รุ่นการปรับให้เหมาะสมของปัญหาการตัดสินใจ

เป็นที่ทราบกันว่าปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพ / การค้นหาแต่ละรายการมีปัญหาในการตัดสินใจเทียบเท่า ตัวอย่างเช่นปัญหาเส้นทางที่สั้นที่สุด

การเพิ่มประสิทธิภาพ / รุ่นค้นหา: สมมติว่าไม่มีทิศทางกราฟไม่ได้ชั่งและสองจุดหาเส้นทางที่สั้นที่สุดระหว่างและยู $G = (V, E)$ $v,u\in V$ $v$ $u$

เวอร์ชันการตัดสินใจ: เนื่องจากกราฟถ่วงน้ำหนักที่ไม่ได้บอกทิศทาง , สองจุดยอด , และเลขจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ , มีเส้นทางในระหว่างและที่มีความยาวสูงสุดหรือไม่? $G = (V, E)$ $v,u\in V$ $k$ $G$ $u$ $v$ $k$

โดยทั่วไป "ค้นหา st !" กลายเป็น "มี st หรือไม่" $x^*\in X$ $f(x^*) = \min\{f(x)\mid x\in X\}$ $x\in X$ $f(x) \leq k$

แต่สิ่งที่ตรงกันข้ามก็เป็นความจริงนั่นคือมีปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพที่เทียบเท่าสำหรับทุกปัญหาการตัดสินใจ ถ้าไม่เป็นตัวอย่างของปัญหาการตัดสินใจที่ไม่มีปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพเทียบเท่า

— ลุคไมล์
แหล่งที่มา

บิตนี้เท่ากับศูนย์หรือไม่?

— JeffE

คุณต้องอธิบาย "เทียบเท่า" ในรายละเอียดเพิ่มเติมเช่นคุณหมายถึงหนึ่งสามารถแก้ไขได้โดยใช้อื่น ๆ เป็น oracle / blackbox ในเวลาพหุนาม (หรือในพื้นที่ลอการิทึม)? คุณใส่ใจปัญหาทั้งหมดหรือมีปัญหาเฉพาะใน

N P

$\sf{NP}$ หรือไม่

— Kaveh

ขึ้นอยู่กับมุมมองของคุณคำถามนั้นเป็นเรื่องเล็กน้อย (รับปัญหาการตัดสินใจใด ๆ ที่ไม่มี "

k

$k$ ") หรือไม่สามารถตอบได้ (วิธีการพิสูจน์ว่ามี "ไม่มีปัญหาการเลือกเทียบเท่า")

— กราฟิลส์

ตามที่ระบุไว้แล้วในความคิดเห็นมันขึ้นอยู่กับคำจำกัดความตามปกติ ความพยายามของฉันในการตอบคำถามนี้ต้องการคำจำกัดความค่อนข้างน้อยดังนั้นนี่จะเป็นอีกตัวอย่างหนึ่งของการไร้ความสามารถของฉันที่จะให้คำตอบที่กระชับ

คำที่เกี่ยวข้อง: ปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพเป็น tuple $(X,F,Z,\odot)$ ด้วย

$X$ ชุดของการเข้ารหัสที่เหมาะสม (สตริง) เดอะอินสแตนซ์หรือปัจจัยการผลิต
$F$ เป็นฟังก์ชันที่แผนที่แต่ละเช่นชุดของการแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ของx $x\in X$ $F(x)$ $x$
$Z$ เป็นฟังก์ชันวัตถุประสงค์ที่แผนที่แต่ละคู่ที่และจะเป็นจำนวนจริงเรียกว่าค่าของY $(x, y)$ $x \in X$ $y\in F(x)$ $Z(x, y)$ $y$
$\odot$ เป็นทิศทางการเพิ่มประสิทธิภาพทั้งหรือ\ $\min$ $\max$

คำจำกัดความ:คำตอบที่ดีที่สุดของอินสแตนซ์ของปัญหาการหาค่าเป็นคำตอบที่เป็นไปได้ซึ่ง\} มูลค่าของการแก้ปัญหาที่ดีที่สุดคือการแสดงด้วยและเรียกว่าดีที่สุด $x\in X$ $P_O$ $y\in F(x)$ $Z(x, y)=\odot\{Z(x, y')\mid y'\in F(x)\}$ $Opt(x)$

คำที่เกี่ยวข้อง: ปัญหาการประเมินผลการชี้แนะสอดคล้องกับปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพเป็นดังต่อไปนี้: ให้อินสแตนซ์คำนวณถ้ามีทางออกที่ดีที่สุดและการส่งออก“ไม่มีทางออกที่ดีที่สุด” มิฉะนั้น $P_E$ $P_O$ $x\in X$ $Opt(x)$ $x$

โปรดทราบว่านี่เป็นเพียงการขอคุณค่าของโซลูชันที่ดีที่สุดไม่ใช่โซลูชันทั้งหมดพร้อมรายละเอียดทั้งหมด

คำที่เกี่ยวข้อง: ปัญหาการตัดสินใจชี้แนะที่สอดคล้องกับปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพเป็นดังต่อไปนี้: ให้คู่ที่และตัดสินใจว่ามีทางออกที่เป็นไปได้เช่นว่าถ้าและเช่นว่าถ้า\ $P_D$ $P_O$ $(x, k)$ $x\in X$ $k\in\mathbb{Q}$ $x$ $y$ $Z(x, y)\le k$ $\odot=\min$ $Z(x, y)\ge k$ $\odot=\max$

สังเกตแรกคือตอนนี้ที่{} หลักฐานไม่ยากและถูกตัดออกจากที่นี่ $P_O\in \mathrm{NPO} \Rightarrow P_D\in \mathrm{NP}$

ตอนนี้สังหรณ์ใจและสอดคล้องกับไม่ได้ยากกว่าตัวเอง เพื่อแสดงความรู้สึกนี้อย่างเป็นทางการ (ดังนั้นการกำหนดสิ่งที่เทียบเท่าควรหมายถึง) เราจะใช้การลด $P_E$ $P_D$ $P_O$ $P_O$

จำได้ว่าภาษาเป็นพหุนามเวลาออกซิเจนภาษาอื่นถ้ามีฟังก์ชั่น , คำนวณในเวลาพหุนามเช่นว่าทุกคำ ,L_2 ชนิดของ reducibility นี้เป็นที่รู้จักกันคาร์พหรือหลายต่อหนึ่ง reducibilityและถ้า เป็นออกซิเจนในลักษณะนี้เราแสดงโดยการเขียนL_2 นี่คือแนวคิดหลักในคำจำกัดความของความสมบูรณ์แบบ NP $L_1$ $L_2$ $f$ $x$ $x\in L_1\Leftrightarrow f(x)\in L_2$ $L_1$ $L_2$ $L_1\le_m L_2$

น่าเสียดายที่การลดลงแบบตัวต่อตัวระหว่างภาษาและยังไม่ชัดเจนว่าจะใช้ภาษาเหล่านี้อย่างไรในบริบทของปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพ ดังนั้นเราจึงต้องพิจารณาชนิดที่แตกต่างกันของ reducibility, ทัวริง reducibility ก่อนอื่นเราต้องการสิ่งนี้:

คำที่เกี่ยวข้อง: oracleสำหรับปัญหาเป็น (สมมุติ) ย่อยที่สามารถแก้กรณีของในเวลาคง $P$ $P$

ความหมาย:ปัญหาที่เกิดขึ้นเป็นพหุนามเวลาทัวริง-ซึ้งทำให้เป็นปัญหาเขียนถ้ากรณีของจะสามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนามโดยอัลกอริทึมที่มีการเข้าถึง oracle สำหรับP_2 $P_1$ $P_2$ $P_1\le_T P_2$ $P_1$ $P_2$

อย่างไม่เป็นทางการเช่นเดียวกับความสัมพันธ์แสดงว่านั้นไม่ยากกว่าอีก นอกจากนี้ยังเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าถ้าจะสามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนามเพื่อให้สามารถP_1อีกครั้งคือความสัมพันธ์สกรรมกริยา ความจริงต่อไปนี้ชัดเจน: $\le_m$ $P_1\le_T P_2$ $P_1$ $P_2$ $P_2$ $P_1$ $\le_T$

ให้แล้วP_O $P_O\in \mathrm{NPO}$ $P_D\le_T P_E\le_T P_O$

เนื่องจากให้โซลูชันเต็มรูปแบบการคำนวณค่าและการตัดสินใจว่าตรงกับขอบเขตนั้นง่ายหรือไม่ $k$

คำจำกัดความ:หากมีปัญหาสองประการและทั้งความสัมพันธ์ ,ถือไว้เราจะเขียน ; แนวคิดเรื่องความเท่าเทียมของเรา $P_1$ $P_2$ $P_1\le_T P_2$ $P_2\le P_1$ $P_1\equiv_T P_2$

ขณะนี้เราพร้อมที่จะพิสูจน์ว่าเนื่องจากปัญหาการปรับให้เหมาะสมที่สอดคล้องกันคือและเป็นจำนวนเต็มมูลค่า เราต้องแสดงให้เห็นว่าถืออยู่ เราสามารถตรวจสอบกับไบนารีค้นหา usign orcale สำหรับP_Dความหมายของเพื่อให้แน่ใจว่าสำหรับบางพหุนามดังนั้นจำนวนของขั้นตอนในการค้นหาไบนารีคือพหุนามใน. $P_D\equiv_T P_E$ $P_O\in \mathrm{NPO}$ $Z$ $P_E \le_T P_D$ $\odot\{Z(x,y)\mid y\in F(x)\}$ $P_D$ $\mathrm{NPO}$ $|Z(x, y)|\le 2^{q(|x|)}$ $q$ $|x|$ $\Box$

สำหรับปัญหาการปรับให้เหมาะสมความสัมพันธ์กับนั้นชัดเจนน้อยกว่า ในกรณีที่เป็นรูปธรรมหลายคนหนึ่งสามารถแสดงโดยตรงที่P_O เพื่อพิสูจน์ว่าเรื่องนี้ถือโดยทั่วไปภายใต้กรอบที่กำหนดไว้ที่นี่เราจำเป็นต้องมีข้อสมมติฐานเพิ่มเติม $P_O$ $P_E$ $P_D\equiv_T P_E \equiv_T P_O$

ก่อนอื่นเราต้องขยายจากคู่ภาษาเป็นคู่ของปัญหาการตัดสินใจที่สอดคล้องกัน จากนั้นก็จะเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าทั่วไปมากกว่า\ $\le_m$ $\le_T$ $\le_m$

ให้แอนด์เป็นปัญหาในการตัดสินใจ แล้วP' สิ่งนี้ถือเป็นเพราะการลดแบบหลายต่อหลายคนสามารถตีความได้ว่าเป็นการใช้ประโยชน์ของออราเคิลในทางที่ จำกัด อย่างมาก: ออราเคิลถูกเรียกว่าครั้งเดียวในตอนท้ายสุดและผลลัพธ์ของมันก็จะถูกส่งกลับมาเป็นผลลัพธ์โดยรวม $P$ $P'$ $P\le_m P' \Rightarrow P\le_T P'$ $\Box$

ตอนนี้เราพร้อมแล้วสำหรับตอนจบ:

ให้และสมมติว่าเป็นจำนวนเต็มและนั้นเป็น NP-complete จากนั้นกับข้อสังเกตก่อนหน้านี้มันก็ยังคงที่จะแสดงP_E การทำเช่นนี้เราจะแสดงปัญหาดังกล่าวว่าP_E' จากนั้นเรามีที่สองและสามถือเพราะความเท่าเทียมกันของการตัดสินใจและการประเมินผลรุ่นพิสูจน์ก่อนหน้านี้ ที่สามติดตามจาก NP-ครบถ้วนของและข้อเท็จจริงสองข้อที่กล่าวถึงก่อนหน้าคือ $P_O\in \mathrm{NPO}$ $Z$ $P_D$

P_{D} \equiv_{T} P_{E} \equiv_{T} P_{O} .

$P_D\equiv_T P_E \equiv_T P_O.$

P_{O} \leq_{T} P_{E}

$P_O\le_T P_E$

P_{O}^{'} \in N P O

$P_O'\in \mathrm{NPO}$

P_{O} \leq_{T} P_{E}^{'}

$P_O\le_T P_E'$

P_{O} \leq_{T} P_{E}^{'} \leq_{T} P_{D}^{'} \leq_{T} P_{D} \leq_{T} P_{E} .

$P_O\le_T P_E' \le_T P_D'\le_T P_D\le_T P_E.$

\leq_{T}

$\le_T$

\leq_{T}

$\le_T$

P_{D}

$P_D$

P_{O} \in N P O \Rightarrow P_{D} \in N P

$P_O\in \mathrm{NPO} \Rightarrow P_D\in \mathrm{NP}$ และP_O'

P \leq_{m} P_{O}^{'} \Rightarrow P \leq_{T} P_{O}^{'}

$P\le_m P_O' \Rightarrow P\le_T P_O'$

ตอนนี้รายละเอียด: สมมติว่าคำตอบที่เป็นไปได้ของนั้นถูกเข้ารหัสโดยใช้ตัวอักษรพร้อมกับคำสั่งทั้งหมด ให้เป็นคำจากแสดงรายการตามลำดับความยาวที่ไม่ลดลงและคำสั่งทำพจนานุกรมภายในกลุ่มคำที่มีความยาวทั่วไป (ดังนั้นเป็นคำที่ว่างเปล่า.) สำหรับทุกให้หมายถึงเลขที่ไม่ซ้ำกันดังกล่าวว่าการ yสามารถคำนวณทั้งและได้ในเวลาพหุนาม ปล่อยเป็นพหุนามแบบนั้นสำหรับ $P_O$ $\Sigma$ $w_0, w_1, \ldots$ $\Sigma^*$ $w_0$ $y\in\Sigma^*$ $\sigma(y)$ $i$ $y=w_i$ $\sigma$ $\sigma^{-1}$ $q$ $x\in X$ และทุกเรามี|)} $y\in F(x)$ $\sigma(y)<2^{q(|x|)}$

ตอนนี้ปัญหาเป็นเหมือนยกเว้นสำหรับการปรับเปลี่ยนฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์Z'สำหรับและที่เราใช้เวลา(y) คือคำนวณในเวลาพหุนามจึง{} $P_O'$ $P_O$ $Z'$ $x\in X$ $y\in F(x)$ $Z'(x, y)=2^{q(|x|)}\cdot Z(x,y)+\sigma(y)$ $Z'$ $P_O'\in \mathrm{NPO}$

แสดงให้เห็นว่าเราสังเกตว่าเป็นไปได้สำหรับและถ้าหากมันเป็นไปได้สำหรับP_E'เราสามารถสันนิษฐานได้ว่าเป็นกรณีนี้เนื่องจากกรณีตรงข้ามเป็นเรื่องเล็กน้อยที่จะจัดการ $P_O\le_T P_E'$ $x$ $P_O$ $P_E'$

substituion ของ forเป็นแบบโมโนโทนิกในแง่ที่ว่า , ถ้าจากนั้นy_2) นี่ก็หมายความว่าทางออกที่ดีที่สุดสำหรับทุกในเป็นทางออกที่ดีที่สุดของในP_Oดังนั้นหน้าที่ของเราที่จะช่วยลดการคำนวณการแก้ปัญหาที่ดีที่สุดของในP_O' $Z'$ $Z$ $y_1, y_2\in F(x)$ $Z(x, y_1)<Z(x, y_2)$ $Z'(x, y_1)<Z'(x, y_2)$ $x$ $P_O'$ $x$ $P_O$ $y$ $x$ $P_O'$

สอบถาม oracle สำหรับเราจะได้รับค่าของ(y) การสร้างส่วนที่เหลือของตัวเลขนี้โมดูโลให้ผลตอบแทนซึ่งสามารถคำนวณได้ในเวลาพหุนาม $P_E'$ $Z'(x,y)=2^{q(|x|)}\cdot Z(x,y)+\sigma(y)$ $2^{q(|x|)}$ $\sigma(y)$ $y$

— ULI
แหล่งที่มา

"oracle สำหรับปัญหา P คือรูทีนย่อย (สมมุติ) ที่สามารถแก้ปัญหาอินสแตนซ์ของ P ในเวลาคงที่" oracle ต้องใช้เวลาคงที่เท่านั้นหรือ

— ทิม

@ Tim แน่นอนมีหนังสือฉันอยู่ไม่กี่ในความคิดเห็นของผู้อื่นคำตอบ

— ULI

@ Tim เกี่ยวกับ oracle: ถ้าคุณได้พบ / ตั้งครรภ์ลดลงระหว่างสองปัญหาและคุณได้ลดปัญหาการหาขั้นตอนวิธีการที่มีประสิทธิภาพสำหรับการหาขั้นตอนวิธีการที่มีประสิทธิภาพสำหรับBหรือคำอื่น ๆ ที่ลดลงจะบอกคุณว่าเพื่อที่จะแก้คุณสามารถใช้Bมันก็เหมือนการใช้งานย่อยสำหรับในอัลกอริทึมสำหรับ อย่างไรก็ตามปัญหาและ

A \leq_{T} B

$A\le_T B$

A

$A$

B

$B$

A

$A$

B

$B$

A

$A$

B

$B$

B

$B$

A

$A$

A

$A$

B

$B$ มักเป็นปัญหาที่เราไม่รู้จักวิธีแก้ปัญหาที่มีประสิทธิภาพ และในกรณีของทัวริง - รีดซิชั่นเรายังใช้มันในกรณีที่ปัญหาที่เกี่ยวข้องไม่สามารถตัดสินใจได้เลย

— uli

@Tim ดังนั้นเป็นรูทีนย่อยที่ไม่รู้จัก มันได้กลายเป็นที่กำหนดเองในทฤษฎีความซับซ้อนที่จะเรียกขั้นตอนวิธีการสมมุติสำหรับที่ได้มาจากการลดลงเป็นอัลกอริทึมกับ Oracle Bเรียก subroutine ไม่รู้จักพยากรณ์เพียงเป็นการแสดงออกว่าเราไม่สามารถหวังว่าจะได้พบกับขั้นตอนวิธีการที่มีประสิทธิภาพสำหรับเหมือนกับที่เราไม่สามารถหวังว่าจะได้รับ oracle สำหรับBตัวเลือกนี้ค่อนข้างโชคร้ายเนื่องจากมันมีความสามารถทางเวทย์มนตร์ ค่าใช้จ่ายสำหรับ oracle ควรเป็นเป็น subroutine มีอย่างน้อยการอ่านการป้อนข้อมูลx

B

$B$

A

$A$ $B$

B

$B$

B

$B$

B

$B$

| x |

$|x|$

x

$x$

— uli

คำตอบที่ยอดเยี่ยมทั่ว; สิ่งเดียวที่ฉันจะเพิ่ม (มาที่มันตอนนี้ผ่านคำถามอื่น) คือ 'ทิศทางการปรับให้เหมาะสม' เป็นความซับซ้อนที่ไม่จำเป็นและสำหรับความเป็นรูปธรรมเราสามารถสันนิษฐานได้เสมอว่าฟังก์ชันวัตถุประสงค์จะถูกขยายให้ใหญ่ที่สุด; ถ้าความตั้งใจที่จะลดแล้วเราก็สามารถกำหนดวัตถุประสงค์ใหม่ฟังก์ชั่นและเขียนทั้งหมดลดของเป็นสูงสุดของZ'

Z

$Z$

Z^{'} = - Z

$Z'=-Z$

Z

$Z$

Z^{'}

$Z'$

— Steven Stadnicki

ในขณะที่ความคิดเห็นพูดคำตอบขึ้นอยู่กับคำจำกัดความที่แน่นอน ให้ฉันตีความคำถามในลักษณะพื้นฐาน (ไร้เดียงสา)

ให้เป็นความสัมพันธ์บางอย่างที่เป็น\} $S$ $S \subseteq \{ (a,b) \mid a,b \in \Sigma^*\}$

ตอนนี้เรากำหนดปัญหาการค้นหาสำหรับ : $S$

ได้รับหาดังกล่าวว่าS $a$ $b$ $(a,b) \in S$

และปัญหาการตัดสินใจสำหรับ : $S$

ป.ร. ให้ไว้คำตอบหรือไม่S $(a,b)$ $(a,b) \in S$

_{(ตัวอย่างเช่นในตัวอย่างที่ให้ไว้ในคำถามจะเก็บคู่ทั้งหมดไว้ เพื่อให้มีเส้นทางระหว่างและซึ่งสั้นกว่า ) $S$ $(u,v,k)$ $u$ $v$ $k$}

โปรดทราบว่าทั้งสองปัญหาที่กำหนดไว้อย่างดี สำหรับคำจำกัดความนี้เราสามารถถามได้ว่าทั้งสองปัญหานั้น "เทียบเท่า" สำหรับหรือไม่ ใน "เทียบเท่า" ฉันหมายความว่าหากหนึ่งในนั้นคือการคำนวณ (นั่นคือมีอัลกอริทึมที่แก้มัน) กว่าอีกอย่างหนึ่งคือการคำนวณเช่นกัน โดยทั่วไปแล้วพวกเขาจะไม่ $S$

การเรียกร้องที่ 1 : การตัดสินใจหมายถึงการค้นหา

พิสูจน์: Letเป็นอัลกอริทึมที่แก้ปัญหาการตัดสินใจของSรับอินพุต , เราสามารถเรียกใช้สำหรับ , อันใดอันหนึ่งหรือต่อเนื่องกัน หากมีเช่นนั้นเราจะพบมันในที่สุด ถ้าไม่ได้อัลกอริทึมอาจจะไม่หยุด^ $D_S$ $S$ $a$ $D_S(a,x)$ $x\in \Sigma^*$ $b$ $(a,b)\in S$ $^\dagger$

การเรียกร้องที่ 2 : การค้นหาไม่ได้บ่งบอกถึงการตัดสินใจ

เหตุผลก็คืออัลกอริทึมการค้นหาอาจส่งคืนแตกต่างจากที่เราต้องการ นั่นคือสำหรับทุกมีบางว่าเป็นเรื่องง่ายมากที่จะหา แต่คนอื่น ๆที่ไม่ได้เป็น ตัวอย่างเช่นให้เป็นภาษาที่ไม่สามารถตัดสินใจได้จากนั้นกำหนด สำหรับทุกวิธีการค้นหาสามารถกลับ0แต่ขั้นตอนวิธีการตัดสินใจที่ไม่สามารถตอบได้อย่างถูกต้องไม่ว่าจะเป็นสำหรับทุกคู่1) ถ้าทำได้ก็จะตัดสินใจว่าเป็นปัญหาที่ไม่อาจตัดสินใจได้ซึ่งเป็นไปไม่ได้ $b$ $a$ $b$ $b'$ $L$

S = {(x, 0) ∣ x \in Σ^{*}} \cup {(x, 1) ∣ x \in L} .

$S = \{ (x,0) \mid x\in \Sigma^*\} \cup \{ (x,1) \mid x \in L\}.$

x

$x$

0

$0$

(x, 1) \in S

$(x,1) \in S$

(x, 1)

$(x,1)$

$^\dagger$ นี้ขึ้นอยู่กับSตัวอย่างเช่นถ้าถูก จำกัด อาจมีอัลกอริทึมที่จะหยุดอยู่ $S$ $S$

— รันจี
แหล่งที่มา

ปัญหาการตัดสินใจที่ถูกต้องคือการดำรงอยู่ของเซนต์S

b

$b$

⟨ a, b ⟩ \in S

$\langle a,b \rangle \in S$

— Kaveh

หากการตัดสินใจถูกกำหนดให้มีอยู่ของดังนั้นการค้นหาก็หมายถึงการตัดสินใจ

b

$b$

— Ran G.

ในแง่อ่อนความสามารถในการคำนวณ iewrt แต่ไม่ซับซ้อนเป็นปัญหาที่ละเอียดอ่อนกว่า

— Kaveh