ผสานต้นไม้สองแบบในการค้นหาแบบทวิภาค

ฉันกำลังมองหาอัลกอริทึมที่จะรวมแผนภูมิการค้นหาแบบทวิภาคสองรายการที่มีขนาดและช่วงโดยพลการ ที่เห็นได้ชัดวิธีที่ฉันจะไปเกี่ยวกับการดำเนินการนี้จะไปหาต้นไม้ย่อยทั้งหมดที่มีช่วงสามารถใส่ลงในโหนดภายนอกโดยพลการในต้นไม้อื่น ๆ อย่างไรก็ตามเวลาทำงานที่แย่ที่สุดสำหรับอัลกอริทึมประเภทนี้น่าจะเป็นไปตามลำดับO(n+m)ที่nและmขนาดของต้นไม้แต่ละต้นตามลำดับ

อย่างไรก็ตามฉันได้รับแจ้งว่าสามารถทำได้ในO(h)ที่ซึ่งhความสูงของต้นไม้ที่มีความสูงมากกว่า และฉันก็หลงทางว่าเป็นไปได้อย่างไร ฉันลองทดลองหมุนต้นไม้ต้นหนึ่งก่อน แต่การหมุนต้นไม้เป็นกระดูกสันหลังแล้ว O (h)

ds.algorithms ds.data-structures tree

— efritz
แหล่งที่มา

ฉันเองก็ไม่รู้เหมือนกันว่าฉันก็มีคำถามเดียวกัน

เพื่อความเป็นธรรมนี่เป็นคำถามที่ให้ไว้ในการทำการอัลกอริทึม ปรากฎว่า O (h) เข้มงวดเกินไปของรันไทม์เนื่องจากคำถามลืมให้ข้อมูลที่จำเป็นเพิ่มเติม: ว่ากุญแจทั้งหมดจากต้นไม้ต้นหนึ่งมีขนาดเล็กกว่าแป้นทั้งหมดในต้นไม้ด้านขวา

— efritz

ฉันขาดอะไรบางอย่างไปหรือไม่การผสานต้นไม้ไบนารีจะทำได้อย่างง่ายดายO(log n)ด้วยฟังก์ชันการย้ายโหนดแบบง่ายๆ

— AT

@ AT ใช่ แต่เราไม่รู้ว่ากุญแจจาก BST หนึ่ง ๆ นั้นไม่ได้เกิดจากกันและกัน

— efritz

นี่เป็นต้นไม้สีแดงดำไม่ใช่ BST สีดำสีแดง (เช่นเดียวกับต้นไม้ AVL และกอง) เป็นต้นไม้ชนิดพิเศษที่รักษาความสูงของทรัพย์สิน วานิลลา BSTs สามารถเป็นกระดูกสันหลังเดียว ลองใส่ที่ไม่ลดลงหรือไม่เพิ่มขึ้นชุดของตัวเลขลงใน BST nและคุณจะเห็นว่าความสูงของต้นไม้เหล่านี้เป็นจริง ต้นไม้ไบนารีเต็มหรือสมบูรณ์เท่านั้นที่มีลอการิทึมความสูงตามจำนวนโหนดทั้งหมด

— efritz

คำตอบ:

ในArXiv: 1002.4248 , John Iacono และÖzgürÖzkanอธิบายถึงอัลกอริธึมที่ค่อนข้างง่ายในการผสานต้นไม้ค้นหาแบบทวิภาคสองต้นในเวลาตัดจำหน่าย การวิเคราะห์เป็นส่วนที่ยาก [ ปรับปรุง:ขณะที่โจถูกต้องข้อสังเกตในคำตอบของเขาขั้นตอนวิธีการนี้เป็นเพราะบราวน์และ Tarjan.] พวกเขายังอธิบายความซับซ้อนมากขึ้นโครงสร้างข้อมูลพจนานุกรมตามรายการลำเอียงเฮี๊ยบที่ผสานการสนับสนุนในตัดจำหน่ายเวลา $O(\log^2 n)$ $O(\log n)$

ในทางตรงกันข้ามขอบเขตกรณีเลวร้ายที่สุดของเป็นไปไม่ได้ พิจารณาสองต้นไม้ค้นหาแบบทวิภาคกับโหนดหนึ่งเก็บจำนวนเต็มแม้ระหว่างและ , อื่น ๆ จัดเก็บจำนวนเต็มคี่ระหว่างและ 1ผสานต้นไม้สองต้นสร้างต้นไม้ค้นหาแบบทวิภาคใหม่การจัดเก็บจำนวนเต็มทั้งหมดระหว่างและ nในทรีเช่นนั้นเศษส่วนคงที่ของโหนดจะมีพาริตีต่างจากพ่อแม่ (พิสูจน์: ต้นกำเนิดของใบไม้แปลก ๆ จะต้องเท่ากัน) ดังนั้นการรวมต้นไม้คู่กับคี่ต้องเปลี่ยน $O(\log n)$ $n$ $2$ $2n$ $1$ $2n-1$ $1$ $2n$ ตัวชี้ $\Omega(n)$

— Jeffε
แหล่งที่มา

One note: ถ้าฉันอ่านคำอธิบายในบทความนี้อย่างถูกต้องต้นไม้เหล่านี้ไม่สนับสนุนการแทรกและลบ การผสาน

เพียงทำตามขั้นตอนการรวมแผนภูมิการค้นหานิ้ว (อธิบายไว้ในคำตอบของโจ) ชุดปฏิบัติการที่ จำกัด ช่วยให้สามารถวิเคราะห์ได้ดีกว่า

O (\lg^{2} n)

$O(\lg^2 n)$

หนึ่ง

O (n \lg \frac{m}{n})

$O(n \lg \frac{m}{n})$

— jbapple

การวิเคราะห์ที่ดีขึ้นนั้นเกิดจากการตัดจำหน่ายไม่ใช่ข้อ จำกัด ของการดำเนินงานที่อนุญาต การแทรกและการลบสามารถสนับสนุนได้ด้วยการแยกและผสาน (จริง ๆ แล้ว "รวม") ในเวลาที่ตัดจำหน่าย

เดียวกัน

O (l o g n)

$O(log n)$

— Jeffε

เพิ่งออกมาจากความอยากรู้อยากเห็นเวลา

ได้รับผลกระทบหรือไม่หากต้นไม้ถูกเก็บไว้ในอาร์เรย์แทนที่จะเชื่อมโยงรายการ (ซึ่งฉันถือว่าเป็นสิ่งที่คุณหมายถึงเมื่อพูดว่า "การเปลี่ยนแปลง ... ตัวชี้ ")?

Ω (n)

$\Omega(n)$

— mtahmed

โดยค่าเริ่มต้น "โครงสร้างการค้นหาแบบไบนารี" เป็นโครงสร้างแบบตัวชี้ (ไม่ใช่ "รายการที่ลิงก์"); แต่ละโหนดชี้ไปที่ลูกทั้งสองและอาจเป็นผู้ปกครอง แต่ขอบเขตล่างไม่ได้ขึ้นอยู่กับการแสดงที่แม่นยำ มี

วิธีการผสานต้นไม้ค้นหาแบบทวิภาคสอง

-node ดังนั้นอัลกอริธึมที่ใช้การเปรียบเทียบใด ๆ จะต้องมี

อย่างน้อย

(\binom{2 n}{n})

$\binom{2n}{n}$

n

$n$

เปรียบเทียบเพื่อเลือกอันที่ถูกต้อง

\log_{2} (\binom{2 n}{n}) \geq 2 n - O (\log n)

$\log_2 \binom{2n}{n} \ge 2n - O(\log n)$

— Jeff

@ Jɛ ﬀ E: ฉันยอมรับว่าได้รับการสนับสนุนการแยกและเข้าร่วม แต่ฉันไม่คิดว่าการสร้างหรือทำลายต้นไม้นั้น ตัวอย่างเช่นถ้าฉันต้องการลบ "x" จากตัวอักษรฉันจะไม่ได้รับเพียง "a..wyz" แต่ยัง "x" ขนาดของจักรวาล (ซึ่งคือ

ดูหัวข้อ 2.1) จะไม่เปลี่ยนแปลง นอกจากนี้คำนำในส่วนที่ 1 บันทึกว่าเซตต้องแบ่งจักรวาลซึ่งฉันตีความ (อาจไม่ถูกต้อง) เพื่อหมายถึงองค์ประกอบแต่ละอย่างในจักรวาลอยู่ในต้นไม้บางต้น ดังนั้นวิธีที่ฉันอ่านมันการก่อสร้างนี้ไม่สามารถใช้ได้กับจักรวาลที่ไม่มีขีด จำกัด นั่นเป็นวิธีที่ฉันควรเขียนความคิดเห็นข้างต้น

n

$n$

— jbapple

คุณอาจพบว่าการอ้างอิงนี้มีประโยชน์: Brown และ Tarjan, A Fast Merging Algorithmซึ่งผู้เขียนแสดงวิธีการผสานต้นไม้ binary binary (AVL) ที่สมดุลในสิ่งที่ดีที่สุด (สำหรับอัลกอริทึมที่ใช้การเปรียบเทียบ) และมีความยาวของรายการที่เรียงลำดับตัวแทนจากต้นไม้ค้นหาแบบทวิภาคและมันจะสันนิษฐานว่าn $O(n \log \frac{m}{n})$ $m$ $n$ $m \geq n$

คุณสามารถดูการอภิปรายของเทคนิคต่าง ๆ สำหรับการรวมชุดที่สั่งซื้อไว้ในส่วนที่ 11.5 ของบทความนี้ลงในแผนผังการค้นหานิ้ว

— โจ
แหล่งที่มา

ทั้ง

เวลาผูกพันและการจับคู่ผูกพันที่ต่ำกว่าสมมติว่า

O (n \log \frac{m}{n})

$O(n\log \frac{m}{n})$

m \geq n

$m\ge n$

— Jeffε

ฉันคิดว่ามันเกี่ยวกับเวลา แต่ฉันได้แก้ไขคำถามเพื่อให้ชัดเจน

— โจ

คุณสามารถผสานต้นไม้ในเวลาเลวร้ายที่สุดกรณี $\bf\mathcal{O}(1)$ ขณะที่ยังคงสนับสนุน: แทรกลบและค้นหาใน ) $\mathcal{O}(log\ n)$

Brodal, Gerth Stølting, Christos Makris และ Kostas Tsichlas 'การทำงานที่เลวร้ายที่สุดกรณีหมดจดคงรายการเวลา Catenable เรียง' ในรายงานการประชุมวิชาการประจำปีครั้งที่ 14 เรื่องเล่มที่ 14, 172–183 ESA'06 ลอนดอน, อังกฤษ, สหราชอาณาจักร: Springer-Verlag, 2006. [ PDF ]

— ที่
แหล่งที่มา

โครงสร้างข้อมูลของพวกเขารองรับการเข้าร่วมใน O (1) เวลาตัดจำหน่ายไม่ใช่การรวม องค์ประกอบทั้งหมดในต้นไม้ต้นหนึ่งต้องมีขนาดเล็กกว่าองค์ประกอบทั้งหมดในต้นไม้ต้นหนึ่ง

— Jeffε

อ่าจริง ต้องอ่านบทความอีกครั้ง: "เข้าร่วม (

), รวมต้นไม้สองต้นในหนึ่งต้นต้นไม้

และ

ได้รับคำสั่งในแง่ที่ว่าองค์ประกอบทั้งหมดของ

มีขนาดเล็กหรือใหญ่กว่าขนาดที่เล็กที่สุดหรือเล็กที่สุด องค์ประกอบที่ใหญ่ที่สุดของ

สมมติว่าไม่มีการสูญเสียความสามารถทั่วไปที่

ในกรณีนี้ต้นไม้

ติดอยู่กับต้นไม้

และผลลัพธ์ของการดำเนินการนี้คือต้นไม้

T_{i}

$T_i$

T_{j}

$T_j$

T_{i}

$T_i$

T_{j}

$T_j$

T_{j}

$T_j$

T_{i}

$T_i$

w (T_{i}) = w (T_{j})

$w(T_i) = w(T_j)$

T_{j}

$T_j$

T_{i}

$T_i$

ติดอยู่กับโหนดบนกระดูกสันหลังของ

. "

T_{i} \cdot T_{j}

$T_i \centerdot T_j$

T_{i}

$T_i$

— AT