คำถามติดแท็ก interactive-proofs

เรารู้ว่าถ้าคุณมีเครื่อง PSPACE มันมีพลังมากพอที่จะพิสูจน์การโต้ตอบของลำดับชั้นพหุนามในทุกระดับ (และถ้าฉันจำได้ถูกต้องสิ่งที่คุณต้องการคือ #P) แต่สมมติว่าคุณต้องการแสดงหลักฐานการเป็นสมาชิกแบบโต้ตอบในภาษามันเพียงพอที่จะสามารถแก้ปัญหาในΣ 2 ได้ไหม? การแก้ปัญหาในΣ 5เพียงพอหรือไม่ โดยทั่วไปถ้าคุณสามารถแก้Σ kหรือΠ kปัญหาสำหรับสิ่งΣ ℓนี้เพียงพอที่จะสร้างบทพิสูจน์การโต้ตอบของ languates ทั้งหมดในΣ ℓ ?Σ2Σ2\Sigma_2Σ2Σ2\Sigma_2Σ5Σ5\Sigma_5ΣkΣk\Sigma_kΠkΠk\Pi_kΣℓΣℓ\Sigma_\ellΣℓΣℓ\Sigma_\ell คำถามนี้ได้รับแรงบันดาลใจจากคำถามการแลกเปลี่ยนสแต็คของ cstheoryนี้

33 cc.complexity-theory  interactive-proofs 

ฉันเป็น (และยังคงเป็นฉัน) สนใจคำตอบของคำถามนี้เพราะนี่เป็นรูปแบบที่น่าสนใจเกี่ยวกับความซับซ้อนของเกมที่ยังไม่ได้รับการแก้ไขดังนั้นฉันจึงเสนอเงินรางวัล ฉันคิดว่าคำถามดั้งเดิมน่าจะยากเกินไปดังนั้นฉันจึงโพสต์คำถามที่เกี่ยวข้องสามข้อซึ่งน่าจะคุ้มค่ากับความโปรดปรานด้วย ไม่มีใครโพสต์คำตอบใด ๆ ก่อนที่เงินรางวัลจะหมดอายุ หลังจากนั้นฉันสามารถตอบคำถามสองข้อที่เกี่ยวข้อง (คำถามที่ 3 และ 4 ซึ่งกล่าวถึงด้านล่างโพสต์ต้นฉบับของฉัน) ซึ่งแสดงให้เห็นว่าประมาณคุณค่าของเกมที่มีผู้อ้างอิงกับเหรียญกึ่งเอกชนที่สัมพันธ์กัน คำถามเดิมยังไม่ได้รับคำตอบ ฉันยังสนใจในผลลัพธ์ใด ๆ ที่นำเกมที่เกี่ยวข้องระหว่าง PSPACE และ EXPTIME ในคลาสที่ซับซ้อนที่น่าสนใจ โพสต์ต้นฉบับ: คำถามนี้ได้รับแรงบันดาลใจจากการอภิปรายในคำถาม hex Itai ของ เกมตัดสินเป็นเกมที่สองผู้เล่นมากมายคอมพิวเตอร์เล่นโดยการสื่อสารผ่านพหุนามเวลาตรวจสอบที่สามารถพลิกเหรียญส่วนตัว (ดังนั้นจำนวนรอบและปริมาณของการสื่อสารยังเป็นพหุนามเวลาที่สิ้นสุด) ในตอนท้ายของเกมกรรมการจะใช้อัลกอริทึมใน P เพื่อตัดสินว่าใครชนะ การพิจารณาว่าใครเป็นผู้ชนะเกมดังกล่าว (แม้กระทั่งประมาณ) ก็เสร็จสมบูรณ์แล้ว หากคุณมีเหรียญสาธารณะและการสื่อสารสาธารณะเกมดังกล่าวอยู่ใน PSPACE ( ดู Feige และ Killian "Making Games Short." ) คำถามของฉันเกี่ยวกับขอบเขตระหว่างผลลัพธ์ทั้งสองนี้ คำถาม: สมมติว่าคุณมีผู้เล่นสองคนที่ไม่ จำกัด …

31 cc.complexity-theory  gt.game-theory  interactive-proofs 

IP = PSPACE ถูกแสดงรายการเป็นตัวอย่างที่ยอมรับได้ของผลลัพธ์ที่ไม่เกี่ยวข้องและการพิสูจน์สำหรับสิ่งนี้คือว่ามี oracleเช่นนั้นในขณะที่{\ ทรหด coNP} ^ O \ subseteq {\ ทรหด PSPACE} ^ OสำหรับทุกออราเคิลOc o N P O ⊈ I P O c o N P O ⊆ P S P A C E O OOOOcoNPO⊈IPOcoNPO⊈IPO{\sf coNP}^O \not\subseteq {\sf IP}^OcoNPO⊆PSPACEOcoNPO⊆PSPACEO{\sf coNP}^O \subseteq {\sf PSPACE}^OOOO อย่างไรก็ตามฉันได้เห็นเพียงไม่กี่คนที่ให้คำอธิบาย "โดยตรง" เพราะเหตุใดIP=PSPACEIP=PSPACE{\sf IP} …

18 cc.complexity-theory  interactive-proofs  relativization 

เมื่อเร็ว ๆ นี้ Watrous et al ได้พิสูจน์ว่า QIP (3) = PSPACE เป็นผลลัพธ์ที่น่าทึ่ง นี่เป็นผลลัพธ์ที่น่าประหลาดใจสำหรับฉันที่จะพูดน้อยและมันทำให้ฉันคิดถึง ... ฉันสงสัยว่าจะทำอย่างไรถ้าคอมพิวเตอร์ควอนตัมสามารถจำลองได้อย่างมีประสิทธิภาพโดยคอมพิวเตอร์คลาสสิค สิ่งนี้อาจเกี่ยวข้องกับการหารระหว่าง IP และ AM หรือไม่? สิ่งที่ฉันหมายถึงคือ IP นั้นมีลักษณะตามจำนวนโพลิโนเมียลของการโต้ตอบแบบคลาสสิกในขณะที่ AM มีการโต้ตอบแบบคลาสสิก 2 รอบ การจำลองการคำนวณควอนตัมสามารถลดปริมาณการโต้ตอบสำหรับ IP จากพหุนามให้เป็นค่าคงที่ได้หรือไม่?

18 cc.complexity-theory  quantum-computing  space-bounded  conditional-results  interactive-proofs 

เป็นที่ทราบกันดีว่าชุดของภาษาที่มีระบบพิสูจน์การโต้ตอบสองตัวที่ซึ่ง verifier ทำงานในพหุนามเวลา (MIP) คือ NEXP แต่มีขอบเขตที่รู้จักกันในพลังของการพิสูจน์แบบโต้ตอบดังกล่าวเมื่อผู้ถูก จำกัด อำนาจ? เช่นคลาสของภาษาใดบ้างที่ยอมรับการพิสูจน์แบบโต้ตอบสองสุภาษิตกับผู้พิสูจน์พหุนามเวลา? แม่นยำยิ่งขึ้นสมมติว่าในอินพุต x ฉันอนุญาตให้ผู้พิจารณาเวลาคำนวณล่วงหน้า แต่เมื่อการโต้ตอบกับตัวตรวจสอบเริ่มต้นพวกเขาจะถูก จำกัด ให้ใช้พื้นที่พหุนาม (รวมถึงการเก็บผลลัพธ์ของการคำนวณล่วงหน้า) และเวลาพหุนาม เพื่อคำนวณคำตอบสำหรับคำถามของผู้ตรวจสอบ ลองสมมติว่าขอบเขตและเวลาเหล่านี้เป็นพหุนามคงที่ในความยาวของคำถามที่จะถูกส่งโดยตัวตรวจสอบ (แทนที่จะเป็นความยาวของ x) เพื่อตัดทอนวิธีแก้ปัญหาเล็กน้อยที่ผู้ตรวจสอบจะใช้หมด พื้นที่ของผู้พูดผูกพันโดยการถามคำถามเพิ่มเติมอีกหลายคำ เห็นได้ชัดว่านี่เพียงพอสำหรับ NP เกี่ยวกับ PSPACE หากมีเพียงช่องว่างที่ผูกไว้พวกเขาสามารถทำได้ แต่มีระยะเวลาเท่าใด มีผลลัพธ์ที่น่าสนใจในทิศทางนั้นหรือไม่? ฉันยังสนใจในข้อ จำกัด อื่น ๆ ที่อาจพิจารณาในการพิสูจน์ หนึ่งในนั้นคือปริมาณการสื่อสารของผู้ตรวจสอบซึ่งฉันคิดว่าได้รับการศึกษาอย่างละเอียดในบริบทของ PCP อะไรคือข้อ จำกัด ที่น่าสนใจอื่น ๆ

17 cc.complexity-theory  interactive-proofs 

ระบบพิสูจน์ความน่าจะเป็นโดยทั่วไปจะเรียกว่าข้อ จำกัด ของซึ่งอาร์เธอร์สามารถใช้บิตสุ่มเท่านั้นและสามารถตรวจสอบบิตของใบรับรองการพิสูจน์ที่ส่งโดย Merlin (ดูhttp://en.wikipedia.org/wiki/Interactive_proof_system#PCP )M A f ( n ) g ( n )PCP[f(n),g(n)]PCP[f(n),g(n)]\mathcal{PCP}[f(n),g(n)]MAMA\mathcal{MA}f(n)f(n)f(n)g(n)g(n)g(n) อย่างไรก็ตามในปี 1990 Babai, Fortnow และลุนด์ได้รับการพิสูจน์ว่าดังนั้นไม่ว่าข้อ จำกัด อะไรคือพารามิเตอร์ ( ) ที่ ?PCP[poly(n),poly(n)]=NEXPPCP[poly(n),poly(n)]=NEXP\mathcal{PCP}[poly(n), poly(n)] = \mathcal{NEXP}f(n),g(n)f(n),g(n)f(n),g(n)PCP[f(n),g(n)]=MAPCP[f(n),g(n)]=MA\mathcal{PCP}[f(n), g(n)] = \mathcal{MA}

15 cc.complexity-theory  pcp  interactive-proofs 

คำนำ คลาสAM ที่ซับซ้อนนั้นเป็นปัญหาที่สามารถแก้ไขได้ด้วยระบบการพิสูจน์แบบโต้ตอบสองรอบระหว่างผู้ตรวจสอบ "Merlin" และผู้ตรวจสอบ "Arthur" ปัญหา - ซึ่งทดสอบคุณสมบัติบางอย่างของวัตถุX - เป็นAMหาก: สำหรับกรณีที่ใช่ข้อความ "ท้าทาย" แบบสุ่ม (ของความยาวพหุนาม) อาร์เธอร์สร้างความน่าจะเป็นสูงเมอร์ลินสามารถกำหนดคำตอบ (พหุนามความยาว) ซึ่งอาร์เธอร์สามารถใช้เป็นหลักฐานว่าXมีคุณสมบัติ; สำหรับNOกรณีสำหรับข้อความท้าทายสุ่มอาร์เธอร์สร้างมีโอกาสสูงเมอร์ลินไม่สามารถกำหนดตอบกลับใด ๆ ที่สามารถนำมาใช้เป็นหลักฐานสำหรับทรัพย์สินที่ถูกทดสอบบนX - คลาสที่อธิบายไม่เปลี่ยนแปลงหากเราต้องการให้เมอร์ลินให้คำตอบที่เป็นประโยชน์ไม่เพียง แต่มีโอกาสสูงเท่านั้น แต่สำหรับความท้าทายใด ๆที่อาร์เธอร์อาจออก เราอาจพูดในกรณีนี้ว่าเราต้องการคำตอบของเมอร์ลินเสมอเพื่อให้ถูกต้องสำหรับอินสแตนซ์ของYESและสิ่งที่การทดสอบของอาเธอร์คือความถูกต้องของคำตอบ ดังนั้นหากเมอร์ลินสร้างคำตอบที่ไม่ถูกต้องอาร์เธอร์ก็รู้ว่าอินสแตนซ์ของปัญหานั้นไม่ใช่อินสแตนซ์ นี่คือการตั้งค่าที่ฉันต้องการพิจารณา ตัวอย่างคือกราฟ Non-Isomorphism: กำหนดกราฟGและHด้วยชุดจุดสุดยอดชุดเดียวกันอาเธอร์สามารถสุ่มเลือกหนึ่งในกราฟและสร้าง "สัญญาณรบกวน" รุ่นFโดยอนุญาตให้ติดฉลากจุดสุดยอดส่งการนำเสนอของมันไปยังเมอร์ลิน . หากกราฟทั้งสองนั้นไม่ใช่แบบ isomorphic, เมอร์ลินสามารถระบุได้ว่าGหรือH Arthur เลือกโดยการพิจารณาว่าF ≅ GหรือF ≅ Hและสามารถตอบสนองโดยการระบุว่าทั้งสองFเป็น isomorphic ไปหรือไม่ หากกราฟสองกราฟGและHเป็น isomorphic อย่างไรก็ตามเมอร์ลินไม่สามารถแยกแยะกราฟใดได้Fมาจากและคำตอบใด ๆ …

15 cc.complexity-theory  interactive-proofs  unique-solution 

คำถามแรกของฉันคือว่าการจำแนกลักษณะของระบบการพิสูจน์แบบโต้ตอบเป็นที่รู้จักกันสำหรับคลาสที่ซับซ้อนคลาสสิกทั้งหมดหรือไม่ ฉันจะเรียก P, NP, PSPACE, EXP, NEXP, EXPSPACE, ฟังก์ชั่นแบบเรียกซ้ำและนับจำนวนคลาสสิก โดยเฉพาะการจำแนกลักษณะของระบบการพิสูจน์แบบโต้ตอบสำหรับฟังก์ชั่นแบบเรียกซ้ำและการนับซ้ำ? ฉันรู้แค่ว่า IP = PSPACE และ MIP = NEXPTIME โดย `รู้ 'หมายถึงฉันเข้าใจคำจำกัดความของวัตถุทั้งสองด้านของความเสมอภาคและอาจเข้าใจความเท่าเทียมกัน คำถามที่สองของฉันคือไม่ว่าจะมีการสรุปกราฟิกของระบบพิสูจน์การโต้ตอบชนิดต่าง ๆ และคลาสความซับซ้อนที่พวกเขามีลักษณะ โดยเฉพาะฉันต้องการอ้างอิงถึงตัวเลขที่คล้ายกับภาพของตัวละครที่อธิบายลักษณะความซับซ้อนของอิมเมอร์แมน

14 cc.complexity-theory  big-picture  interactive-proofs 

Beigi, Shor และ Watrous มีบทความที่ดีมากเกี่ยวกับพลังของการพิสูจน์เชิงควอนตัมแบบควอนตัมพร้อมข้อความสั้น ๆ พวกเขาพิจารณาตัวแปรสามตัวของ 'ข้อความสั้น' และตัวแปรเฉพาะที่ฉันสนใจคือตัวแปรที่สองของพวกเขาที่สามารถส่งข้อความจำนวนเท่าใดก็ได้ แต่ความยาวข้อความทั้งหมดต้องเป็นลอการิทึม โดยเฉพาะอย่างยิ่งพวกเขาแสดงให้เห็นว่าระบบการพิสูจน์แบบโต้ตอบดังกล่าวมีพลังการแสดงออกของ BQP สิ่งที่ฉันต้องการทราบคือว่ามีผลลัพธ์แบบอะนาล็อกสำหรับการตั้งค่าแบบมัลติพอยต์ไม่ว่าจะเป็นแบบคลาสสิกหรือแบบควอนตัม verifier มีความซับซ้อนใด ๆ ที่ไม่น่าสนใจสำหรับการพิสูจน์เชิงโต้ตอบแบบหลายผู้พิสูจน์ซึ่งความยาวทั้งหมดของข้อความทั้งหมดถูก จำกัด ให้เป็นลอการิทึมในขนาดของปัญหาหรือไม่?

14 cc.complexity-theory  quantum-computing  interactive-proofs 

ฉันจะโน้มน้าวใจให้ Coq ได้อย่างไรว่าฟังก์ชั่นวนซ้ำที่ระบุด้านล่างนี้ยุติลง? ฟังก์ชั่นใช้เวลาสองข้อโต้แย้งอุปนัย การสอบถามซ้ำจะสิ้นสุดลงเนื่องจากการโต้แย้งใด ๆ ถูกย่อยสลาย ฟังก์ชั่นนี้ใช้ต้นไม้สองต้นเป็นอินพุต Inductive Tree := | Tip: Tree | Bin: Tree -> Tree -> Tree. บนต้นไม้ฉันชอบทำรูปแบบการเหนี่ยวนำต่อไปนี้ Inductive TreePair := | TipTip : TreePair | TipBin : Tree -> Tree -> TreePair | BinTip : Tree -> Tree -> TreePair | BinBin : TreePair -> …

14 interactive-proofs  proof-assistants  coq 

ทฤษฎีบทการทดลองแบบขนานของ Raz คือผลลัพธ์ที่สำคัญใน PCP, ความไม่เหมาะสม ฯลฯ ทฤษฎีบทนี้ได้รับการ fomalized ดังนี้ เกม , ที่เป็นเซต จำกัดคือการกระจายในและคำกริยา \} กำหนดค่าของเกม และเกมn- fold G ^ n = (\ mathcal {S} ^ n, \ mathcal {T} ^ n, \ mathcal {A} ^ n, \ mathcal { B} ^ n \ n Pi ^, ^ V n) ทฤษฎีบทบอกว่าถ้าวี …

13 cc.complexity-theory  complexity-classes  pcp  interactive-proofs 

ฉันได้เรียนรู้เกี่ยวกับบทพิสูจน์เชิงโต้ตอบเมื่อเร็ว ๆ นี้และฉันก็สงสัยว่าสิ่งทั้งหมดนั้นไม่มีอะไรมากไปกว่าความอยากรู้อยากเห็นทางทฤษฎีหรือว่ามันมีการใช้งานจริง ฉันคิดว่าฉันจะเริ่มต้นด้วยตัวอย่างที่เกิดขึ้นกับฉันในห้องอาบน้ำ: เมื่อไม่นานมานี้มีการประกาศข่าวว่า "หมายเลขของพระเจ้า" = 20 (หมายเลขของพระเจ้าคือจำนวนขั้นตอนที่น้อยที่สุดที่จำเป็นในการแก้ Cube ของรูบิค) ในขณะที่สิ่งนี้น่าสนใจทีเดียวดูเหมือนว่าจะมีการบิดตัวเล็กน้อย ... นี่ไม่ใช่ข้อพิสูจน์ "ปกติ" ในตำราเรียนความรู้สึกเชิงพหุนามเวลาที่พิสูจน์ได้ การพิสูจน์นี้มีรสชาติ "กำลังดุร้าย" อย่างชัดเจนโดยที่ฉันหมายความว่าเป็ดในห้องทดลองของดร. มอร์ลี่ย์พยายามพันล้านและการรวมกันของก้อนลูกบาศก์ในซูเปอร์คอมพิวเตอร์ขนาดใหญ่ของ Google เพื่อค้นหาขอบเขตล่างที่เรียบร้อยและแน่น อย่างไรก็ตามคำถามคือเราจะมั่นใจได้อย่างไรว่าดร. มอร์ลี่ย์เดวิดสันและทีมของเขาซื่อสัตย์? ทันทีที่สามารถโยนการโต้แย้งจากผู้มีอำนาจออกไปนอกหน้าต่างเพราะมันไม่ได้เข้มงวดทางคณิตศาสตร์ ทางเลือกที่ชัดเจนคือการตรวจสอบหลักฐานอีกครั้งโดยการตรวจสอบซอร์สโค้ดและดำเนินการทั้งหมดอีกครั้งซึ่งดูเหมือนว่าจะเป็นการเสียทรัพยากรการคำนวณที่น่ากลัวอย่างมากและไม่ต้องพูดถึงความจริงที่ว่าทุกคนที่ต้องการเชื่อมั่นในสิ่งนี้ จำเป็นต้องทำในเวิร์กสเตชันของเขาเอง - ข้อเสนอที่น่าเบื่อมากและไม่เป็นที่พอใจสำหรับความสงสัยที่แท้จริง ดังนั้นสิ่งนี้จึงดูเหมือนว่าเป็นโรคเนื้องอกในสมองชนิดหนึ่ง ดังนั้นสิ่งที่ผมเชื่อว่าเป็นตรงนี้เป็นสถานการณ์ที่เราต้องพิสูจน์โต้ตอบ Supercomputer ของ Google อาจเป็น Prover ที่ทรงพลัง แต่หลอกลวงและเราเป็นผู้สงสัยหากไม่ใช่สมาชิกสาธารณะของสาธารณะก็คือ Verifiers ที่มีข้อ จำกัด ของพหุนาม ถ้าเราสามารถสืบค้นจำนวน "พหุนาม" ของเราได้หลายครั้งและเชื่อมั่นในขอบเขตที่ต่ำกว่านี้เราอาจมั่นใจได้ว่าเขาถูกต้องโดยปราศจากข้อสงสัยที่สมเหตุสมผล ดังนั้นดูเหมือนว่าปัญหาการตัดสินใจ "หมายเลขของพระเจ้าคือ <20" อยู่ในหรือสามารถปรับปรุงได้ดังต่อไปนี้ (ไม่เป็นทางการ)Πพี2Π2พี\Pi_2^p …

13 proofs  puzzles  interactive-proofs 

ผมอ่านใน SP จอร์แดน, D. Gosset, PJ รัก " ปัญหาที่สมบูรณ์สำหรับ stoquastic Hamiltonians และเมทริกซ์มาร์คอฟQMAQMAQMA " ว่ามันไม่น่าที่ MQMA⊆AMQMA⊆AMQMA \subseteq AM ฉันรู้สึกประหลาดใจเกี่ยวกับการยืนยันนี้ ดังนั้นความสัมพันธ์ที่เหมาะสมระหว่างและA Mคืออะไร?QMAQMAQMAAMAMAM

12 cc.complexity-theory  complexity-classes  quantum-computing  interactive-proofs  qma 

ความสมบูรณ์และความสมบูรณ์ในระบบการพิสูจน์แบบโต้ตอบมีการกำหนดอย่างไม่เป็นทางการเป็น: สมบูรณ์:ถ้าคำสั่งที่เป็นความจริงที่ซื่อสัตย์สอบมาตรสามารถโน้มน้าวให้เที่ยงตรงตรวจสอบความจริงนี้WHP ความสมบูรณ์:หากคำแถลงนั้นเป็นเท็จผู้ทำการโกงไม่สามารถโน้มน้าวผู้ตรวจสอบที่ซื่อสัตย์ (จากความถูกต้องของข้อความเท็จ) whp คำว่า "whp" ถูกตีความว่าเป็น "ที่มีความน่าจะเป็นมากกว่า (พูด) 2/3" หรือ "ที่มีความน่าจะเป็นมากกว่าส่วนกลับของพหุนามใด ๆ " ดูเหมือนไม่มีสาระสำคัญต่อการอภิปรายต่อไปนี้เป็นสิ่งที่ตีความของ "whp" ให้เลือก ส่วนที่ยุ่งยากคือวิธีการคำนวณความน่าจะเป็น: ในบางแหล่งความน่าจะเป็นถูกนำไปใช้กับเหรียญสุ่มของทั้งผู้ตรวจสอบและผู้ตรวจสอบ ในแหล่งข้อมูลอื่นความน่าจะเป็นจะคำนวณจากเหรียญสุ่มของเครื่องตรวจสอบเท่านั้น หลังมักจะเป็นธรรมว่า: "สิ่งที่เหรียญสุ่มของนักปราชญ์เป็นผู้ตรวจสอบการตัดสินใจที่ถูกต้อง สำหรับฉันแล้วคำจำกัดความความน่าจะเป็นทั้งสองดูเหมือนกัน แต่ฉันไม่สามารถพิสูจน์ได้ ฉันถูกไหม? คุณสามารถพิสูจน์ได้ว่าเทียบเท่าหรือไม่

11 cc.complexity-theory  interactive-proofs 

เมอร์ลินผู้ซึ่งมีทรัพยากรการคำนวณมากมายต้องการโน้มน้าวอาเธอร์ว่า สำหรับ( N , M , k )กับk = O ( log N )และม. = O ( N ) การคำนวณผลรวมนี้ในวิธีที่ตรงไปตรงมา (การยกกำลังแบบแยกส่วนและการเพิ่ม) ใช้เวลาN ( บันทึกบันทึกN ) 2 + o (m | Σp ≤ N, p ไพรม์ พีkม.|Σพี≤ยังไม่มีข้อความ, พี สำคัญพีkm|\sum_{p\le N,\ p\text{ prime}}p^k( N, m , k )(ยังไม่มีข้อความ,ม.,k)(N,m,k)k = O ( บันทึกยังไม่มีข้อความ)k=O(เข้าสู่ระบบ⁡ยังไม่มีข้อความ)k=O(\log …

11 cc.complexity-theory  ds.algorithms  time-complexity  interactive-proofs  nt.number-theory