นี่เป็นปัญหาการเดินทางที่ดีที่สุดภายใต้กำหนดเวลา NP-hard บนต้นไม้หรือไม่?

เพื่อนคนหนึ่งของฉันถามฉันเกี่ยวกับปัญหาการตั้งเวลาต่อไปนี้บนต้นไม้ ฉันคิดว่ามันสะอาดและน่าสนใจมาก มีการอ้างอิงสำหรับมันหรือไม่?

ปัญหา: มีต้นไม้เป็น , ขอบแต่ละมีค่าใช้จ่ายในการเดินทางสมมาตร 1 สำหรับแต่ละจุดสุดยอดมีงานที่จะต้องทำก่อนที่จะกำหนดเส้นตายฉันงานนี้ยังมีการแสดงเป็นฉันแต่ละงานมีค่าเหมือนกัน 1 เวลาในการดำเนินการคือ 0 สำหรับแต่ละภารกิจคือการไปที่งานก่อนถึงกำหนดจะเท่ากับ โดยไม่สูญเสียของทั่วไปให้แสดงว่ารากและสมมติว่ามีงานที่ไม่มีอยู่ที่ 0มียานพาหนะที่ $T(V,E)$ $v_i$ $d_i$ $v_i$ $v_0$ $v_0$ $v_0$ ในเวลา 0. นอกจากนี้เราคิดว่าทุกจุดสุดยอด $d_i \ge dep_i$ , ยืนสำหรับความลึกของฉันนี่คือตัวเองชัดเจนจุดสุดยอดที่มีกำหนดเวลาน้อยกว่าความลึกของมันควรจะนำมาเป็นค่าเริ่มต้น ปัญหาขอให้ค้นหาการจัดตารางเวลาที่เสร็จสิ้นภารกิจให้มากที่สุดเท่าที่จะทำได้ $dep_i$ $v_i$

ความคืบหน้า:

หากทรีถูก จำกัด ให้พา ธ ก็จะอยู่ในผ่านการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิก $\mathsf{P}$
ถ้าทรีมีการวางนัยทั่วไปให้กับกราฟแสดงว่ามันอยู่ในสมบูรณ์ $\mathsf{NP}$
ฉันมีอัลกอริทึมโลภที่ง่ายมากซึ่งเชื่อว่ามี 3 ปัจจัย apporoximation ฉันยังไม่ได้พิสูจน์อย่างสมบูรณ์ ถูกต้องฉันสนใจมากขึ้นเกี่ยวกับผลลัพธ์ NP-hard :-)

ขอบคุณสำหรับคำแนะนำ.

ds.algorithms graph-algorithms np-hardness

— เป็งจาง
แหล่งที่มา

ในกราฟที่สมบูรณ์งานจะง่ายใช่มั้ย เพียงใช้อัลกอริทึมโลภที่เรียบง่าย ...

— โจ

@ Joe: ใช่ เพราะทุกขอบต้องการการเดินทาง 1 หน่วยดังนั้นจึงไม่มีความชอบใน "ทางแยก" คุณยังสนใจปัญหานี้อยู่หรือไม่ถ้าใช่ บางทีเราสามารถพูดคุยทางอีเมล :-)

— Peng Zhang

จะเกิดอะไรขึ้นหากกำหนดเวลาทั้งหมดเหมือนกันและ / หรือเราจะถามว่างานทั้งหมดสามารถเสร็จสิ้นได้หรือไม่

— domotorp

@domotorp: ถ้ามันขอให้ทำภารกิจทั้งหมดให้เสร็จภายในเวลาที่กำหนดหนึ่งคำตอบคือใช่ถ้าหากมันเป็นวันสุดท้ายของชุด

. ค้นหาในเชิงลึกก่อน สำหรับปัญหาที่ดีที่สุดในกรณีที่

ฉันไม่รู้ว่ามันง่ายไหม มีหลายตัวแปรเกี่ยวกับปัญหานี้เช่นการพิจารณาว่ากำหนดเวลารับค่าจากเซต จำกัด ซึ่งภาวะเชิงการนับเป็นค่าคงที่หรือไม่ ขอบคุณมากสำหรับความคิดเห็นของคุณ

d \geq | V |

$d\ge |V|$

d < | V |

$d< |V|$

— Peng Zhang

ฉันจะบอกว่า NP-hard ดูสวนสัตว์การกำหนดเวลายกเว้นถ้าฉันเข้าใจผิดปัญหาของคุณ

— Gopi

คำตอบ:

ไม่แน่ใจว่านี่เป็นคำตอบของคุณ (ดูด้านล่าง) แต่ยาวเกินไปสำหรับความคิดเห็น

ฉันว่าปัญหาของคุณเป็นอย่างไร: $(P|tree;p_i=1|\Sigma T_i)$ โดยที่:

ย่อมาจากโปรเซสเซอร์ที่เป็นเนื้อเดียวกัน $P$
"tree" หมายถึงข้อ จำกัด ที่สำคัญกว่ารูปแบบของต้นไม้
หมายถึงน้ำหนักของงานเท่ากับ 1 และ $p_i=1$
$\Sigma T_i$

หากเป็นกรณีนี้แล้วปัญหาของคุณคือ NP-ยาก: คุณสามารถเห็นมันเป็นลักษณะทั่วไปของการลดความเชื่องช้าทั้งหมดในเครื่องเดียวที่มีข้อ จำกัด มีความสำคัญ บทความนี้ระบุว่าสำหรับหลาย ๆ โซ่เชิงเส้นมันเป็น NP-hard ในโปรเซสเซอร์เดียว การแปลงสภาพง่าย ๆ คือนำต้นไม้ในรูปแบบหนึ่งรากและโซ่เชิงเส้นเริ่มต้นจากราก

อย่างไรก็ตามฉันรู้สึกประหลาดใจเพราะคุณดูเหมือนจะบอกว่าสำหรับกรณีของการเชื่อมโยงเชิงเส้นเดียวคุณจะใช้การเขียนโปรแกรมแบบไดนามิก ฉันไม่เห็นว่าทำไมคุณถึงต้องการ DP เนื่องจากดูเหมือนว่าเมื่อกำหนดตารางโซ่แบบเชิงเส้นเดียวคุณไม่มีทางเลือกมากนักเนื่องจากข้อ จำกัด มาก่อน: ตัวเลือกเดียว ดังนั้นฉันอาจเข้าใจผิดปัญหาของคุณ

— Gopi
แหล่งที่มา

ปัญหาของฉันดูเหมือนแตกต่างจากของคุณ ของฉันคือ "ต้นไม้ที่หยั่งรากเดินทางเวลาหน่วยราคาขอบแต่ละจุดสุดยอดด้วยภารกิจที่มีกำหนดเวลางานไม่จำเป็นต้องมีเวลา precess เริ่มต้นจากรูท ดังนั้นจึงไม่มีลำดับความสำคัญไม่มีเวลาที่จำเป็นในการประมวลผลงาน ขอบคุณมาก.

— Peng Zhang

@PengZhang ถ้าเป็นต้นไม้ที่หยั่งรากแล้วจะมีความสำคัญกว่านี้ไหม? สำหรับค่าใช้จ่ายบนขอบ (สำคัญกว่า?) หรือในงานดูเหมือนว่าฉันจะเป็นสิ่งเดียวกัน ฉันไม่เห็นความแตกต่างระหว่างทั้งสอง ในที่สุดจำนวนงานที่สามารถดำเนินการได้หากคุณลดจำนวนงานที่เสร็จสิ้นตามกำหนดเวลามันจะเทียบเท่ากับการเพิ่มจำนวนงานที่สามารถดำเนินการให้เสร็จได้สูงสุด บางทีคุณอาจวาดรูปสิ่งที่คุณคาดหวังได้บ้าง

— Gopi

ฉันไม่เห็นความสัมพันธ์ที่ชัดเจนระหว่างสองปัญหา ในปัญหาเดิมค่าใช้จ่ายในการเยี่ยมชมโหนดถัดไปขึ้นอยู่กับว่ามีการเยี่ยมชมโหนดใดในขั้นตอนก่อนหน้า ในการจัดตารางเวลาที่มีลำดับความสำคัญมาก่อนค่าใช้จ่ายของงานต่อไปที่จะดำเนินการจะไม่ขึ้นอยู่กับงานที่ได้รับการประมวลผลในขั้นตอนก่อนหน้า

— โยชิโอะโอกาโมโตะ

1, 2, \dots, n

$1,2,\cdots, n$

f (t, l, r)

$f(t,l,r)$

[l, r]

$[l,r]$

t

$t$

l

$l$

g (t, l, r)

$g(t,l,r)$

f (t, l, r)

$f(t,l,r)$

r

$r$

f (t, l, r)

$f(t,l,r)$

{f (\cdot, l + 1, r), g (\cdot, l, r - 1)

$\{f(\cdot,l+1,r), g(\cdot,l,r-1)$

t, l, r

$t,l,r$

— Peng Zhang

@PengZhang โอเคฉันคิดว่าฉันมีความเข้าใจที่ดีขึ้นในสิ่งที่คุณหมายถึง ฉันยังเชื่อว่ามีใครสามารถปรับเปลี่ยนกระดาษที่ฉันให้ได้อย่างง่ายดายโดยพิจารณาจากต้นไม้พิเศษที่กิ่งก้านเป็นเส้นทาง (ดังนั้นเส้นทางที่หยั่งราก)

— Gopi

เพื่อให้เป็นจริงเราต้องตั้งสมมติฐาน ดูความคิดเห็นด้านล่าง

$t_a$ $t_b$

$|V|$

— โจ
แหล่งที่มา

f [a, t, t^{'}]

$f[a, t, t']$

a

$a$

[t, t^{'}]

$[t,t']$

a

$a$

จุด (1) ไม่ใช่ปัญหามากเท่ากับจุด (2) เพื่อให้ความคิดของฉันทำงานได้อย่างที่ฉันคิดไว้เป็นครั้งแรกคุณต้องไม่ออกจากระบบและเข้าสู่ต้นไม้ย่อยหลาย ๆ ครั้ง ไม่ชัดเจนว่าทางออกที่ดีที่สุดไม่ได้กระโดดไปมารอบ ๆ ต้นใบและสิ่งที่อยู่ใกล้กับรากแล้วเดินไปที่ใบแล้วไปยังอีกใบหนึ่งห่างจากอีก 2 ต้น ฯลฯ คุณอาจจะสามารถ เพื่อใช้ประโยชน์จากความจริงที่ว่าคุณจะได้รับโหนดทั้งหมดบนเส้นทางที่คุณเดิน โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้ามีเด็กคนใดเคยมาเยี่ยมชม

— โจ

: ในประเด็นของฉันจุด (1) เป็นปัญหาแน่นอน สำหรับจุด (2) ฉันเรียกว่าข้อ จำกัด "ไม่มีการป้อนซ้ำ" เป็นข้อ จำกัด "การค้นหาครั้งแรกลึก" ข้อ จำกัด DFS ถูกนำมาใช้โดยทั่วไปในวรรณกรรม และอยู่ภายใต้ข้อ จำกัด ที่ว่าปัญหาของฉันเป็นพหุนามแน่นอนตราบใดที่ระดับสูงสุดของต้นไม้ที่เป็นค่าคงที่ ดังนั้นฉันสงสัยว่าคำถามของฉันคือ NP-hard ขอบคุณมาก.

— Peng Zhang

เกี่ยวกับข้อ จำกัด DFS มันเป็นเรื่องง่ายที่จะสร้างตัวอย่างที่ลำดับที่ดีที่สุดละเมิดข้อ จำกัด นี้ พิจารณาต้นไม้ไบนารีที่สมดุลและสมบูรณ์พร้อม 7 โหนด ปล่อยให้ใบไม้ 2 ใบในทรีย่อยทางซ้ายมีกำหนดเวลา 2 และ 12, ใบไม้ 2 ใบในทรีย่อยด้านขวามีกำหนดเวลา 8 และ 6 และโหนดภายในมีกำหนดเวลา 100 คุณสามารถเยี่ยมชมโหนดทั้งหมดได้โดยไปที่ใบตามลำดับ 2,6,8 12; คำสั่งซื้ออื่นใดที่ละเมิดอย่างน้อยหนึ่งกำหนดเวลา

— mhum

ปัญหาของการได้รับการประมาณค่าคงที่สำหรับกรณีนี้หรือพิสูจน์ว่า NP-Hard ยังคงเปิดอยู่และผลลัพธ์ใด ๆ ก็จะทำให้สิ่งพิมพ์ที่ดี กรณีพิเศษบางอย่างได้รับการแก้ไขแล้ว ฉันพร้อมกับคนอื่นมีผลบางส่วนที่แก้กรณีพิเศษเช่นแมงมุมต้นไม้ที่มีความสูงคงที่ แต่ปัญหาทั่วไปสำหรับต้นไม้ยังไม่ได้รับการแก้ไข

— vgta
แหล่งที่มา