ปัญหาเวกเตอร์ขั้นตอนวิธี

ฉันมีปัญหาเกี่ยวกับพีชคณิตเกี่ยวกับเวกเตอร์ในฟิลด์ GF (2) ให้ $v_1, v_2, \ldots, v_m$ จะเป็น (0,1) -vectors ของมิติ $n$ และ $m=n^{O(1)}$ )ค้นหาอัลกอริธึมเวลาพหุนามที่พบ (0,1) -vector $u$ ในมิติเดียวกันโดยที่ $u$ ไม่ได้เป็นผลรวมของ $(\log n)^{O(1)}$ เวกเตอร์ในกลุ่ม $v_1,v_2, \ldots, v_m$ . การเพิ่มเวกเตอร์อยู่เหนือสนาม GF (2) ซึ่งมีสององค์ประกอบ 0 และ 1 ( $0+1=0+1=1$ และ $0+0=1+1=0$ )

มันง่ายที่จะเห็นการมีอยู่ของเวกเตอร์ u ดังกล่าวโดยการโต้แย้งอย่างง่าย ๆ เราสามารถหา $u$ ในเวลาพหุนามได้หรือไม่? มันเป็นเรื่องเล็กน้อยที่จะหา $u$ ในเวลาที่ชี้แจง ฉันจะส่งรางวัลเช็ค $ 200 สำหรับโซลูชั่นที่ถูกต้องครั้งแรก

ds.algorithms linear-algebra

— ถังฟู
แหล่งที่มา

ดูเหมือนว่าจะมีความเกี่ยวข้องกับปัญหาผลรวมย่อยของเซตซึ่งเป็น NP ที่สมบูรณ์ อย่างไรก็ตามที่ใช้ผลรวมจำนวนเต็มเต็มแทน XOR

— vzn

แปลกฉันเพิ่งได้พยายามกำหนด & ดูปัญหาที่คล้ายกัน ลอง sec13.5 ของ stasys jukna book กับความซับซ้อนของฟังก์ชันบูลีน ดูเหมือนว่าคิวของคุณสามารถกำหนดได้ในรูปของวงจรเชิงเส้นในบทนั้น

— vzn

อัลกอริธึมเกี่ยวกับซุปเปอร์โพลีเช่น m ^ log (n) เป็นอย่างไร?

— Dimitris

@Niel de Beaudrap: แต่จำนวน XORs ที่คุณต้องตรวจสอบคือ super-poly (เช่นประมาณ select ) ไม่ใช่โพลี นั่นไม่ใช่ปัญหาหรือ?

(\binom{m}{\log (n)})

${{m}\choose{\log(n)}}$

— Dimitris

ในการขยายคำพูดของ vzn: ดูเหมือนว่าเวกเตอร์เกือบทุกตัวมีคุณสมบัติตรงตามความต้องการของคุณ ฉันจินตนาการว่าคุณต้องการพิสูจน์ว่าเวกเตอร์ (อาจสร้างแบบสุ่ม) ไม่ได้อยู่ในพื้นที่ย่อยใด ๆ ที่ถูกโพลิก ( n ) ของพาหะนำเสนอ: ดังนั้นคำถามของคุณจึงเท่ากับว่าแสดงให้เห็นว่าปัญหาในการพิจารณาว่าผู้สมัครเป็นหรือไม่ เวกเตอร์ยู ไม่ได้เป็นของสเปซที่สร้างขึ้นโดยบางฉมิติ ( n ) ∈ polylog ( n ) ของเวกเตอร์อยู่ในNP

v_{j}

$\mathbf v_j$

— Niel de Beaudrap

ดูเหมือนจะมีการพิมพ์ผิด; ฉันถือว่าคุณหมายถึงการหาซึ่งไม่ใช่ผลรวมของเวกเตอร์ในหมู่ (ไม่ใช่ ) $u \in \{0,1\}^n$ $(\log n)^{O(1)}$ $v_1,\dots, v_m$ $n$

ไม่ชัดเจนสำหรับฉันหากค่าคงที่ในงานได้สำหรับคุณ หากคุณสามารถหาผลรวมน้อยกว่าเวกเตอร์อาจมีบางอย่างที่ต้องทำ แต่ถ้าคุณต้องการให้ปริมาณนี้ , ฉันคิดว่ามันค่อนข้างยาก (ฉันได้พยายามแก้ไขปัญหานี้มานานแล้ว) $(\log n)^{O(1)}$ $\log m$ $(\log m)^{1+\delta}$

คุณอาจจะสนใจที่จะรู้ว่านี่เป็นตัวอย่างของปัญหา Remote Point ของ Alon, Panigrahy และ Yekhanin ("อัลกอริทึมการประมาณค่าแบบกำหนดแน่นอนสำหรับปัญหา Codeword ที่ใกล้ที่สุด") สำหรับพารามิเตอร์บางตัว ให้และเป็นคอลัมน์ของเมทริกซ์ตรวจสอบพาริตีของรหัสเชิงเส้นในของมิติ (ถ้าเมทริกซ์นี้ไม่มีอันดับเต็ม ปัญหาจะเล็กน้อย) จากนั้นปัญหาของคุณจะเทียบเท่ากับการหานั่นคือ -far จากโค้ด การตั้งค่าพารามิเตอร์นี้ซึ่งขนาดใกล้เคียงกับ m มากที่สุดจะไม่ได้รับการศึกษาในกระดาษ อย่างไรก็ตามพวกเขาสามารถทำได้เพียงความห่างไกล $m > n$ $v_1,\dots,v_m$ $\{0,1\}^m$ $d = m - n$ $u \in \{0,1\}^n$ $(\log n)^{O(1)}$ $\log m$ ถึงมิติสำหรับบางคงคในความเป็นจริงผมไม่คิดว่าเรารู้หนังสือรับรองการพหุนามขนาดใด ๆ ที่ช่วยให้เราสามารถพิสูจน์ว่าเวกเตอร์บางเป็นมากกว่า -far จากพื้นที่ของมิติให้อยู่คนเดียวหา มัน. $d = cm$ $c$ $\omega(\log m)$ $\Omega(m)$

การเชื่อมต่อกับการเรียนรู้ parities ในรูปแบบที่ผิดพลาด หากใครสามารถเรียนรู้ได้อย่างมีประสิทธิภาพ -parities (กำหนดไว้ที่ ) โดยมีข้อผิดพลาดที่ถูกผูกไว้อย่างน้อยกว่าจากนั้นหนึ่งสามารถกำหนดค่าโดยพลการให้แรกบิตของและ `` บังคับให้เกิดข้อผิดพลาด '' ในบิตสุดท้ายโดยตั้งค่าเป็นค่าตรงข้ามกับที่ผู้เรียนคาดการณ์ไว้ ดูเหมือนว่าจะแข็งแกร่งกว่านี้มาก $(\log n)^{O(1)}$ ${0,1}^m$ $n$ $n - 1$ $u$

ปัญหายังเกี่ยวข้องกับการแยก EXP จากการลดลงไปยังชุดที่กระจัดกระจาย

— david
แหล่งที่มา

ขอบคุณที่ชี้นำการพิมพ์ผิด “ v_n” สุดท้ายควรเป็น“ v_m” หวังว่าจะมีคนแก้ไขมัน คำตอบของคุณมีข้อมูลที่เป็นประโยชน์ +1

— ถังฟู