คำถามติดแท็ก linear-algebra

ในการตอบเป็นนักคำถามก่อนหน้านี้ผมได้กล่าวถึงความเชื่อร่วมกัน แต่ผิดว่า“เสียน”กำจัดทำงานในเวลา ในขณะที่เห็นได้ชัดว่าอัลกอริทึมใช้การดำเนินการทางคณิตศาสตร์การดำเนินการที่ไม่ระมัดระวังสามารถสร้างตัวเลขด้วยบิตจำนวนมากแทน เป็นตัวอย่างง่ายๆสมมติว่าเราต้องการทำให้เมทริกซ์ต่อไปนี้เป็นแนวเส้นทแยงมุม:O(n3)O(n3)O(n^3)O(n3)O(n3)O(n^3) ⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢211⋮1021⋮1002⋮1⋯⋯⋯⋱⋯000⋮2⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥[200⋯0120⋯0112⋯0⋮⋮⋮⋱⋮111⋯2]\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 2 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 1 & 2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & 1 & 1 & …

72 ds.algorithms  reference-request  linear-algebra 

มันมีการคาดเดากันอย่างกว้างขวางว่าเลขชี้กำลังที่ดีที่สุดสำหรับการคูณเมทริกซ์นั้นจริง ๆ แล้วเท่ากับ 2 คำถามของฉันง่าย:ωω\omega เหตุผลอะไรบ้างที่เรามีความเชื่อว่า ?ω=2ω=2\omega = 2 ฉันรู้ขั้นตอนวิธีการอย่างรวดเร็วเช่นทองแดง-Winograd แต่ผมไม่ทราบว่าทำไมเหล่านี้อาจได้รับการพิจารณาหลักฐาน2ω=2ω=2\omega = 2 ฉันดูไร้เดียงสาเหมือนตัวอย่างคลาสสิกที่ชุมชนหวังว่าผลลัพธ์นั้นแท้จริงสำหรับเหตุผลด้านสุนทรียภาพ ฉันชอบที่จะรู้ว่าเป็นกรณีที่นี่

59 ds.algorithms  linear-algebra  matrix-product 

คำถามของฉันง่าย: ที่เลวร้ายที่สุดกรณีที่เวลาการทำงานของอัลกอริทึมที่รู้จักกันดีที่สุดสำหรับการคำนวณคืออะไรeigendecompositionของn×nn×nn \times nเมทริกซ์? eigendecomposition ลดการคูณเมทริกซ์หรือเป็นอัลกอริทึมที่รู้จักกันดีO(n3)O(n3)O(n^3) (ผ่านSVD ) ในกรณีที่เลวร้ายที่สุด? โปรดทราบว่าฉันขอการวิเคราะห์กรณีที่เลวร้ายที่สุด (เฉพาะในแง่ของnnn ) ไม่ใช่ขอบเขตที่มีค่าคงที่ที่ขึ้นกับปัญหาเช่นหมายเลขเงื่อนไข แก้ไข : ให้บางส่วนของคำตอบดังต่อไปนี้ให้ฉันปรับคำถาม: ฉันมีความสุขกับ -approximation การประมาณนั้นอาจเป็นแบบหลายแบบเพิ่มแบบเข้าทางหรือแบบใดก็ตามที่คุณต้องการ ฉันสนใจถ้ามีอัลกอริธึมที่รู้จักซึ่งพึ่งพาnได้ดีกว่าO ( p o l y ( 1 / ϵ ) n 3 ) ?ϵϵ\epsilonnnnO(poly(1/ϵ)n3)O(poly(1/ϵ)n3)O(\mathrm{poly}(1/\epsilon)n^3) แก้ไข 2 : ดูคำถามที่เกี่ยวข้องนี้บนเมทริกซ์สมมาตร

40 ds.algorithms  time-complexity  matrices  linear-algebra  na.numerical-analysis 

เป็นที่เชื่อกันโดยทั่วไปว่าทุกϵ > 0ϵ>0\epsilon > 0มันเป็นไปได้ที่จะคูณสองn × nn×nn \times nเมทริกซ์ในO ( n2 + ϵ)O(n2+ϵ)O(n^{2 + \epsilon})เวลา การอภิปรายเป็นที่นี่ ฉันได้ถามบางคนที่คุ้นเคยกับการวิจัยมากขึ้นว่าพวกเขาคิดว่ามีk > 0k>0k>0เป็นอิสระจากnnnเช่นนั้นมีอัลกอริทึมO(n2logkn)O(n2logk⁡n)O(n^2 \log^k n)สำหรับการคูณเมทริกซ์และพวกเขาดูเหมือนจะมีสัญชาตญาณว่า คำตอบคือ "ไม่" แต่ไม่สามารถอธิบายได้ว่าทำไม นั่นคือพวกเขาเชื่อว่าเราสามารถทำได้ในเวลาO(n2.001)O(n2.001)O(n^{2.001})แต่ไม่ใช่O(n2log100n)O(n2log100⁡n)O(n^2 \log^{100} n)เวลา มีเหตุผลอะไรที่จะเชื่อว่าไม่มีO(n2logkn)O(n2logk⁡n)O(n^2 \log^k n)ขั้นตอนวิธีการที่คงที่k>0k>0k>0 ?

39 cc.complexity-theory  linear-algebra  big-picture  matrices  matrix-product 

ฉันต้องการค้นหาอัลกอริทึมเวลาพหุนามที่กำหนดว่าช่วงของชุดเมทริกซ์ที่กำหนดมีเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลง หากมีใครรู้ว่าปัญหานี้มีระดับความซับซ้อนที่แตกต่างกันนั่นจะเป็นประโยชน์ แก้ไข: ฉันติดแท็กคำถามนี้ด้วยการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นเพราะฉันมีความสงสัยอย่างมากว่าหากวิธีการแก้ปัญหาดังกล่าวมีอยู่ก็จะเป็นขั้นตอนวิธีการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น เหตุผลที่ฉันเชื่อว่าเป็นเพราะจุดที่สูงที่สุดของBirkhoff polytopeเป็นเมทริกซ์การเปลี่ยนรูปที่แม่นยำ หากคุณสามารถหาฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์ที่มีการขยายหรือย่อให้เล็กสุดที่จุดยอดของ Birkhoff polytope คุณสามารถ จำกัด การทำงานของคุณกับการแยกของ polytope และพื้นที่ย่อยเวกเตอร์ของคุณจากนั้นขยายให้ใหญ่ที่สุดในเวลาพหุนาม ถ้าค่านี้เป็นเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงคุณจะรู้ว่าเซตนั้นมีการเปลี่ยนแปลง นี่คือความคิดของฉันในเรื่องนี้ แก้ไข 2: หลังจากคิดเพิ่มอีกดูเหมือนว่าการเปลี่ยนรูปเป็นองค์ประกอบของ Birkhoff Polytope กับ Euclidean norm , เราพิจารณา Birkhoff polytope เป็นตัวนูนของเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลง บางทีนั่นอาจจะสำคัญ n×nn−−√n\sqrt{n}n×nn×nn \times n แก้ไข 3: ฉันเพิ่มแท็กการเขียนโปรแกรม semidefinite เพราะหลังจากความคิดเห็นก่อนหน้านี้ฉันเริ่มคิดว่าโซลูชันการเขียนโปรแกรม semidefinite อาจเป็นไปได้

30 cc.complexity-theory  linear-algebra  linear-programming  semidefinite-programming  polynomial-time 

ให้mmmโดยnnnเมทริกซ์ไบนารีMMM (รายการเป็น000หรือ111 ) ปัญหาคือการตรวจสอบว่ามีสองเวกเตอร์ไบนารีv1≠v2v1≠v2v_1 \ne v_2เช่นนั้นMv1=Mv2Mv1=Mv2Mv_1 = Mv_2 (การดำเนินการทั้งหมดดำเนินการมากกว่าZZ\mathbb{Z} ) ปัญหานี้เกิดจากปัญหา NP-hard หรือไม่ มันชัดเจนใน NP ที่คุณสามารถให้เวกเตอร์สองตัวเป็นพยานได้ เท่ากับ: ให้MMMมีเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์v∈{−1,0,1}nv∈{−1,0,1}nv\in \{-1,0,1\}^nซึ่งนั่นคือMv=0Mv=0Mv=0หรือไม่ เท่ากัน: รับnnnเวกเตอร์X={x1,…,xn}X={x1,…,xn}X=\{x_1,\dots,x_n\}เกิน{0,1}m{0,1}m\{0,1\}^m , มีเซตย่อยสองแบบA,B⊆XA,B⊆XA,B \subseteq Xเช่นนั้น∑x∈Ax=∑x∈Bx∑x∈Ax=∑x∈Bx\sum_{x \in A} x = \sum_{x \in B} xหรือไม่

27 cc.complexity-theory  np-hardness  linear-algebra 

ให้เป็นเมทริกซ์จำนวนเต็มจตุรัสและให้เป็นจำนวนเต็มบวก ฉันสนใจความซับซ้อนของปัญหาการตัดสินใจดังต่อไปนี้:MMMnnn รายการบนขวาของเป็นบวกหรือไม่MnMnM^n โปรดทราบว่าวิธีการที่ชัดเจนของการยกกำลังสองซ้ำ (หรือการคำนวณที่ชัดเจนอื่น ๆ ) ทำให้เราต้องจัดการกับจำนวนเต็มของกำลังขยายสองเท่าคือการมีบิตจำนวนมากแทน อย่างไรก็ตามปัญหาดังกล่าวพบได้ง่ายในคลาส "PosSLP" ของ Allender และคณะ ( "ความซับซ้อนของการวิเคราะห์เชิงตัวเลข", SIAM J. Comput. 38 (5) ) และดังนั้นในระดับที่สี่ของลำดับการนับ . 1) เป็นไปได้หรือไม่ที่จะวางปัญหาการจ่ายไฟเมทริกซ์นี้ในระดับความซับซ้อนที่ต่ำกว่า? 2) ถ้าไม่เป็นไปได้ไหมว่า PosSLP-hard น่าจะเป็นไปได้ไหม 3) ฉันสนใจโดยเฉพาะอย่างยิ่งในปัญหาการจ่ายไฟเมทริกซ์สำหรับเมทริกซ์ที่มีมิติต่ำเช่นมากถึงและรวมถึงเมทริกซ์ 6x6 ความซับซ้อนอาจลดลงสำหรับเมทริกซ์เช่นนี้หรือไม่?

26 cc.complexity-theory  linear-algebra  matrices 

ฉันกำลังมองหาการสำรวจที่ดีเกี่ยวกับอัลกอริทึมและความซับซ้อนของพีชคณิตเชิงเส้น (การดำเนินงานเช่นอันดับ, ผกผัน, ค่าลักษณะเฉพาะ, ... สำหรับ Boolean, , และเมทริกซ์จำนวนเต็ม / rationals) โดยเน้นที่ขนาน ( ลำดับชั้น ) และ ฉันไม่สามารถหาที่ผ่านมาFพีFp\mathbb{F}_pยังไม่มีข้อความคNCNC คุณรู้หรือไม่ว่าการสำรวจล่าสุดที่ดีหรือหนังสือเกี่ยวกับความซับซ้อนของพีชคณิตเชิงเส้น?

20 cc.complexity-theory  ds.algorithms  reference-request  dc.parallel-comp  linear-algebra 

เมทริกซ์จะถูกเรียกว่าเป็นปกติอย่างสมบูรณ์หากเมทริกซ์ย่อยจตุรัสทั้งหมดมีอันดับเต็ม เมทริกซ์ดังกล่าวถูกใช้ในการสร้าง superconcentrators อะไรคือความซับซ้อนในการตัดสินใจว่าเมทริกซ์ที่ให้นั้นมีความสม่ำเสมอในการปันส่วนหรือไม่ เหนือทุ่ง จำกัด ? โดยทั่วไปเรียกเมทริกซ์โดยสิ้นเชิงถ้าเมทริกซ์ย่อยทั้งหมดที่มีขนาดมากที่สุดkมีอันดับเต็ม ได้รับเมทริกซ์และพารามิเตอร์kสิ่งที่เป็นความซับซ้อนของการตัดสินใจว่าเมทริกซ์จะโดยสิ้นเชิงk -regular?kkkkkkkkkkkk

19 cc.complexity-theory  reference-request  linear-algebra  matrices 

คุณสมบัติพื้นฐานของเวกเตอร์สเปซคือเวกเตอร์สเปซของมิติn - dสามารถกำหนดได้โดยdข้อ จำกัด เชิงเส้นอิสระเชิงเส้น - นั่นคือมีเวกเตอร์อิสระdเชิงเส้นw 1 , … , w d ∈ F n 2ที่ตั้งฉากกับVV⊆ Fn2V⊆F2nV \subseteq \mathbb{F}_2^nn - dn−dn-dddddddW1, … , wd∈ Fn2w1,…,wd∈F2nw_1, \ldots, w_d \in \mathbb{F}_2^nVVV จากมุมมองของฟูริเยร์นี้จะเทียบเท่ากับบอกว่าตัวบ่งชี้ที่ฟังก์ชั่นของVได้วันที่ linearly อิสระที่ไม่ใช่ศูนย์สัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ โปรดทราบว่า1 Vมีค่าสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ที่ไม่ใช่ศูนย์รวมอยู่2 dแต่มีเพียงdเท่านั้นที่มีความเป็นอิสระเชิงเส้น1V1V1_VVVVddd 1V1V1_V2d2d2^dddd ฉันกำลังมองหาเวอร์ชั่นโดยประมาณของคุณสมบัติของช่องว่างเวกเตอร์ โดยเฉพาะฉันกำลังมองหาคำสั่งของแบบฟอร์มต่อไปนี้: Let จะมีขนาด2 n - d จากนั้นฟังก์ชั่นตัวบ่งชี้ที่1 Sมีที่มากที่สุดd ⋅ ล็อก( 1 / …

19 co.combinatorics  linear-algebra  boolean-functions  fourier-analysis 

ใครสามารถช่วยฉันด้วยปัญหาต่อไปนี้? ฉันต้องการหาค่าบางอย่างa i , b jai,bja_i,b_j (mod ยังไม่มีข้อความNN ) โดยที่i = 1 , 2 , … , K , j = 1 , 2 , … , Ki=1,2,…,K,j=1,2,…,Ki=1,2,…,K, j=1,2,…,K (เช่นK = 6K=6K=6 ) ให้รายการของค่าเค2K2K^2ที่ สอดคล้องกับความแตกต่างa i - b j( modไม่มี)ai−bj(modN)a_i-b_j\pmod N (เช่นN = 251N=251N=251 ) โดยไม่ทราบความสัมพันธ์ที่สอดคล้องกันอย่างเป็นรูปธรรม ตั้งแต่ค่าa i , b …

19 ds.algorithms  linear-algebra  nt.number-theory  cryptographic-attack  comp-number-theory 

ฉันสนใจในความซับซ้อนของการแก้สมการเชิงเส้น modulo kสำหรับ arbitrary k (และด้วยความสนใจเป็นพิเศษในพลังพิเศษ) โดยเฉพาะ: ปัญหา. สำหรับระบบที่กำหนดของสมการเชิงเส้นmmmในnnn unknowns modulo kkkมีวิธีแก้ปัญหาหรือไม่? ในนามธรรมกับกระดาษโครงสร้างและความสำคัญของคลาส logspace-MODในคลาสMod k L , Buntrock, Damm, Hertrampf และ Meinel อ้างว่าพวกเขา " แสดงความสำคัญโดยการพิสูจน์ว่าปัญหามาตรฐานทั้งหมดของพีชคณิตเชิงเส้นบนวงแหวน จำกัดZ/kZZ/kZ\mathbb Z/k\mathbb Zเสร็จสมบูรณ์สำหรับคลาสเหล่านี้ " เมื่อตรวจสอบอย่างใกล้ชิดเนื้อเรื่องก็ซับซ้อนมากขึ้น ตัวอย่างเช่น Buntrock และคณะ แสดง (โดยการพิสูจน์สเก็ตช์ในแบบร่างที่สามารถเข้าถึงได้อย่างอิสระก่อนหน้านี้และพบได้โดย Kaveh ขอบคุณ!) ว่าการแก้ระบบสมการเชิงเส้นแทนในชั้นเรียนเสริมcoMod k Lสำหรับเคไพรม์ คลาสนี้ไม่เป็นที่รู้จักเท่ากับMod k Lสำหรับคอมโพสิตkแต่ไม่เป็นไร - สิ่งที่ฉันกังวลคือข้อเท็จจริงที่ว่าพวกเขาไม่ได้พูดอะไรเกี่ยวกับว่าระบบการแก้สมการเชิงเส้น mod kนั้นมีอยู่หรือไม่ในcoMod k Lสำหรับคอมโพสิตk ! …

19 cc.complexity-theory  dc.parallel-comp  linear-algebra  nt.number-theory 

Rn\mathbb{R}^n⟨⋅,⋅⟩\langle \cdot, \cdot \ranglemmv1,v2,…,vmv_1, v_2, \ldots, v_mx∈Rnx \in \mathbb{R}^nต่ำสุดฉัน ⟨ x , v ฉัน ⟩ mini⟨x,vi⟩\min_i \langle x, v_i \rangleO ( n m )O(nm)O(nm) n = 2 n=2n = 2O ( บันทึก2 m )O(log2m)O(\log^2 m) สิ่งเดียวที่ฉันสามารถทำได้คือ มันเป็นผลที่ตามมาทันทีของจอห์นสัน - Lindenstrauss บทแทรกที่ทุก ๆε > 0ε>0\varepsilon > 0และการกระจายDD\mathcal{D}บนR nRn\mathbb{R}^nมีการทำแผนที่เชิงเส้นf : R n → …

19 ds.data-structures  cg.comp-geom  linear-algebra  metrics 

ฉันสนใจในปัญหาต่อไปนี้: เมทริกซ์จำนวนเต็มตัดสินใจว่าผลิตภัณฑ์อนันต์ทุกตัวของเมทริกซ์เหล่านี้จะเท่ากับศูนย์เมทริกซ์หรือไม่A1,2, … , AkA1,A2,…,AkA_1,A_2, \ldots, A_k ซึ่งหมายความว่าสิ่งที่คุณคิดว่ามันไม่เราจะบอกว่าชุดของการฝึกอบรมมีคุณสมบัติที่ทุกผลิตภัณฑ์ของ บริษัท ในที่สุดก็เท่ากับศูนย์ถ้ามีไม่ได้อยู่ลำดับอนันต์ทั้งหมดในเช่นว่าสำหรับทุกลิตรi 1 , i 2 , i 3 … { 1 , … , k } A i 1 A ฉัน2 ⋯ A ฉันl ≠ 0 l{ A1, … , Ak}{A1,…,Ak}\{A_1, \ldots, A_k\}ผม1, ฉัน2, ฉัน3...i1,i2,i3…i_1, i_2, i_3\ldots{ 1 , … , …

19 linear-algebra  decidability 

ฉันกำลังมองหากระดาษสำรวจหรือหนังสือที่ครอบคลุมผลลัพธ์เกี่ยวกับความซับซ้อนของพื้นที่ของการดำเนินงานพีชคณิตเชิงเส้นทั่วไปเช่นอันดับของเมทริกซ์การคำนวณค่าลักษณะเฉพาะ ฯลฯ ฉันเน้นส่วน "ความซับซ้อนของพื้นที่" หมายถึงความซับซ้อนของพื้นที่ทำงานมากกว่าความซับซ้อนของเวลา ง่ายต่อการติดตามผลลัพธ์เวลา ฉันขอขอบคุณการอ้างอิงใด ๆ ในเรื่องนี้ ขอบคุณ

19 linear-algebra  space-complexity