พาร์ติชัน 3-Clique สำหรับกราฟเส้นผ่านศูนย์กลางคงที่

ปัญหาพาร์ติชัน 3-Clique เป็นปัญหาในการพิจารณาว่าจุดยอดของกราฟพูดว่าสามารถแบ่งพาร์ติชันออกเป็น 3 กลุ่ม ปัญหานี้เกิดจาก NP-hard โดยการลดลงอย่างง่าย ๆ จากปัญหา 3 สี มันไม่ได้ยากที่จะเห็นว่าคำตอบของปัญหานี้เป็นเรื่องง่ายเมื่อหรือ5 ปัญหายังคงอยู่ที่ NP-hard เมื่อโดยการลดลงอย่างง่าย ๆ จากตัวเอง (ให้กราฟเพิ่มจุดยอดและเชื่อมต่อกับจุดยอดอื่น ๆ ทั้งหมด) $G$ $\textrm{diam}(G) = 1$ $\textrm{diam}(G) > 5$ $\textrm{diam}(G) = 2$ $G$

ความซับซ้อนของปัญหานี้สำหรับกราฟที่มีสำหรับคืออะไร $\textrm{diam}(G) = p$ $3\le p \le 5$

— Babak Behsaz
แหล่งที่มา

ปัญหาที่เกิดขึ้นน่าจะเป็นในP $P$

ใช้จุดยอดสองจุด , โดยมีระยะทางเท่ากับ 3 (คู่นี้ต้องมีอยู่เมื่อ ) พวกเขาจะต้องมีสีที่แตกต่างกัน (ฉันจะใช้ R, G, B เพื่อแสดงถึง 3 สีและจุดยอดในกลุ่มเดียวกันจะเป็นสีเดียวกัน) Wlog สมมติว่าเป็นสีแดงและเป็นสีเขียว $u$ $v$ $p\ge 3$ $u$ $v$

ตอนนี้ส่วนที่เหลือของจุดที่มีการแบ่งออกเป็น 3 ชุด: (เพื่อนบ้านของ ) และ )ชุดที่สามจะต้องเป็นสีฟ้าเพราะพวกเขาจะอยู่ใกล้เคียงกับค่าหรือVเพื่อนบ้านของจะต้องเป็นสีแดงหรือน้ำเงินเพราะพวกเขาไม่ได้อยู่ติดกับเช่นเดียวกันกับเพื่อนบ้านของ $\Gamma(u)$ $u$ $\Gamma(v)$ $V-\Gamma(u)-\Gamma(v)$ $u$ $v$ $u$ $v$ $v$ ต้องเป็นสีเขียวหรือน้ำเงิน แต่ละจุดสุดยอดมีสองตัวเลือกมากที่สุดดังนั้นปัญหาจะกลายเป็นอินสแตนซ์ 2-SAT ที่เราสามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนาม

— รองพื้น
แหล่งที่มา

คุณสามารถอธิบายสูตร 2-SAT ที่สอดคล้องกันได้หรือไม่

— user5153

ให้

เป็นจริงถ้าหากเราใช้สีจุดยอด

สีน้ำเงิน พิจารณาสองจุดยอด

และ

ไม่ได้เชื่อมต่อกันด้วยขอบ สมมติว่าทั้งคู่เป็นสีน้ำเงินหรือสีแดง คุณต้องมีคำสั่งต่อไปนี้ในอินสแตนซ์ 2 SAT ของคุณ:

และ

)

อีกกรณีที่หนึ่งในนั้นสามารถเป็นสีน้ำเงินหรือสีแดงและอีกหนึ่งสีน้ำเงินหรือสีเขียวมีความคล้ายคลึงกัน (คุณต้องการเพียงหนึ่งประโยค)

B (v)

$B(v)$

v

$v$

u

$u$

v

$v$

(B (v) \lor B (u))

$(B(v) \vee B(u))$

(\bar{B (v)} \lor \bar{B (u)})

$(\bar{B(v)} \vee \bar{B(u)})$

— Babak Behsaz