เป็นไปได้หรือไม่ที่จะตัดสินใจว่าอัลกอริทึมที่ให้มานั้นเหมาะสมที่สุดหรือไม่

มีอัลกอริทึมสำหรับปัญหาต่อไปนี้:

ได้รับเครื่องทัวริงที่ตัดสินใจภาษา , มีเครื่องทัวริงตัดสินใจดังกล่าวว่า ? $M_1$ $L$
$M_2$ $L$ $t_2(n) = o(t_1(n))$

ฟังก์ชั่นและเป็นเวลาทำงานที่เลวร้ายที่สุดของเครื่องจักรทัวริงและตามลำดับ $t_1$ $t_2$ $M_1$ $M_2$

แล้วความซับซ้อนของอวกาศล่ะ?

— StaticBug
แหล่งที่มา

คำตอบนั้นไม่แน่นอน การพิจารณาว่าเวลารันไทม์ที่เลวร้ายที่สุดของ TM นั้นเป็นที่ทราบกันว่าไม่สามารถตัดสินใจได้

— chazisop

คำถามทั่วไปมากขึ้น

— กราฟิลส์

คำตอบ:

นี่เป็นข้อโต้แย้งง่ายๆที่แสดงให้เห็นว่าพวกเขาไม่สามารถตัดสินใจได้นั่นคือไม่มีอัลกอริธึมที่จะตรวจสอบว่าอัลกอริทึมที่ได้รับนั้นเหมาะสมที่สุดสำหรับการใช้เวลาทำงานหรือการใช้หน่วยความจำหรือไม่

เราลดปัญหาการหยุดชะงักในเทปเปล่าให้กับปัญหาของคุณเกี่ยวกับการปรับให้เหมาะสมในขณะใช้งาน

ให้เป็นเครื่องทัวริงที่ได้รับ ให้ N เป็นเครื่องทัวริงดังต่อไปนี้: $M$

: บนอินพุต 1. รันบนเทปเปล่าสำหรับ (มากที่สุด)ขั้นตอน 2. หากไม่หยุดในขั้นตอนให้รันลูปที่มีขนาดจากนั้นส่งคืน NO 3. มิฉะนั้นส่งคืน YES $N$ $n$
$M$ $n$
$M$ $n$ $2^n$

มีสองกรณี:

หากไม่ได้หยุดในเทปเปล่าเครื่องจะทำงานขั้นตอนเกี่ยวกับการป้อนข้อมูลnดังนั้นเวลาทำงานของมันคือ )ในกรณีนี้เห็นได้ชัดว่าไม่เหมาะสมที่สุด $M$ $N$ $\Theta(2^n)$ $n$ $\Theta(2^n)$ $N$
หากหยุดในเทปว่างแล้วเครื่องจะทำงานเป็นจำนวนคงที่ของขั้นตอนทั้งหมดที่มีขนาดใหญ่พอที่ดังนั้นเวลาทำงานเป็น )ในกรณีนี้จะเหมาะสมที่สุด $M$ $N$ $n$ $O(1)$ $N$

ในระยะสั้น:

M หยุดพักบนเทปเปล่า \Leftrightarrow ยังไม่มีข้อความ เป็นแง่ดี

$M \text{ halts on blank tape } \Leftrightarrow N \text{ is optimial }$

นอกจากนี้ได้รับรหัสสำหรับเราสามารถคำนวณรหัสสำหรับNดังนั้นเราจึงลดปัญหาการหยุดชะงักในเทปเปล่าไปจนถึงปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพเวลาทำงาน หากเราสามารถตัดสินใจได้ว่าเครื่องทัวริงที่ระบุนั้นดีที่สุดหรือไม่เราสามารถใช้การลดลงข้างต้นเพื่อตรวจสอบว่าเครื่องหยุดเทปที่ว่างเปล่าหรือไม่ เนื่องจากการหยุดชะงักบนเทปเปล่านั้นไม่สามารถบอกได้ว่าปัญหาของคุณนั้นยังไม่สามารถตัดสินใจได้เช่นกัน $M$ $N$ $N$ $M$

อาร์กิวเมนต์ที่คล้ายกันสามารถใช้สำหรับพื้นที่ได้เช่นกันก็ยังไม่สามารถตัดสินใจได้ว่าเครื่องทัวริงที่ได้รับนั้นเหมาะสมที่สุดสำหรับพื้นที่ที่ใช้หรือไม่

แม้คำสั่งที่แข็งแกร่งจะเป็นจริง: เราไม่สามารถตัดสินใจได้ว่าฟังก์ชันคำนวณที่ได้รับนั้นมีขอบเขตบนความซับซ้อนของเวลาในการคำนวณฟังก์ชันที่คำนวณได้ ในทำนองเดียวกันสำหรับพื้นที่ เช่นแม้กระทั่งทฤษฎีความซับซ้อนขั้นพื้นฐานไม่สามารถดำเนินการอัตโนมัติด้วยอัลกอริทึม (ซึ่งถือได้ว่าเป็นข่าวดีสำหรับนักทฤษฎีความซับซ้อน;)

— Kaveh
แหล่งที่มา

เพียงแค่ต้องการพูดถึงว่าในคำถามเดิม OP สันนิษฐานว่า

ตัดสินใจภาษาในเวลากำลังสอง

M_{1}

$M_1$

— Pål GD

โปรดอธิบายว่าคุณดูการเพิ่มประสิทธิภาพเชิงซีมโทติค แม้ในกรณีที่ 2

ไม่ได้ดีที่สุดอย่างเคร่งครัด ฟังก์ชั่น

สามารถคำนวณได้ในขั้นตอนเดียวในขณะที่

ต้องการมากกว่า

(สำหรับ

ขนาดใหญ่) ด้วย

ความยาวของการคำนวณของ

บนเทปเปล่า

n

$n$

n \mapsto YES

$n \mapsto \textrm{YES}$

N

$N$

n_{0}

$n_0$

n

$n$

n_{0}

$n_0$

M

$M$

— กราฟิลส์

อ่าคำถามเปลี่ยนไปตั้งแต่ฉันอ่านครั้งล่าสุด ไม่เป็นไร.

— Raphael

@ PålGDฉันคิดว่า OP ใช้มันเป็นตัวอย่าง (ตามคำถามเดิมที่โพสต์บน cstheory) คุณสามารถตรวจสอบความคิดเห็นภายใต้คำถามนั้น

— Kaveh

ตามที่คนอื่น ๆ กล่าวถึงคำตอบคือไม่

แต่มีบทความที่น่าสนใจที่เขียนโดยบลัม " ทฤษฎีเครื่องจักรที่ไม่ขึ้นกับความซับซ้อนของฟังก์ชั่นวนซ้ำ " เขาแสดงให้เห็นว่ามีฟังก์ชั่นบางอย่างกับคุณสมบัติที่ไม่ว่าโปรแกรมจะใช้งานฟังก์ชันเหล่านี้ได้เร็วแค่ไหน

เป็นสถานที่ที่ดีมาก!

— เรซา
แหล่งที่มา

-3

ฮา! คำตอบคือใช่เราจะอยู่ในโลกที่แตกต่าง

ลองนึกภาพว่าคำตอบสำหรับคำถามของคุณคือใช่ (และแน่นอนว่าเรารู้อัลกอริทึมที่จะตอบคำถามของคุณ) จากนั้นสำหรับอัลกอริทึมสำหรับภาษาเราจะสามารถบอกได้ (ใช้ ) ถ้าเหมาะสมที่สุด หรือไม่. $A_0$ $A$ $L$ $A_0$ $A$

น่าเสียดายที่มันเป็นไปไม่ได้และโดยส่วนตัวแล้วฉันคิดว่าการพิสูจน์การมองโลกในแง่ดี (ไม่ใช่เรื่องไม่สำคัญ) เป็นปัญหาที่น่าสนใจที่สุด (และยาก) ในวิทยาการคอมพิวเตอร์ เท่าที่ฉันรู้ - ฉันยินดีที่จะได้รับการแก้ไข - ไม่มีผลลัพธ์ที่ดีที่สุดสำหรับปัญหาพหุนามใด ๆ (ยกเว้นผลการมองโลกในแง่ดีเล็กน้อยของหลักสูตรของอัลกอริทึมที่ใช้เวลาเป็นสัดส่วนกับขนาดอินพุต)

— t ถึง t
แหล่งที่มา

สำหรับปัญหาบางอย่างมีขอบเขตที่รู้จักของฟอร์ม

และอัลกอริธึมที่ตอบสนองสิ่งนี้ ตัวอย่างง่าย ๆ เช่นการเรียงลำดับโดยการเปรียบเทียบการค้นหาองค์ประกอบที่น้อยที่สุดของอาร์เรย์

Ω (N)

$\Omega(N)$

— vonbrand

ก่อนอื่น "ดีที่สุด asymptotically" ไม่เหมือนกับ "ดีที่สุด" ประการที่สองคุณไม่ตอบคำถาม ประการที่สามมีขอบเขตต่ำกว่า

สำหรับอัลกอริธึมการเรียงลำดับ (บางชนิด)

Ω (n \log n)

$\Omega(n \log n)$

— Raphael

@ vonbrand - นั่นคือสิ่งที่ฉันหมายถึงโดยอัลกอริทึมที่ได้สัดส่วนกับขนาดอินพุต

— ถึง

@thothet ตกลงฉันกลัวว่ามันจะไร้ผล แต่ฉันจะลองอีกครั้ง 1) ไม่เลย หากคุณบันทึกเพียงหนึ่งขั้นตอนในทุกอินพุตคุณมีอัลกอริทึมที่ดีกว่าเมื่อก่อนแม้ว่าจะมีรันไทม์แบบอะซิมโทติกเดียวกัน 2) ไม่เลย มันอาจหมายถึง "ฉันไม่รู้เหมือนกัน แต่ถ้าใช่ก็หมายความว่า X" นี่ไม่ใช่เรื่องแปลก (cf P? = NP) 3) คุณอ้างว่ามีไม่มีขอบเขตต่ำไม่น่ารำคาญ (ใน asymptotics ผมถือว่า) ที่ทั้งหมด ว่าเป็นสิ่งที่ผิด. กรุณาทำการบ้านของคุณ

— กราฟิลส์

@ MartinJonášฉันหมายถึงเครื่องจักรทัวริง 2 เทป Kaveh มีประเด็นการพิสูจน์ทฤษฎีบทลำดับชั้นของเวลาทำให้เกิดปัญหาที่สามารถแก้ไขได้โดยมีความซับซ้อนสูงตามอำเภอใจโดยพลการ แต่ตัวอย่างก็ไม่เป็นธรรมชาติและไม่รู้สึกชัดเจนมาก ยิ่งไปกว่านั้นลำดับชั้นไม่เป็นที่รู้จักสำหรับความน่าจะเป็นดังนั้นเราจึงไม่มีอะไรจริงๆ

— Sasho Nikolov