ปัญหารวบรัดใน

การศึกษาการนำเสนอกราฟโดยสังเขปของ Galperin และ Wigdersonในกระดาษจากปี 1983 ที่พวกเขาพิสูจน์ว่าสำหรับปัญหาง่าย ๆ มากมายเช่นการค้นหาสามเหลี่ยมในกราฟรุ่นย่อที่สอดคล้องกันใน - สมบูรณ์ Papadimitriou Yanakkakis และไกลออกไปแถวนี้ของการวิจัยและพิสูจน์ว่าเป็นปัญหาซึ่งก็คือ - สมบูรณ์ / - เสร็จสมบูรณ์รุ่นย่อที่เกี่ยวข้องคือรวบรัดคือตามลำดับ - เสร็จสมบูรณ์และ - เสร็จสมบูรณ์ (พวกเขายังแสดงให้เห็นว่าถ้าเป็น$\mathsf{NP}$N P P$\Pi$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$$\Pi$E X P Π N L Π P S P A C $\mathsf{NEXP}$$\mathsf{EXP}$$\Pi$$\mathsf{NL}$- เสร็จสิ้นแล้วรวบรัดคือ - สมบูรณ์$\Pi$$\mathsf{PSPACE}$

ตอนนี้คำถามของฉันคือมีปัญหาอะไรบ้างรู้กันว่าเวอร์ชั่นรวบรัดที่อยู่ใน ? ฉันสนใจที่จะรู้เกี่ยวกับผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้องอื่น ๆ (ทั้งผลลัพธ์ในเชิงบวกและผลลัพธ์ที่เป็นไปไม่ได้ถ้ามี) ซึ่งฉันอาจพลาดไป (ฉันไม่สามารถค้นหาสิ่งที่น่าสนใจจากการค้นหาของ Google เนื่องจากคำค้นหาเช่นรวบรัดการเป็นตัวแทนปัญหากราฟทำให้เกิดความซับซ้อนเกือบทุกผล! :))$\Pi$$\mathsf{P}$

นี่คือปัญหาที่น่าสนใจซึ่งเวอร์ชั่นรวบรัดมีคุณสมบัติที่น่าสนใจ กำหนด Circuit-Size- ให้เป็นปัญหา: เนื่องจากฟังก์ชันบูลีนเป็นสตริง2 n- bit ฟังก์ชันนี้มีวงจรที่มีขนาดไม่เกิน2 n / 2หรือไม่? หมายเหตุ: ปัญหานี้อยู่ในN P$2^{n/2}$$2^n$$2^{n/2}$$NP$

วิธีหนึ่งในการนิยาม Succinct-Circuit-Size- น่าจะเป็น: สำหรับค่าคงที่k ที่ให้n- input, n k-ขนาดวงจรCเราต้องการทราบว่าตารางความจริงเป็นตัวอย่างของ Circuit-Size หรือไม่ - 2 n / 2 แต่นี่เป็นปัญหาเล็ก ๆ น้อย ๆ : อินพุตทั้งหมดซึ่งเป็นวงจรจริงเป็นใช่ - อินสแตนซ์ ดังนั้นปัญหานี้อยู่ในP$2^{n/2}$$k$$n$$n^k$$C$$2^{n/2}$$P$

วิธีทั่วไปในการนิยาม Succinct-Circuit-Size- จะเป็น: เราได้รับวงจรCโดยพลการและต้องการทราบว่าตารางความจริงของมันเข้ารหัสตัวอย่างของ Circuit-Size- 2 n / 2หรือไม่ แต่ถ้าnคือจำนวนอินพุตไปยังC , mคือขนาดของCและm ≤ 2 n / 2เราสามารถยอมรับได้โดยอัตโนมัติ: อินพุตนั้นเป็นพยานสำหรับภาษา มิฉะนั้นเรามีม≥ 2 n / 2 ในกรณีนั้นความยาวอินพุต$2^{n/2}$$C$$2^{n/2}$$n$$C$$m$$C$$m \leq 2^{n/2}$$m \geq 2^{n/2}$$m$มีขนาดใหญ่อยู่แล้วดังนั้นเราจึงสามารถลองการมอบหมายในเวลาm O ( 1 )รับตารางความจริงของฟังก์ชั่นและตอนนี้เรากลับไปที่ปัญหาเดิมของN Pอีกครั้ง ดังนั้นนี่คือปัญหาในN Pที่มีเวอร์ชันย่ออยู่ในN Pด้วย$2^n$$m^{O(1)}$$NP$$NP$$NP$

ปัญหานี้เชื่อว่าจะไม่ -hard; ดูกระดาษโดย Kabanets และ Cai (http://www.cs.sfu.ca/~kabanets/Research/circuit.html)$NP$

ระบุว่าแม้การตัดสินใจว่ากราฟที่แสดงโดยการเป็นตัวแทนรวบรัดให้มีอย่างน้อยหนึ่งขอบหรือไม่เทียบเท่ากับ Circuit SAT และดังนั้น NP- สมบูรณ์ก็เป็นที่ดึงดูดที่จะเรียกร้องว่าทรัพย์สินที่น่าสนใจใด ๆ ของการเป็นตัวแทนรวบรัดควรจะ NP-hard ภายใต้ คำนิยามที่เหมาะสมของ“ที่น่าสนใจ.” เรียกร้องนี้จะเป็นอะนาล็อกซับซ้อนทฤษฎีสำหรับทฤษฎีบทข้าว อนิจจาการค้นหาอนาล็อกเชิงทฤษฎีที่ซับซ้อนที่สุดของทฤษฎีบทข้าวเป็นปัญหาเปิดแม้ว่าจะมีผลลัพธ์ที่ให้บางรูปแบบของ analogs เชิงทฤษฎีที่ซับซ้อนเช่นนั้น

ฉันไม่ได้หมายความว่านี่เป็นคำตอบ แต่มันต้องการความคิดเห็นมากเกินไป หวังว่ามันจะมีประโยชน์

$\Pi$$\Pi$$2^n$$2^n/x$$x = n^{O(1)}$

$\Pi$$s$$\Pi$$s$$\Pi$

$\Pi$