ต้องมีคำตอบที่ไม่ถูกต้องสำหรับ Merlin จำกัด พลังของโปรโตคอล Arthur-Merlin หรือไม่?

คำนำ

คลาสAM ที่ซับซ้อนนั้นเป็นปัญหาที่สามารถแก้ไขได้ด้วยระบบการพิสูจน์แบบโต้ตอบสองรอบระหว่างผู้ตรวจสอบ "Merlin" และผู้ตรวจสอบ "Arthur" ปัญหา - ซึ่งทดสอบคุณสมบัติบางอย่างของวัตถุX - เป็นAMหาก:

• สำหรับกรณีที่ใช่ข้อความ "ท้าทาย" แบบสุ่ม (ของความยาวพหุนาม) อาร์เธอร์สร้างความน่าจะเป็นสูงเมอร์ลินสามารถกำหนดคำตอบ (พหุนามความยาว) ซึ่งอาร์เธอร์สามารถใช้เป็นหลักฐานว่าXมีคุณสมบัติ;

• สำหรับNOกรณีสำหรับข้อความท้าทายสุ่มอาร์เธอร์สร้างมีโอกาสสูงเมอร์ลินไม่สามารถกำหนดตอบกลับใด ๆ ที่สามารถนำมาใช้เป็นหลักฐานสำหรับทรัพย์สินที่ถูกทดสอบบนX

- คลาสที่อธิบายไม่เปลี่ยนแปลงหากเราต้องการให้เมอร์ลินให้คำตอบที่เป็นประโยชน์ไม่เพียง แต่มีโอกาสสูงเท่านั้น แต่สำหรับความท้าทายใด ๆที่อาร์เธอร์อาจออก เราอาจพูดในกรณีนี้ว่าเราต้องการคำตอบของเมอร์ลินเสมอเพื่อให้ถูกต้องสำหรับอินสแตนซ์ของYESและสิ่งที่การทดสอบของอาเธอร์คือความถูกต้องของคำตอบ ดังนั้นหากเมอร์ลินสร้างคำตอบที่ไม่ถูกต้องอาร์เธอร์ก็รู้ว่าอินสแตนซ์ของปัญหานั้นไม่ใช่อินสแตนซ์ นี่คือการตั้งค่าที่ฉันต้องการพิจารณา

ตัวอย่างคือกราฟ Non-Isomorphism: กำหนดกราฟGและHด้วยชุดจุดสุดยอดชุดเดียวกันอาเธอร์สามารถสุ่มเลือกหนึ่งในกราฟและสร้าง "สัญญาณรบกวน" รุ่นFโดยอนุญาตให้ติดฉลากจุดสุดยอดส่งการนำเสนอของมันไปยังเมอร์ลิน . หากกราฟทั้งสองนั้นไม่ใช่แบบ isomorphic, เมอร์ลินสามารถระบุได้ว่าGหรือH Arthur เลือกโดยการพิจารณาว่าF  ≅  GหรือF  ≅  Hและสามารถตอบสนองโดยการระบุว่าทั้งสองFเป็น isomorphic ไปหรือไม่ หากกราฟสองกราฟGและHเป็น isomorphic อย่างไรก็ตามเมอร์ลินไม่สามารถแยกแยะกราฟใดได้Fมาจากและคำตอบใด ๆ ที่เขาให้จะถูกต้องโดยบังเอิญเท่านั้น ดังนั้นสำหรับกรณีที่ใช่เมอร์ลินสามารถส่งคำตอบที่ถูกต้องไปยังความท้าทายใด ๆ ; สำหรับNOกรณีการตอบสนองใด ๆ ที่อาจส่งเมอร์ลินจะอยู่กับที่ไม่ถูกต้องน่าจะเป็นสูง

ในปัญหาข้างต้นไม่เพียง แต่จะมีคำตอบที่ถูกต้องที่ Merlin สามารถออกอาร์เธอร์สำหรับการท้าทายแต่ละครั้ง แต่ในความเป็นจริงมีการตอบกลับที่ไม่ซ้ำกัน : เช่น  ระบุว่าของGหรือH Arthur เลือกไว้อย่างไร ระบุซึ่งเป็น isomorphic เพื่อF

คำถาม.

ไม่จัดเก็บภาษีข้อ จำกัด ตามเส้นเหล่านี้ - ว่าใช่กรณีสำหรับความท้าทายใด ๆ ที่อาร์เธอร์อาจส่งมีอีกหนึ่งการตอบสนองที่ถูกต้องสำหรับเมอร์ลิน - ผลผลิตระดับที่เข้มงวดมากขึ้นในแง่ของการให้ผลผลิตระดับที่ไม่เป็นที่รู้จักเท่ากันที่น ?

กระดาษของ Koiran Nullstellensatz ของHilbert อยู่ในลำดับชั้นโพลิโนเมียลจัดทำโพรโทคอล Arthur-Merlin แบบเหรียญสาธารณะสำหรับการสร้างระบบสมการ$m$บน$n$ unknowns มีวิธีแก้ปัญหาใน$\mathbb{C}^n$โดยขึ้นอยู่กับสมมติฐานทั่วไป Riemann นี่เมอร์ลินพบนายก$p$กับ$H(p)=0$สำหรับบางกัญชาสุ่ม$H$พร้อมกับวิธีการแก้ปัญหา$(a_0,a_1,\cdots, a_n)$แต่ละ$m$สมการ$\bmod p$หน้า

หากระบบของสมการมีไม่มีการแก้ปัญหา$\bmod p$แล้วจะมีเพียงจำนวน จำกัด ของ$p$โมดูโลซึ่งวิธีการแก้ปัญหาที่มีอยู่ หากระบบไม่มีทางออก$\bmod p$แล้วโดยไม่มีเงื่อนไขจะมีความหนาแน่นเชิงบวกของ$p$กับการแก้ปัญหาและช่วยให้ GRH ว่า$p$กับการแก้ปัญหาเป็น "equidistributed" ในความรู้สึกบางอย่างเช่นว่าเมอร์ลินได้รับชัยชนะ

แม้ว่า Koiran ให้เห็นตัวอย่างของระบบการแก้ปัญหาที่มีความหนาแน่นของที่$p$มีขนาดเล็กชี้แจง Koiran แสดงให้เห็นว่าถ้าระบบแก้ไขใน$\mathbb{C}^n$แล้วในกรณีส่วนใหญ่จะมีจำนวนมากของ$p$ (และเป็นจำนวนมาก) ; แน่นอนประมาณ1 - 1 / eเฉพาะช่วงเวลาควรมีวิธีการแก้ปัญหา IIRCC$a$$1-1/e$

ดังนั้นในปัญหาดังกล่าวไม่เพียง แต่มีอยู่การตอบสนองที่ถูกต้องที่เมอร์ลินสามารถออกไปอาร์เธอร์สำหรับความท้าทายในแต่ละ แต่ในความเป็นจริงอาจจะมีขนาดใหญ่จำนวนของการตอบสนองที่ถูกต้อง

$p$$p$