มีการประยุกต์ใช้เทคนิคในการวิเคราะห์จริงกับวิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎีหรือไม่

ฉันดูไกลและกว้างสำหรับแอปพลิเคชั่นดังกล่าวและส่วนใหญ่จะสั้น ฉันสามารถหาแอพพลิเคชั่นมากมายของทอพอโลยีและโครงสร้างที่คล้ายกันในชุดนับได้ (หรือนับไม่ได้) แต่ฉันไม่ค่อยพบชุดที่นับไม่ได้เป็นวัตถุของการศึกษาโดยนักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์และจึงนำไปสู่ความต้องการเทคนิคจากการวิเคราะห์

ที่นี่มีสองหลักสูตรที่เกี่ยวข้อง:

• วิธีการวิเคราะห์ใน combinatorics และ CSโดย Ehud Friedgut ที่มหาวิทยาลัยโตรอนโต (2009),
• วิธีการวิเคราะห์ใน Combinatorics และวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์โดย Irit Dinur และ Ehud Friedgut ที่ Hebrew University (2006)

ตรวจสอบบันทึกของ Ryan O'Donnell สำหรับหนังสือของเขา:

• การวิเคราะห์ฟังก์ชั่นบูลีนโดย Ryan O'Donnell

และลิงค์ที่มุมบนขวา

ดูหนังสือคณิตศาสตร์คณิตศาสตร์ - มูลนิธิวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์โดยเกรแฮม Knuth และ Patashnik ในบทที่ 9 พวกเขาอธิบายสูตรบวก Maclaurin-ออยเลอร์ นี่เป็นเทคนิคที่ช่วยให้คุณสามารถประมาณผลรวมแน่นอนโดยใช้อินทิกรัล ในบทเดียวกันหน้า 466 พวกเขาใช้เทคนิคนี้เพื่อประมาณจำนวนฮาร์มอนิก (ซึ่งปรากฏในหลาย ๆ พื้นที่ของ TCS) เกิดขึ้นกับฉันครั้งเดียวที่ฉันต้องใช้มันและลงเอยด้วยการแก้ปัญหาอินทิกรัลโดยใช้เทคนิคการประมาณเชิงเส้นกำกับสำหรับสมการอนุพันธ์ต่างกัน!

มีทฤษฎีข้อ จำกัด ของลำดับกราฟที่หนาแน่นซึ่งพัฒนาขึ้นในงานของ Lovasz และ B. Szegedy มันมีความหมายสำหรับปัญหาการทดสอบคุณสมบัติบางอย่างบนกราฟ ดูhttp://www.cs.elte.hu/~lovasz/hom-stoc.pdf โดยพื้นฐานแล้วความคิดก็คือพวกเขากำหนดตัวชี้วัดที่เหมาะสมบนกราฟและแนวคิดในการ จำกัด ลำดับของกราฟแล้วพวกเขาก็แสดงให้เห็นว่าคุณสมบัติของกราฟนั้นสามารถทดสอบได้หากฟังก์ชันที่แมปกราฟกับระยะทางแก้ไขกับคุณสมบัตินั้นต่อเนื่องใน พื้นที่ตัวชี้วัดบนกราฟที่กำหนดไว้

และแน่นอนว่ามีบทประพันธ์ชิ้นเล็กชิ้นน้อยของ Flajolet และ Sedgewick ซึ่งอุทิศให้กับการใช้วิธีการวิเคราะห์สำหรับการวิเคราะห์เชิงซีมิโทโทติกของโครงสร้าง combinatorial รวมถึงการวิเคราะห์อัลกอริธึม นี่คือการสร้างเทคนิคการทำงานส่วนใหญ่อาศัยการวิเคราะห์ที่ซับซ้อน

ดังที่ Shir พูดถึงความไม่เท่าเทียมของเซ่นปรากฏตลอดเวลา โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการพิสูจน์ขอบเขตในปัญหา combinatorial ตัวอย่างเช่นพิจารณาปัญหาต่อไปนี้:

ป.ร. ให้ครอบครัวของของส่วนย่อยของV = { 1 , ... , n }มันแยกกราฟG = ( V , E )จะถูกกำหนดโดย{ ฉัน, J } ∈ Eถ้าหากว่าS ฉัน ∩ S เจ ≠ ∅ สมมติว่าขนาดที่ตั้งไว้โดยเฉลี่ยคือrและขนาดเฉลี่ยของทางแยกของจำนวนคู่ที่มากที่สุดคือ k แสดงว่า$S_1, \ldots, S_n$$V = \{1, \ldots, n\}$$G = (V, E)$$\{i, j\} \in E$$S_i \cap S_j \neq \emptyset$$r$ )$|E| \geq \frac{n}{k} \cdot \binom{r}{2}$

พิสูจน์:

ขอให้เรานับคู่เช่นว่าx ∈ Vและx ∈ S ฉัน ∩ S J ขอให้เราแก้ไขครั้งแรก( S ฉัน , S J )เราจะเห็นว่ามีที่มากที่สุดkทางเลือกดังกล่าว รับค่าทั้งหมดของ( S i , S j )เช่นกันเรามีขอบเขตบนของk ⋅ ($(x, (S_i, S_j))$$x \in V$$x \in S_i \cap S_j$$(S_i, S_j)$$k$$(S_i, S_j)$. ตอนนี้เราแก้ไข x มันง่ายที่จะเห็นว่าแต่ละxมี ( d(x$k \cdot \binom{n}{2} = k \cdot |E|$$x$วิธีการที่จะเลือก(Sฉัน,SJ) โดยความไม่เท่าเทียมของเซ่นเรามี:$\binom{d(x)}{2}$$(S_i, S_j)$

.$n \cdot \binom{r}{2} = n \cdot \binom{\frac{1}{n}\sum_x d(x)}{2} \leq \sum_x \binom{d(x)}{2} \leq k \cdot |E|$

ในที่สุดเราก็รวมคำศัพท์เพื่อให้มี.$\frac{n}{k} \cdot \binom{r}{2} \leq |E|$

ในขณะที่นี่เป็น "mathy" มากกว่า CS เล็กน้อยมันทำหน้าที่แสดงให้เห็นว่าเครื่องมือสำหรับฟังก์ชั่นนูนสามารถใช้ - ในการเพิ่มประสิทธิภาพ combinatorial โดยเฉพาะอย่างยิ่ง

การคำนวณอย่างมีประสิทธิภาพกับ Dedekind Realsโดย Andrej Bauer และ Paul Taylor

เทคนิคที่พบบ่อยและมีประโยชน์บ่อยครั้งเมื่อเข้าใกล้ปัญหาในคณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่องถูกฝังไว้ในโดเมนต่อเนื่องเนื่องจากจะทำให้สามารถใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ได้หลากหลายยิ่งขึ้น ดังนั้นการแก้ไขคำตอบของฉัน: นอกเหนือจากฟิลด์ที่การวิเคราะห์จริงจะปรากฏตามธรรมชาติใน (กราฟิก, การประมวลผลสัญญาณและสาขาอื่น ๆ ที่เลียนแบบหรือโต้ตอบกับโลกทางกายภาพ) มันปรากฏขึ้นโดยทั่วไปทุกที่และในสถานที่ที่มันไม่ได้ - เดาว่ามันจะเป็นในอนาคต

ตัวอย่างรวดเร็ว:

1. ข้อผิดพลาดการแก้ไขรหัส: รหัส Reed โซโลมอนใช้พหุนาม ขอบเขตบางอย่างเกี่ยวกับรหัสเกี่ยวข้องกับการดูฟังก์ชั่นตัวบ่งชี้ของรหัสเป็นฟังก์ชั่นจากคิวบ์ไม่ต่อเนื่องกับ reals จึงใช้การแปลงฟูริเยร์และเทคนิคอื่น ๆ
2. วิธีการความน่าจะเป็น - ทฤษฎีบทความเข้มข้นของการวัด (เครื่องมือวิเคราะห์) ใช้เพื่อแสดงคุณสมบัติต่างๆของกราฟแบบสุ่ม (เช่นหมายเลขสี) ดูหนังสือของ Alon and Spencer

3. $v$$e$$\frac {1}{61} \cdot \frac {e^3} {v^2}$

4. $k-1$$k$$k-1$

ถ้าฉันจำได้อย่างถูกต้องทฤษฎีบทของ Noga Alon ในการแยกสร้อยคอใช้ปัญหาต่อเนื่อง

ดู: http://www.cs.tau.ac.il/~nogaa/PDFS/nocon.pdf

นอกจากนี้ยังมีการกล่าวถึงในหน้าวิกิที่นี่: http://en.wikipedia.org/wiki/Hobby%E2%80%93Rice_theorem

เขตข้อมูลของการวัดที่ จำกัด ขอบเขตทรัพยากรใช้การวัด Lebesgue กับคลาสความซับซ้อน ความคิดคือการได้รับการแยกระหว่างคลาสความซับซ้อนโดยการพูดคุยเกี่ยวกับ "ขนาด" สัมพัทธ์ของชุดเหล่านี้

มีกระดาษที่สวยงามQuantum One-Way Communication มีความแข็งแกร่งกว่าการสื่อสารแบบคลาสสิกโดย Boaz Klartag & Oded Regev ซึ่งใช้เทคนิคจำนวนมากจากการวิเคราะห์จริงซึ่งผิดปกติใน TCS รวมถึง Radon transform, harmonics & hypercontractive ความไม่เท่าเทียมกันในทรงกลม (ไม่ต่อเนื่อง) หน่วย

ขอบเขตล่างแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลสำหรับขนาดของวงจรจริงโมโนโทน (1997)โดย Haken, Cook

ฉันมักจะพบการเชื่อมต่อระหว่างภาษาปกติ / บริบทฟรีและทฤษฎีฟังก์ชั่น (ชุดที่เป็นทางการ) ที่น่าตื่นเต้นมาก: นั่นคือเหตุผลที่ฝรั่งเศสเรียกภาษาเหล่านี้ว่า "เหตุผล" และ "พีชคณิต" นอกจากนี้ยังบ่งบอกถึงการเชื่อมต่อกับเรขาคณิตเศษส่วน ในหลอดเลือดดำที่คล้ายกันเช่น จำกัด ออโตมาตะอาจกำหนดภาษาในคำที่ไม่มีที่สิ้นสุดที่มีคุณสมบัติทอพอโลยีที่ดีเมื่อติดตั้งโทโพโลยีมาตรฐานการวัด

การเชื่อมต่ออื่นอาจเป็นทฤษฎีที่ได้รับการพัฒนาล่าสุดของ "set convolutions" ที่อนุญาตให้เพิ่มความเร็วอัลกอริทึมหลายอย่างที่คล้ายกับสิ่งที่เป็นที่รู้จักจากการแปลงฟูริเยร์ ฉันคิดว่าอย่างน้อยก็มี "ความคล้ายคลึงกันที่สร้างแรงบันดาลใจ"