 2^{0} + 3 * 2^{1}

$10*2^0+3*2^1$

2^{4}

$2^4$

— Tom van der Zanden

นี่เป็นข้อมูลที่ดึงมาจากคำถามโดย Vor

สำหรับปัญหายังคงสมบูรณ์อยู่ ฉันพบการลดลงอย่างรวดเร็วจากเสียงโมโน X-SAT ( ดูสคีมาของการลดลงที่นี่ ) $k \geq 3$

ปัญหายังคงเป็นปัญหา NP-Complete แม้ว่าดูคำตอบของ Tom สำหรับรายละเอียด นี่เป็นตัวแทนเล็กน้อยของการลดลงของเขาจาก SUBSET SUM: $k = 2$

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

— Juho
แหล่งที่มา